Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (973093), страница 7
Текст из файла (страница 7)
и Г 1* Г (зс!2 ! С!!2 сг! а!-!с Ь.е дг-чО П! Следовательно, г(Ю = х (!)+у (!)г(1, ° 2 ° 2 Если в качестве параметра ! можно выбрать переменную х, то эта формула превращается в ранее полученную формулу зз-~~ гга)з.. Пример. Вычислим диффереицивл дуги окружности рвдиусв К (х = х(!) = ясов! Звпиглем пврвметрическое урзвиеиие окружности.' Й~ !у у(г)= в!в! По формуле дифференциала дуги, звдвииай пврвметрически, < 2пй - 2к 2плар =з сСя = = ЛБСср БСЯ - сСБр 2п Рпс 10 тСБм <у"(х)< 1+ '(х) <у"(х)< ББ-РИ БББК-~~ К'Б' ББ-7Б гББЬ Твк квк псрсмеипвя с имеет смысл центрального угла ср, нв который опирается дуга, то дифференциал длкны дуги окружности может быть звпнсвп в более привычном виде сСк = дБСБр. Зто можно показать из пропорции Кривизна дуги Рассмотрим гладкую дугу М,М н проведем в точках М и М 2 касательные к дуге, Углом смежности ср дуги м М называется 1 2 острый угол между касательными к ней, проведенными в ее край- нихточкахМ иМ, Средней кривизной дуги называется отногпенне абсолютной ВЕЛИЧИНЫ уГЛа ОМЕжНОСти Ср К ДЛИНЕ дуГИ о'(с)с 1М2): !ср! ( 1 2) Кривизной дуги в точке М1 называется величина /с = ! пп ссср ж 1пп ягз-+М " ягз-~Мс б(М1М2) Примерьс.1.
Кривизне дуги пряыой линии рввпв нулю, твк квк квсвтельпьж к прямой совпвдвсог с самой прямой и угол смежности равен вулси. 1 2. Кривизна луги окружности радиусе Д рвана —, В свмом деле, угол между л квсвтсльными к дуге окруБкностн равен цептрвяьпому углу втой дуги. Если, дуга лгсвСз апнрвется нв центрвльный угол БСБр, в ее длине равна БСЯ, то сго = ЛБСБр и ссе нр lс = — = — —" —. ссз дар л Формула дли вычислении кривизны дуги плоской кривой Рассмотрим дугу мссгс2 — график дважды днфференцируемой фунссцниу(х) (рис.! ()). Проведем в точках М1, М2 касательные к дуге. Углы между касательными н осью ОХобозначим соответственно сх, а+Ьа. Острый угол между касательными (угол сме>кност11) значим ср.
Запишем соотношения для уг- ЛВ 12: у'(х) = 1йа, а(х) = агсгйу'(х), у (х) !+ у' '(х) Из рассмотрения треугольника, образованного при пересечении касательных с осью ОХ, следу гс+ф+( -(ге+ тхя))жтс, т, с, гр = ба. Теперь можно записать формулу для вычисления кривизны дуги: <=-< я=г — =в ох Бсн ББ ~ ББ П,„Г' Б Б м, и, !Б,.Б Бг' <ь.~~ ()< у ~~+уБ (х) з)1+ у (х) (1 Б2(х))2 < х =х(с) р отрим параметрическн заданную фуискцню < — 'с) ' (у =у( формуле производной параметрически заданной функции у(с), (у'(х))', у(с)к(с) — у(с)х(с) ° 3 '(с) * й(~) х (с) СБ.Б'*ОВБ = ББ( БСС< < =-, СБ) бознечения дифференцироввиия Б * Б по с, а символ ББютрикв -для обознвчепия дифференцирования пол.
105 ) У(1)х(1) — х(1)У(1) ~ Поэтому А = з (х (1)+ У (1)) 2 с х=к(1) =Асов), у=у(1)=Ав!п) г 3 (А )2 3 (1+(, )г) г р х Эволюта н звольвента 10б Пример. Ввиислим по зтов формуле кривизну окружности рааиуса А. Рассмотрим параметрическое представление окружности. Вычислим производные и подставим в формулу длз кривизны дуги.' л(1)=-Аа)пс, "З(1)=Аеов1; лз(1)+)У(1)=Аг; Я1)х(1) х(1)К1) ( АВ)п!)( Аыпс) — ( Асов1)Асов!>А Окружность кривизны, центр кривизны, радиус кривизны Рассмотрим точку Мна гладкой дуге, проведем касательную н нормаль к дуге в точке М. Построим окружность, проходящую через точку М с центром, находящимся на построенной нормали на 1 расстоянии р(М) = — от точки Мв сторону ногнутости дуги гра7с(М) фика функции ®М)- кривизна дуги графика в точке М) .
Эта окружность называется окружностью кривизны графика функции в точке М. Ее радиус р(М) называется радиусом кривизны графика функции в точке М, центр окружности называется центром кривизны графика функции а точке М. Эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны. Сама кривая называется звольвентой (разверткой) для своей эволюты. Выведем формулы для координат центра кривизны (уравнение зволюты).
Рассмотрим график функции у(х). Обозна- 1 чим (с кривизну графика в точке М(х,у), р = — - радиус кривизны )С графика в точке М Пусть центр кривизны находится в точке Ф(а,)3). Найдем зависимость координат центра р ак ивизны а,() отх, у>у >у: 1 — (с» -х); у'(х) Ф- у) +0» -х) = р Первое уравнение — уравнение нормал р ф н к г афику в точке М(х у) иа которой ~аходиты точка Ф(а „)3) — р — цент кривизны. торсе ур~внение — уравнение окру)кнос р, е > ти к ивнзны, проходяще ')срез точку М(х,у), с центром Ф.
Подставим первое уравнение в второе: г~ 1 2. (с» х) +1 Р ц~( )' ) >+О')' > ( 1»1>г) ) >" ») «= * —,; 1->>~~ ру >> )> )> >6~)>') Б дуга вогнута, то ~) > у. Тогда в вырвкен для и ии Е надо выбнслн дуг и лясс-тоженняснийзнак рать нижний знак (плюс) и в вырвкенни для сев о (минус). Если дуга выпукла, то )З < у. Тогд р ог аввы ажениидля нццо й выбирать верхний знак (минус) и в выраже дл кении я)»-танге верхни знак (плюс). Подставим в зти формулы '>0 и обозначение модуля моясно дуга о гнута, у б ать,ссхранивиижнийзнаквформулахдляг» и и.
ли кл ', б б аченне модуля, надо менять знак. кл то '<О и,убирая о озн лах для с» и )з взять вместо верхнего знака нихснн знак. оэт для выпуклои и вогнут нугой дуги можно использовать формулы для координат центра кривизны в виде 107 У ()+(у ) ) „)+(у~)2 р=у+ р— зи (а(с)-ао)= 109 Если координаты центра кривизны рассматривать как текущие координаты то пси эволюты, то эти формулы дают параметрзсческое представление зполюты (с параметрами х ну), Выведем уравнение эволюты длл лараметрически заданной функции (х = ср(с), у = Чс(с)).
Найдем производные у(х)- —, ) (х)- '-ф() УИ- (())3 и подставим в формулы ларамстрического представления эволюты; ~'1, 3 2 = с(с+ срф - с)сф !))ф - с(сф ж 2 ср уф (ф'+ф2)ф барр-фф ~ фр-фф ' Пример. Ивйдсм урвпненио зволютьс длл циклоиды, эвдзнной формулсми ср = «(сов с+ се)п с); су = а(з)пс- своз!). Вычислим все проиэлодиыс н подставим и формулы эволюты пярсмстричсскн звдзиной функции: ф = а(-з!пс+ з)пс+ссозс) = ассом; ф = а(сом-сикс+ сын!) = асею с, ф= а(СОЗС-СЗ)лс)) СУ =а(З)пС+ ССОЗС); а С ассозс 22 р = «(з)ос- ссозс)+ = азю «2 2 22 а 1 си з1п 1 а=а(созс+сз)пс)- =«сов!, 2,2 Итак; эволютз икс ц юиды — окружность, сясдовзтельио, элольвентс окружности (рвэвертке окружности) — цисслоидв. Приведем свойства эволюты и звольвенты: !) любая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте, П ота-это огибающая семейства нормалей кэвольвенте; Поэтому зволюта-.
2) для звольвенты можно построить единственную эволюту; 3 ы можно построить бесконечно много эвольвент. 3) для эволют ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА (лекцня 22) Пусгь в трехмерном пространстве задана прямоугольная систе- ма координат ОХИ с ортонормированным базисом (1,), сгс), Тогда произвольный вектор а можно представить в виде а = ая (+ ау,)+ азй, гдеа, а,а— прямоугольные декартовы координаты а.
Пусть каждой точке с некоторого множества числов ой оси Тпо- ставлен в соответствие вектор а(с) = ая (с)7+ ау(с))'+ ая(!))с, Тогда в области определения Т задана вектор-функция скалярного аргу- Ц ) и а (с) а (с), а,(с)-еекоординатныефункции. Запи- шем определение предела вектор-функции ск яр .
р а(с) при с-з со, ао = )пи а(с)с=>'й>ОЧЬ(е)>0:0<)с — со)<Ь=е1а(с)-ао(<е. 1-1 й Теорема. Для того чтобы существовал предел вектор-функции ао = Ипз а(с), ао —— ао„с аоу о,, "( ), — '+ а )'+ а сс необходимо и доста~~сс точно, чтобы существовали пределы е рд е коо инатных функций '2 ОХ вЂ” Х с у а = (пп а (С), ао = !!т а (с), ао = !йп а,(с), с-э'в с с-э С, У , доказательство проведите слмостоят л ятельцо, используя оценки првжнепне, ят л (а (1)-аоя(я(а(с)-ас(, )ая(1)-аоу)я)й(с)-йс! )«,(1)-ао, а с -ас, кция а(с) нвзывается ссе"ср о ывиойнточкесо е'ли )пп а(с)= а(со).
С-Е 111 )оз с) Теорем». Дяя того чтобы вектор-функция а(с) была непрерывной в точке сс, необходимо и достаточно, чтобы координатные функции ах(с), а,(с), а,(с) были непрерывны в точке с„, Упяпнсссессссе. Дпкезетессьстпп прспеянте самостоятельно, нспспьзуя сценке !а„!с)-аее!я!а(с) ае1, !ау(с)-аеуЯа(с)-ае', !а,«) — сс!я!а(с)-ссе1, !а(с) — сел)= !а„(с)-аеа) + (а,(с) — ае ) + (ае!с) — ас,), 2 3 2 производслой аектор-функции а(с)в точке со называется вектор а(с+ Ы)- аЯ, ЬаЯ й'(с)= !пп = йга —. сн- о Ьс ас- с й Запишем разность векторов в разложении по базису: Ы(с) = Ьа„(с)с+ Ьа„(с)7+ Ьае(с)К, Разделив обе части равенства на с)сс и устремив слс к пулю, нмеелс а(с) = й„(с)с+ р (с))с+ а„(с)й, 3 й(с)! = а,(с)) Правила дифференцирования вектор-функ»)пп 1, Дифференцирование произведения скалярной функции на вектор-функцию: (ср(с)й(с)) = ср(с)й(с) + срЯр(с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
