Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096)
Текст из файла
осковский государственный технический университет имени Н,Э, Баумана /= Л/ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ии. Н.Э. БАУМАНА СВ. Галкин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Москва Г6489М Галкин С.В. ~ Математический анализ ' 2004 20-92 ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока ИИИМ аи аааааа:р ипаи*.:-..: аааюаюю О ~ж-: и' оаааааао о Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре УДК 517 ББК 22.161 Г!6 Рецензенты: Ю. Ф. Палое Галкин С.В. Г!6 Математический анализ: Методические указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.
— Мх Издательство МГТУ им. Н.Э, Баумана, 2004. — 116 сг ил. 18В)«1 5-703 8-2406-0 Кратко раскрыты, пояснены и доказаны основные теоретические положения, излагаемые и лекциях по разделам математического аиампа а первом семестре: зяемонты логики, тооРни множеств, теория предааоа, дифференциальное исчнсяеннс и теория экстремума. Изложение материааа завершается выводом формул скоРости и ускорения материапьиоя точки при плоском крипопинояном движении, Это позвоняьт ососновать формулы, прнводнмыо в курос теоротическоя механики первого семестра.
Дяя студентов первого курса всех специаяьностея. УДК 517 ББК 22.161 кхин «-тозя-2поь-ц М М1 "ГУ нль Н.Э. Бауь«яна,звоа ВВЕДЕНИЕ, ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ (лекции 1, 2) Введение Числа. Еще в школе мы изучаем числа, Натуральные числа 1класс, или мнсокество натуральных чисел обозначается 1«1) могут быть представлены в виде суммы конечного числа единиц, например: 4 = 1 + 1 + 1 + 1. Если взять все натуральные числа, нуль и все натуральные числа со знаком минус, получится класс, или множество целых чисел, обозначаемое Е.
Рациональные числа (класс, или множество рациональных чисел обозначается 11) можно представить в видо отношения (лат. гайо — отношение) двух целых чисел: а ц=-, если Ьм О, Рациональные числа можно представить ко- Ь печной нли бесконечной периодической десятичной дробью, например: 1/4 = 0,25; 4/3 =1,(З); 17/45 = 0,3(7). Числа, представляемые бесконечной непериодической дробью, называются иррациональными числами. Опи известны давно, некоторые из них имеют фундаментальное значение, и их обозначают специальными буквами« /2 = 14142..., /3 = 1732..., — = т = 1618„., за= 31415, «/5+ 1 е = 2 718...), Рациональньш и иррациональные числа образуют класс, или множество действительных чисел, обозначаемое Е, Метод математической индукции известен очень давно, но и сейчас довольно часто используется при докпзательстветеорем.
Он основан на принципе математической индукции: Утеероюдение г/(ф заеисли/ее оггз натуралыюго параметра и, перно дпл любого налгурального л, если: — доказано А(1/ «или А/7«/, /, Но — натуральное числа); — предполагается справедливость А(п) — индуктивное пред»алоэ>гение; на основе первых двух пунктов можно доказать справедливость А!и+1), Примеры: 1. Докажем формулу для суммы нечетных чисел; 1 + 3+ 5+ „, + + Он> — !) и>.
Прн п 1 утверждение спрвведлнво. Пусть опо справедливо для некоторого натурального л: 1+ 3+ 5+ ... 2» — 1 я>, Довел>ем утверждение для л+ 1: 1+ 3+ 5+... (2» - 1) + (2л+ 1) = л + 2»+ 1 = (п+ 1) . 2. Докежеь> н«рея«хс>яео Бернулли(1+ х)" <1» >ж (х г -!). Прн л = 1 неравенство выполнено. Прсдположнм, что оно выполнено прн некотором натурвяьном л. Доны«ем, что оно выполнено прн л + 1; (1+х)ы'- (1+х)(!+х) В(1«лх)(1+х) = ! +х+ »хе лх'В В 1+ х+ >ж 1+ (л+1) х, Следовательно, неравенство выполнено для л>обого натурального и.
Элементы математической логики В математической логике имеют дело с вь>слазь>ваниями Прас>псе высказывание- это некоторос утверждение, которое либо истинно, либо лспкно. Например, высказывание «2 — четное числ» истинно, а «3 — четное число» ложно, Истинность или ложность таких высказываний не меняетсл — это логические константы (обозначение: И вЂ” всегда истинное и Л вЂ” всегда ложное высказывание). Есть высказывания, истинность или ложность которых зависит от некоторых условий, например зш х» О, Оно истинно, если 2пк <х < < (2п+ 1)к, и = О, +1, й2, ..., и ложна при других значениях х. Над высказываниями можно выполнять логические операциь Истинность результата логической операции устанавливают по таблице истинности, которая задаст истинность или ложность резудьтата в зависимости от истинности или ложности высказываний-операндов, Рассмотрим оснавныс логические операции; отрицание, коньюллцто (логнческое умна>кение), дизьюннцто (логическое сложение), мыпликацию (следование) и эквиваленцию.
Отр>!наине: А, А, «не А». Высказывание -А истинно тогда н только тогда, когда высказывание А ложно. Например, высказываппо А состоит в там, что х = О, тогда «не А» — в том, что х ы О. Запишем эно символически: А: х= О, тогда А:х~ О. Конъюнкция (логическое умножение): Ад В, «А и 3». Высказывание А л В истинно тогда н только тогда« когда А истинно и 3 истинно. Если А или В ложно, то А л В ложно. Пусть, например, А: х+у=1,3: х — у=О(х,у-действительныечисла).ТогдаАлВ: х =у = 112. Пара (х,у) является решением системы уравнений, если опа являетсл решением и первого, и второго уравнения, Дизъюикцня (лагическое сложение), А >В, «А илн В», Высказывание А ч В истинно, если А истинно или В истинно. Например, если А: х — 1=0, В: х — 2=0 (х — действитель>юе числа), та АмВ.
(х — 1)(х — 2) = О. Импликац ил (следованне); А ~ 3, «еслн А, то В», «для 3 даста- точна А», «для А необходимо В», Высказывание А =э В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно (из истины не может следовать ложь). Эквиваленция (эквивалентность): А«о В «А эквивалентна В», Высказывание А е» В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают, т. е. А н 3 ложны или А и В истинны, Запишем таблицу истшп>ости для логических операций: Примеры: 1, Доке>«ел> спрвведлнвость способа докезятельстм теорем «от протнвлогок (л => В) ее (-б => ->!).
Длл этого составим твблнлу нстннностн: 2. Докажем закон трлнзитияности для деяствитсльнмх чисел, т. е, высклзыаание К: (А => В) л (В => С) => (А => С)- всегда истинно. Составим тлбллну истинности: В самом деле, высказывание К истинно лрн всех знеченняк А, В, С, Приведем основные свойс>ива логических операций; 1) -( А) =А — двойное отрицание; 2) А л (В л С) = (А гл В) >л С, А ч (В ч С) = (А ч В) ч С вЂ” ассоциативность; З)Ач1Вг,С)м(АчВ)л(АчС), Ал(ВчС)=(А>чВ)ч(АлС) — дистрибутивность; 4) (АдВ)=~ Ач В), (лАчВ)=( Агл В)-законыдеМоргана Справедливость свойств доказывается с помощью таблиц истинности, упрлжнсннс.
Проверьте снрласдлиаость некоторых снаястн. Часто в >яатематических записях используют квантор всеобщности 'Ф (означает: «любой, произвольный») и квалтор существования 3 (означает: «существует»). Напри>лер, запись чх е Х будет ь Заметим, что законы ессоцнятианостн для умножения чисел А(ВС) = (АВ)С и сложения чисел (А+ В)+С = А+(В+С) аналогичны логическнль Законы листрнбутиености для чисел несколько иаыс. Для чисел А(В+С) =АВ+АС (соясем кяк а логике), но А + (ВС) н (А + В)(А + С). Из этого следует, что законы арифметики, по которым до снк пор строят компьютеры, отличаются от законов логики, оо которым мыслит человек. По>тол>у для того, чтобы сконсгруиронать интеллектулльного робота, подобного чслоаску, л|ало улслнчить намять и скорость лылолпения оосрллнв.
Недо изменить арно«ни конструирования и составлять интсллсктулчьныс лрогрлмм>л нл языке логики, а нс нл языке лрифметнки. прочитана так: любой элемент х из мно>кестваХ, а запись»х: р или >Ух (р означает: любой элемент х, для которого выполнено свойствор. Записи Зх е Хи Лх; р (Зх /р) будут прочитаны соответственно: существует элемент х из множества Х и существует элемент х, для которого выполнено свойство р. Символы математической логики позволяют записывать математические определения и теоремы кратко, просто и содержательно.
Запишем, например, определение предела функции г"(х) при Х вЂ” > + со~ (ппл,„у'(х) = Ь с=>'з>е» О ЛМ(е) > О;(х > М) =а|,((х)- Ь! <е. Здесь Ы(е) предполагается действительным числом, Запишем еще определение предела последовательности действительных чисел (х„), (и = 1, 2, 3 „.). |пи „„х„= Ь с=»уе > О Л Ф(е) > О;(л > дг) =ж |х„- Ь! < е. Здесь Ф(е) предполагается натуралы>ым числом, Понятие предела мы обсудим подробно далее, но постарайтесь осмыслить (или запомнить) его уже сейчас. Если это удалось, постарайтесь записать определения предела функции при х -> —, х -> хо, где хб — конечное число.
Элементы теории множеств Множество — это совокупность элементов. Запись х и А означает, что элемент х принадле>кит множеству А, а х Ф А означает, что х не является элементом множества А. Два множестваА и В называ>отея равными (А = В), если оии состоят из одних и тех >ке элементов, Множество считается заданным, если его элементы заданы нли указан алгоритм их отыскания.
Мноясество ма>кот быть задано следующими способами: — перечислением элементов, если число элементов конечно; — указанием характеристического свойства мномсества я(х), которому удовлетворяют все его элементы и только опи, например: М: (х: я(х)) или М: (х/В(х)); — выделением части из целого, например: множество четных чисел, делящихся на 6; — объединением частей в целое, например: множество целыхчиссл определяется как совокупность множества натуральных чисел, нуля и множества натуральных чисел, умноженных на (-1).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
