Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (973093)
Текст из файла
бх ~ Ы1 2 з1п — - саз ~гх+ — 1 ( )'= ° —." г Л. Ьх з(ив 2 1 бх) = 1пп 1пп саз х+ — =созх' 0 Ы ~ 2! 2 здесь использован первый замечательный предел, б)(созх) =-з)пх. (сазх) = з(п~--х ~~ =(-1)саз~--х =-з1пх' ~2 Д 3 здесь использована теорема о производной сложной функции; в)(1йх) = — —, (сгях) =-— Р саз х з1п х Покажем сп кажем справедливость первой из формул, вторая выводится аналогично. Ф (ьгх) — ~ з1пх1 (з(пх) свах — з1пх(соз 1,сазх) соз2 2 соз х здесь использовано правила дифференцирования част ог . н а.
раизводные обратных тригонометрических функций: а) (агсзптх) =; б) (агссозх) = -— в) (агсгйх) = —; г) (агссгях) =- —, 1+х 1+ 2' Выведем пе в д первую и третью формулы, остальные выводятся ана- (агсз1пх) 1 1 1пх),6 хз' 1 1 1 1 1+ гй~у 1+ гй~(агсгйх) 1+х соз у здесь использована теорема а производной обратной функции. Формулы производных гиперболических ун и нк ий 1 ° 1 (зйх) =сЬх1 (сЬх) =з)гх; (11гх) = —, (с1)гх) =-— сЬ~х й х Проверим первые две формульа -Х (~ х -~)~ (е~+ е ) -СЬх, ) 2 х 1г1( х+ -х)~ (е" — е ")=зЬх, 2 Остальные формулы выводятся по правилу д ре и е нцирова ния частного ! Теорема.
Элементарные функции дифференциру емы в об ласти определения. ариые функции могут быгь п лу о челы из основных мен „.. Фун ииспамащыочетырехари а и метическнхдейстосновные элемениии и композицией функций Ранее доказано что тарные функции днфференцнруемы в области ре Пни полученные указанными действиями из днфференцнруемых аэто элементарные увкфункцнй, также дифференцируемы.
Поэтому ггии дифференцируемы в области и апр хоп еделения, о Любую элементарную функцию можн д р и фе енц овання не выходит из класса элементарных функций. Следовательно, дич, еренцнр ва элемента, ную функцию, гчуго Функцию, мы получаем снова ПРОИЗВОДНЬЖ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (лекция 14) " фу ции л-го порядка называется производная Производной ф нк от (и-1)-й ее производной; У "( )=(У"-'(.))', .=2,З, Поэтому вто ая п водной,третьяп оизво н у р роизвадная — это производная первой и о>пр р водная — эта производная второй производной ит.д, Вычислим„нап им р ер, и-ю производную функции у(х) = хе: у'= ех + хех «х+ ц х х У = е + (х+ 1) ех = (х+ 2) ех, „,, у" = (х+ и) ех.
числим и >а производную функции у(х) = н(х)р(х). У =и к+и"р'+2и" р'+2ьур +и >у+ни! = и к+Зи" р'+Зн'у~г+ зез Здесьужелегко в у идеть знакомую формулу бинома Ньютона л („)() — '«~Се„(- ) ()г) Фче рассмотрим вопрос о ифф па раметрически или неявно. пр дифференцировании функции, задагпюй Производная па ам т р метрнческп заданной функции. Пусть функция задана параметрически 1 ... Г (у =у(г)' и ... сварить а производной Функции у(х) по ее аргуме> нту х можно, если определена функция ак как функци~ задана параметрически„та для того чтаыопределитьу = /"(х) на ап ю ), д ронзвольному х поставить в ссютветопределена обрат ф вне х, а затем по этому г отыскать ((), П .
ратная функция ~(х), ь у( ), озтому должна бьгп Следовательно, функция х п е с у(х) пред тавляет со о сла>киук> р воднои слолсиой функции х . тсюда видно, что должна существовать произ- водная обратной функции. Следовательно, нужно требовать выполнения условий теоремы а производной обратной функции. Па теореме о производной обратной функции У(х) = —,, тогда х (8) у'(х) = у'(~)У(х) = —, Л~) х'(г) Получили формулу для вычисления первой производной парам втрически заданной функции. Таким образом, первая производная тоже представляет собой параметрически заданную функцию, Обозначим у'(х) = х((), Тогда „(„),,(,),,(х) (у')> у"(()х'(()-У'()) "'() "() ('())' Так можно вычислить производную любого порядкк (у("-"( )) у(")(х) = х'(г) (х = созе Пример.
Вычислим первую и оторую производную функции ч (у=з(пг у(х) й) =-с>йд >г(х)- —,' ---. з дйъ сом ( сйй) 1 х>(г) -з(цг х й) в(п г Дифференцирование неявка заданной функции, Пусть функ- >хил у =)"(х) задана неявно соотношением Р(х,у) = О, Тогда спра- педлива тождество >т(х,у(х)) ю О. дифференцируя тождество (рас- ска атривая левую часть тождества как сложную функцию), получим соотношение, из которого можно выразить у'(х) через х и у(х), ,дифференцируя далее у'(х), получим у" (х) через х, у(х), у'(х), ГТродолжая этот процесс, получим третью и т.
д, производные функ- тяии, заданной неявно. ,2+3 1 0 пример. найдем производну>о неявной функции г(х у) = х + «х -1= О. 2х+ 2у>г = О, >>(х)= —, >г(х) =- —, у у' бб Заьзе инне, На втором семестре в курсе дифференциального исчисления функций нескольких переменных будет получена формула полного дифферен- 67 цнвле аг'(х у) = гх'»к+ Ру'»у, где гх', г" ' — частные пранзводньи по перемен. ным х у (производнукл Р„вычислялот только по переменной х, счнгвя у ко нсгвнтой, в пранзводну1о Р ' вычнсллклт только по переменной у, считая х конствнтап). Дифференцируя тождества г(х,у(х)) а О, получим аУ(х,у) гх'»х+ Р,'а)л Отснзлд следует формула для вычисления производной функции, заданной неявка: „ау )г(х) - "— = — ", . л(г В приведенном прнмерег„'=2х, г,,' 2у, »г(х,у) = 2х»х+ 2у»у иб, огкудв »у х )Г (х) = — —.
Так считать проще. »х у ДИФФКРВНЦИАЛЫ ПК)зВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (лекция 15) В лекции 12 было дано определение дифференциала как главной части приращения функции, линейной относительно приращения аргумента. Было показано, что геометрический смысл дифференциала состоит в том, что дифференциал функции численно равен приращению ординаты касательной к графику функции, которое соответствует приращению аргумента Ах. Была получена форму. ла для вычисления дифференциала (форма записи дифференциала) сЛх) = Г'(х)»х, где»х ы 12х — приращение независимой переменной, Интересно выяснить, сокранится ли та же форма записи дифференциала, если в качестве х взять какую-либо функцию независи. мой переменной, Инвариаитность формы записп первого дифференциала Теорема.
Дифференциал функции может быть записан в форме 4йх) = У'(х)»х независимо от того, является ли х независимой переменной или фунггцией какой-либо другой переменной. з пусть х = д(1) является функцией переменной д тогда функция / (х) будет сложной функцией Г'(д(1)) переменной а Но поскольку г- независимая переменная, дифференциал функции можно записать в виде Щг)=у"'(г)»г. Если выполнены условия теоремы о производной сложной функции, то ('(т) =.1'(х)х'(1).
Подставляя эту производную в выражен е дл д ., ременная, а х(1) — функция этой переменной, то»х=х (г д аХ=Х'(')'(г)» = Г(.)».. Следовательно„дифференциал функции может быть записан в ») (х)= )'(х)»х независимо от того, является ли х независим р ой пе сменной или функцией какой-либо другой переменной. В этом и состонтсвойст- во иглвариаижнлости формы записи первого диффереиипвла. с ! Следствие. С дифференциалами первого порядка малого обращаться как с алгебраическими выразкениями, Из формы записидифференциала»Дх)=у'(х)»х иееиива- р иаитности следует Г"'(х) = — (производная равна отнозпеиюо »х дифференциалов). Пример, Выведем формулу для производной пврвмсгрическ яд ическн заклинай У ( — "у а-4.- М Здесь мы формвльна рвз- фупкцин.
Пусть ', Тогда у(х) = — = у= Я)»х »1 делили пв днфференциел ат квлл нв влгебрвичсское вырвжение. ттравиладифференцирования (в, ° слепня дифференциала) Все правила вычисления дифференциала суммы, разности и т. д. легко получить из правил вычисления прои д зво нык суммы, разности и т.
д., используя форму записи диффсрещнала 4'(х) =,1'(х)»х. 1. Дифференциал суммы (разности); »Ц (х)+ й(х)) = Щх) ~ й(х))»х =.1'(х)»х+К(х)»х = = »)'(х) х 4'(х) ч П му обычно правилевычисления д гч Р ффе оввщл1е енцивлвпадр бно ервссмвг иффе енцироввниящ «днфференцирсв Р ся деже свми нвзввния «прввнл«11 1ф р р ле аоднбь оп анзводных,енеквычпс н нис» стали относиться скорее к вычислени~ р , Ы = УЧх=рхи 1Вх; б) у=в. ллу= уах= фсреццнвлов. нвпрнмер1 в) у=хл, »у= у х=рхл =«а)па»х; в)у=)ая,х, »у=)/»х= л»х1 г) у=мах, »у=)1Их=ссях»х. гИ) — яоз.
4 3 3. Дифференциал частного: ,~яе <((<1п 1Я, и =2,3» (~ (х)) й <7х =У" (х» 71 2. Дифференциал произведения; г(ж)=а) ух=(уй+аУ)7 =(ГЫх)а+Лги ) =047-+УФ. МХ1 Х'а-И'Х ~,. тг(х)к -(а'Ы)Х й уг - У<уй 3' й' Как видно, достаточно заменить знак производной знаком диффсреппинла в правилах вычисления производной, чтобы получить правила вычисления дифференциала. 4. Дзефференцнал сложной функции: <(7'(а(х)))=У'(й(х))) ( =У'М)й"(х) 1 .=Г(а)Ф 5. Дифференциал обратной функции. пусть лля функции у(х) определена обратная функция х(у).
Используя теорему о производной обратной функции, вычислим дифференциал обратной <[зункции: 1 <!у = у'(х) Их =о сЬ = —, йу о йх = х'(у) йу, у'(х) Приближенные вычислении с помощью первого дифференциала Пе вый иффе р д ьферапциал — зто главная часть приращении функции, линейная отн относительно приращения аргумента, Поэтому приближенно (с точность ( остью до бесконечно малой второго порядка от приращения а ме т ргу нта) приращение функции можно заменить первым дифференциалом: я.г'( О) а7"(х )= г" (. )~ Отсюда можно по чить фо лу формулу для приближенного вычнолс- Лх) 7 (хо)+./'(хе)(х -хо) которая тем тече<ее, чем блнж ехкхо, 70 Прпмерьь 1. Реянус шсровога газового баллона ошпбачпо уменьшили нс 10 %, на сколько процентов умсньшнзся ега абъем2 Решение. Ег(11+<ЗЛ)= — Я1Р+ЬА) = — Н(Я +ЗА айе ЗяаЛ +а<2 ), 4 з 4 3 С точностью яо линейных чяепоя уменьшение абьемя састяяяяет от' = 4яйз<ЗЕ<.
По успопн<а зазечн <И =О,И. Вычислим относительное уыеньшеппе обьсмп: ЬН 4тЖ ОИ вЂ” — — = О,З. Это 30% от первоначального объеме, 3 Ответ: Объем уменьшился пя ЗО %. 2. Вычпсяоть прнбпнженно <я 47 '. Обозначим хо = 45', еьт = 2', Псрсяедем зта я разпены н применим формулу зяя нрнбянжспного вычисления: <047"=.<а(45'+2')=<я[ — +"-) <я~-)+ ( 1 =1+ 1059ь [,4 90) [,4) з[ Я1 90 45 'ъ47 Дпя срезнеппя: тябпнчнае ззячепнс <я 47 ' составляет 1, 0724. Дифференциалы высших порядков Дифферснциалом и-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала (и-1)-го порядка функции: Дифференциалы высших порядков вычисляют так же, как и производные высших порядков, применяя правила дифференцирования н переходя ст первого дифференциала ко второму, от второго — к <ретьему и т. д.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
