Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (973093), страница 4
Текст из файла (страница 4)
х-зх0+О х-+х0+О Тогда существует такая точка с е (хо,х), для которой Р( ) Р(а+1)(с) 6(.) 6("")(.) Доопределим по непрерывностиР(")(хо)=0, 6( )(хо)=О, я = О, 1,2, ..., л. Рассмотрим отношение функций и применим нужное число раз теореыу Коши, вычитая из числителя и знаменателя дроби нулевые значения функций и их производных; Р(х) Р(х) — Р(хо) Р'(с)) Р(с ) — Р'(хО) 6(х) б(х) — б(то) б (с1) б (с1) — б (хО) Роо(с ) Роо( о) Р( 0(с) 6(я)( ) 6(л)(.
) 6(л+1)( ) ' Заметим, чга6(х)Ф О, б'(х)и О, б"(х)~ О, ..., 6(л)(х) Ф О в интервале(хо, т), Пусть Зхл и (хо,х), для которой б " (ха) = О. Тогда по теа(л) реме Роляя Зх„, (н (хо,хл), для которой бО'~ 0(ха+ 1) = О, что противоречит условию 6О'~0(х)~ О. Пусть Зхл 1н (хо,х), для которой 6(л 0(хл 1) = О. Тогда па теореме Ролла Зхл е (хо,х„(), в которой б('1(хл) =О. Аналогично предыдущему пришли к противоречию и т. д. Обозначим ~( О) ~ (хо)(х хО)+ (х — ха) + Лхо), 3 21 "(. / хо) л( б(х)=(х — хо)' . Проверим выполнение условий леммы для этих функций: ~'(х~) („х )з+ Р(х )= )(хо)- Дхо)+Г(хо)( о "о)+ ;("'( ) .
+...+~ — 0-(хО- О)л =01 л1 (л)(хо) )я-1~ , х- Р'(хо) = 0' Р(л)(Х) 1.(и)(Х) /.л(Х ) Р(л)(ХО) ю ) (ХО) — Э ( О) Р("+ ')(х) = ('("+')(х); б(хо) = (хо — ха) л (7(х) =(л+ 1)(хо — хо) 6 (ха) = (в+ 1)(хо б(л)(х)=(л+1) (л — 1) 2 (хО-хо) б'(хо)=01 б(ль1)( ) (,1 1).л,(л 1)...2 1=(11+1)1ФО Условия леммы выполнены, Прнмен, у яя ее получим Р(х') Р("~ )(с) 6(.) 6("')(,) Подставляя сюда функции Р(х) и б(х), у пол чим формулу Тей лора с остаточным членом в форме Лагранжа; С(хо) У(х) =Пхо)+,Пхо)(х - хо)+ 21 ('-хо) + (.) ( еО(,) л1 О (л+ 1)' Х (х )( )я+У (, )л Бсяи в формуле вилара Т " а положить хо =О, получим формулу Маклорена: 85 н-> н-> ° 8б Лх)=ЛО)+у'(О) + — "'(),2+„,+' ()х +,) л! где Ан(х)- остаточный член формулы Маклорена. Вго можно получить из остаточного члена формулы Тейлора (в форме Пеано или Лагранжа), если взять х, = О.
Теорема, Если функция Дх) дифференцнруема бесконечное число раз и все ев производные в некоторой 6-окрестности точки хо огРаничены оДной и той >ке константой ( 1>'л, ! 7" (")(х)! < С ), то !пп Ан(х) =О, х )и 3 Покажем сначала, что 1пп — 0 — =О. Введем последова- и-> л! хо)и твльность (ан), и и Ж; а„= и рассмотрим ее в б-окрвстно- и! сти точки хс. !ан+1! =(аи! — О. < — !аи(, !х-х ! !х-х ! б (и+1)! " и+1 л+1 Следовательно, последовательность !а ! монотонно убывает. Так как оиа ограничена снизу нулем, то по теореме Вейерштрасса 3 1пп)ан(, Пока>кем, что этот предел равен нулю, В самом деле, !ли!— и->- 5 величина ограниченная, так как ! аи! <!а1), — — бесконечно малая п+1 Ь при п->», поэтому величина — !аи! — бесконечно малая при и+1 и -> ° н имеет своим пределом нуль.
По теореме о продольном переходе в неравенстве !!т!ан+1!= О. Оценим теперь остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа: („Г (ХО)! и+1 !Х вЂ” ХО~ (и+ 1)! !.—.,1,С О. (.+1)! Следовательно, Бш Ян(х) = О. Если остаточный член записан в фор>>-> а МЕ ПваНО, т. Е. Ли(Х) = О((Х вЂ” ХО)и), тО ОЧЕВИДНО, ЧтО 1ПП Яи(Х) = О. 1н Представление основных элементарных функций по формуле Маклорена 1. Запишем формулу Маклорена для функции Дх) = е": /'(и)(х) — ех 1'(~)(0) — ес — 1 2 3 н нхи+1 х х е" =1+х+ — + — +. + — +— 21 3! ' и! (и+1)! Приближенно представим е" многочленом Тейлора; 2 3 н е' =1+ х+ — + — +...+ —. 2! 3! л! н и+1 Тогда остаточный член — может служить оценкой погреш(и+ 1)! ности такого представления. 2. Представим функцию 7"(х) = гйпх формулой Маклорена: /'(н)(х) = вш х+ —, и = О, 1, 2, .
„; 2)' г(О) = О, 7"(О) = совО= 1,,7 "(0) =-зшо=о, Г'"(О) = -соя О = -1,,1 (0) =1 " .3 хз х7 хан+ и+1 зп>(с) 2 +2. з1пх =х + +'''+( ) ( '2л 2)! 3! 5! 7! (2и+1)' Здесь также остаточный член дает оценку приближения функции многочленом Тейлора. Чтобы сделать более точной оценку поешиости представления функции многочленом Тейлора, надо учесть, что в формуле махаю формально записать член с производной (2и + 2)-го порядка, так как он входит с нулевым коэффициен..2н+3 . том. Тогда остаточный член будет содержать ха 87 ц2и+ 3 (2и+3)! (2и+ 3)! 6~'~~(2и+3 88 Я (х) ~аз(с) х2н+3, !л ( /х ! "+" 3.
Зап . Запишем фоРмУлУ МаклоРена ф, цн„Д ) (х) = сов х+ — 1, и = О, 1, 2, „ (и! . !г пи! .1'(0)=соя0=1; Г'(0)=-я!п0=0 ~"(О)=-саяО=-1 ~ (0)=з!п0=0; ~ ™(0)=ДО); Х2 Х4 тз Хяи соз =1 — + — — + + (-1)" — (-1)"" ! 2! 4! б! (2и)! (2л+ 1)! ~йза(х)!= ~х~ "; /Л2„(х)~~ -)х)~и" !я!пс~ 2„+! 1 (2л+ 1)! " (2и+ 1) ! чтобы сделать ми о гочле оценку погрешности представления " фУНКГПчи ном Тенлора более точной, надо учесть чт ф можно фа ф рмальна записать член с производной (2и+ 1)-га па я так как он вхо ит д с нулевым коэффициентам. Тогда остаточный член формулы Тейлора будет содержать хза+2: л ( т соз(с) 2 . 2 ! „!2в+2 ) (2г 2)! х ' !Я2»(х)!— г+ ).
(2и+2)! фу ц ~о/(х)= 1п(1+х)формулой Макло е~ У~ !(х)=(-1)и !(" 1) . у(и)(0) (!+х)" ~(0)=0; ЛО)=1; г"(О)= 1! ~-(О) 2, х2 ХЗ 4 2 3 4 (и+ 1)(1+ с)иа! редставнм функцию г(х)-(!+ )тф Х а (х) = т(т 1)(т-2)... (иг — и+ 1)(1+ х)а (а) Ю=1; Х'(О)=; ЛО)=т( 1),, г(а!(О) — т(т-1)(т-2)... Ои- и+ 1)! а,, (у-а -а я О~*г"-~~- а „+ 1) т(т 1) „,(т- и)(1+ с) (и+ 1)! б.
Представим функцию Дх) = айх формулой Макл ~(х)=с!ах; !""(х)=я!зх; ~"(х)=с!ъх; ...', ДО)=0; 1'(0)=с!30= 1; 1'(О)=я!30=0' 1м(0)=сЬО 3 я 2а+! я1тх = х+ — + — +. „+ — + Л2„~ !, 3! 5! (2и+ 1)1 7. Представим функцию Дх) = с1зх формулой Ма~ х2 х4 х2и с!зх =1+ — + —,+...+ — + Лза.
2! 4!' (2и)! Упражнение. завмшмте яамс остаточные члены а ферме Лег Вычцслеппе значенкй функций по форму Тейлора н Маклорена 1. Вычислить ып 10' я1п — 2сточностыая = 0 00 18 Мы видели выше, чта оценка погрешности предста цин по формуле Маклорена определяется модулем ест на, так как остаточный член равен разности функции Тейлора, которым представляется функция, Поэтому| кое и, для которого модуль остаточного члена не прев ной погрешности представления, Запишем условие зад сти вычислений: не существует. 91 Бели ограничиться первым слагаемым формулы (песо), то ! - —. 1 л п й~~ — <0,001, Следовательно, 81п — — 0,1745 (табличное 216 6 18 18 значение 0,173 6).
2. Вычислить есд с точностью о = 0,001. Запишем условие заданной точности вычислсний; е" и+~ 3(0,3)""! Я„(0,3) = — (0,3)ие ' « 0,001. (и+ 1)! (п+ 1)! Если л=2, то Лз< — '>0„001. Если п=З, то (О 3)3 2 (о,з)4 (о з)8 Яз < — ' > О 001, Если и = 4, то Я4 « — ' О 001. Следовательно 8 40 с заданной точностью е' можно вычислить по следующей О,З формуле: е ' 1+ 0,3+ + + *1 3498375 (о,з)' (о,з)' (о,з)" 2! 3! 4! Табличное значение 1,3498588.
3, Вычислим предел функции, представив ее формулой Маклорена: х-+О х х-сс х хео(2! 4! ! 2 ЭКСТРЕМУМЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ (лекция 19) Будем предполагать непрерывность функции в точках экстремума. К точкам экстремума функции относятся точки локалыюго максимума и минимума. Точка х называется точкой локального минимума функции Ях) (или функция Ях) имеет локальный минимум в точке х,), если в некоторой проколотой окрестности точки х выполнено йеравеиство Дх) ) (хо). Если это неравенство строгое ()"(х) > )"(хо)), точка хо > о называется точкой строгого локалыюго минимума функцииЛх). 90 Пусть в области определения существует несколько точек локального минимума, тогда та из иих, в которой значение функции'наименьшее, называется точкой глобального минимума функции.
Точка х называется точкой локального максимума функции У(х) (или функция 7 (х) имеет локальный максимум вточкехо), о если в некоторой проколотой окрестности точки хо выполнено неравенство ((х) <)(хо), Боли зто неравенство строгое () (х) <7(хо)), точка х называется точкой строгого локального максимума функции 7 (х), Пусть в области определения существует несколько -о точек локального максимума, тогда та из них, в которой значение функции наибольшее, называется точкой глобального максимума функции. Необходимое условие существования экстремума Пустьх -точка экстремума функции у"(х).
Тогда если 7"'(хо) о существует, то у'(хо) = О. Доказательство следует из теоремы Ферма. Заметим если х — точка зкс- 1 о у тремума у(х), то )"'(хо) может ие существовать. Например, рассмотрим функцию у"(х) = ~х -хо~ (рис, 8), Точка хо- точка минимума Х(х), Производные слева и оправа в точке хо конечны: У'(хо — 0)=-1, ~'(хо+0)=1, но „с'(хо) не существует„так как Х ( 0 — 0) к." Л 0 + О) х Точка хо называется критической точкой функции, если в ней Рис, 8 выполнены необходимые условия экстремума,т. е. 7'(хо)= 0 илн не существует.
Точках называется стационарной точкой функции ("(х), если )"(хо) = О. Точки экстремума функции обязательно находятся среди критических точек. Поэтому проверка необходимого условия экстремума позволяет отсеять точки, заведомо не являющиеся точками экстремума. Примеоы: 1. Точка хо Π— точка минимуме фуикиии у(х)нх: у'(х)=з, Г(Ф=О. з, 2. Точка «о =0-точкаминимумафуикиии )(х)=((х ' У'(х) = ~~-, 7" (О) Замечание.
Необходимое условие экстремума не является достато*гным. Напрнлгер, точка х = 0 не япяяется точкой экстремума функции Г(х) = хз, Однако )" 10) О. Сяедоаательно, из того, что у'(хс) = О, ецге не следует, что хс -точка экстремума функции, Первое достаточное условие экстре»гума Теореага. Пусть функция у'(х) дифференцнруема в проколотой окрестности точки х, Тогда повеление у '(х) определяют следугащие условия. 1, Если при переходе аргумента через хо (в положительном направлении) у"'(х) меняет злак с «+» на «-», та хо — тачка ло.
кальнаго максимума. 2, Если при переходе аргумента через х, (в положительном направлении) у '(х) меняет знак с «-» на «+», та хо — точка локального минимума. 3, Если при переходе аргумента через х (в положительном направлении) у '(х) не меняет знак, хо не является точкой экстремума а Докажем условие максимума (и. 1), Так как прих <хо у"'(х)>0, то при х <хо у"(х) возрастает па достаточному признаку возрастания функции (следстпие 4 из теоремы Лаграюка). Так как у' (х) < 0 при х > хо, то у(х) при х > хо убывает по достаточному признаку убывания функции (следствие 4 из теоремы Лагранжа). Следовательно, точка х„— точка локального максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
