Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (973093), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Следовательно, гра !ик унк точки х лежит низке касательной и функция о окрестности. с 97 Необходимый и достаточный признак выпуклости (вогпутостн) дифференцнруемой функции ТеоРема. Пуст~ ((.) функция „<"(х) была выпуклой (вогнутой) в некоторой области, необходимо и достаточно, чтобы «'(х) не возрастала (нс убывала) в этой области. а Рассмотрим случай выпуклой функции, для вогнутой функ- ции доказательство аналогично, Докажем леобходимос<ль. Пусть функция выпукла. П едпола- жим, чта ее производная возрастает, тогда по достаточному призна- ку функция строго вогнута. Пришли к пративаречи<а, Докажем достп<во <лосп<ь.
Так же, как в прады щей те запишем авнепне к теореме, ур н пне касательной, вычислим значение функции по формуле Лагранжа н получим формулу .< (х) укас (< (с) < (хс))(х 'хс) Пусть производная функции ~'(х) не возрастает. Тогда при х<с<хобУДет Г"'(с)1 Г"'(хо) и Г"'(х)<У а,, Если х> с>х, та Г(. 0) овь,'(х) у„„. Следовательно, график функ- ции в окрестности точки хо лежит не выше касательной н функция выпукла в этой окрестности. < Достаточный признак строгой выпуклости (строгой вогнутостн) дважды днфферепцируемой функции Теорема. Пусть г"(х)дважды дифференцируема в некоторой области.
Если в этой области ~'(х) < О, то функция ~(х) строго выпукла, если в этой области ~ "(х) > О, то функция г(х) строго а Пусть у" '(х) < О, тогда Г(х) монотонна убывает н, по достаточному признак ф нк у, фу цня строго выпукла, Вторая часть теоремы докюывается аналогично. с з Поскольку точка перегиба отделяет выпуклую дугу графика функции ат вогнутой, примем для определенности, что слева от тачки перегиба дуга выпукла, а справа вогнута. Тогда при х <хопроизводная функции ~'(х) не возрастает„а при х>хс — не убывает. Поэтому хс — точка минимума ~'(х), Следовательно, У "(хо ) = О нлн не существует. < Сформулируем и докаскем достаточное условие точки перегиба дважды дифференцируемой функции.
.нкция дх) двая<ды днффер-пируем некоторой проколотой окрестности точки хс и ~ "(х ) меняет знак при переходе х через х . Тогда точка(хо Яхо)) -точка перегиба графика функции. а справа вь<пу<<ля, Если функци < ( тачкех и имеет перегиб в этой точке, таточка(хо, <'(хс)) называет- 0 ая точкой перегиба графика функции. Точка перегиба отделяет выпуклую дугу графика функции от вогнутой дуги графика функции, Можно сказать, па точкой перегиба графика непрерывной функции нязывяетси точка графика функции, отделяющая выпуклую лугу графика функции от вогнутой. Предположим, что функция г"(х) имеет перегиб в точке х и в этой точке существует производная функции.
Тогда в точке (хс Яхс)) можно провести касательную к графику функции, которую он в этой точке пересекает. СФормулируем и докажем необходимое условие точки перегиба. -ь Пх) непрерывна и дифференцнрусма а "' которой окрестности точки хс и дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Если тачка (хс,~(хс))— тачка перегиба графика функции, то либо г"(хс)=О, либо .< "(хо) не существует, То п<н персгнбз функции Функция < (х) имеетперегибвтачкех,,если слева отэтой тачки дуга графика функции выпукла, а справа вогнута или наоборот— 93 з Пусть |' "(х) меняет знак при переходе х через х,, для определенности, с «+» на «-», Тогда ~'(х) возрастает слева от точки х<,, а справа отточких — убывает, Следовательно, по достаточному признаку строгой выпуклости и вогнутости Дх) стра уга 0 ат тачки х а справа — строго выпукла.
Значит, (хо,,<' (хс)) -точка 0' перегиба графика функции. > 99 Применим формулу Тейлора к исследованию точек перегиба, Теорема. Пусть функции /'(х) непрерывна в точке х, и л раз дифференцируема в некоторой ее окрестности, Пусть ,1 ( )(хс)=0 (В=2,,л — 1), у (и (хс)ы О, Боли л — нечетно (пй 3), то(хо,у (хс)) -точка перегиба графика функции. 1 По формуле Тейлора с остатс птым членом в форме Пеанс, уЧИтЫВая, ЧтО у (~1(ХС) жО(ус=2,...,П вЂ” 1), Х(Л)(ХО)Н О,НЫЕЕМ 3. Построение эскиза графика функции (по полученной в п.
1, 2 информации с использованием элементарных преобразований графика и действий иад графиками). 4. Исследование функции на экстремум; — определение интервалов монотонности; — нахождение точек экстремума; — вычисление экстремальных значений функции, 5. Исследование графика функции на выпуклость н вогнутость: — определение интервалов выпуклости и вогнутости; — отыскание точек перегиба б.
Построение графика функции. !00 В малой окрестности точки хо знак первого сомножителя в пра. вой части равенства определяется знаком л-й производной в точке х, (теорема о сохранении функцией знака своего предела). Поэтому при переходе х через хя (л нечетко по условию) правая часть равенства меняет знак, Левая часть равенства представляет собой разностьу (х)-уклс(х), гдеу„,с(х)-касательная кгрвфнку функции в точке (хс„г(хс)) .
следовательно, при переходе х через хс график функции пересекает касательную к нему, проведенну1о в точке (хО,Яхб)). Поэтому точка (хО,,Яхо)) — точка перегиба цэафикв функции.(> Исследование графика функции Общая схема исследования функции с построением ее графика включает в себя несколько этапов, 1.
Предварительный анализ графика функции; -исследование области определения н области значения функции; — определение интервалов непрерывности н точек разрыва с их классификацией; — проверка существования вертикальных асимптот; — нахождение характерных точек графика функции, например точен пересечения с осями координат; — исследование четности и нечетности функции; — проверка периодичности функции. 2.
Нахождение наклонных и горизонтальных а симптот графика функции. Пример. Исследуем функцию Г(х) = х 1пх. г 1. Предппрительныя анелньч — область определения К~.', — кит ерппл непрерывности И+, точка рмрыпех = О (точке устрлиямога разры- ее, 11пг х 1пх = 0)1 х лп — кпрпктсрные гочки (1, 0), (е, ег); — Функция общего вида; — функция неперноднчнп, 2. Иссясдоепние псимптотг нзклонных и горизонт альных ясимптот нет, тлх ипк Функция еоэрпстпст быстрее, чем х при х -1 3. Исследоппние ил экстремум: е 11г-тсчха минимум», тпн клк Улх) гт(х) = а«них+ х =х(21пх+1)= О ~ хг е сэ х я псяожитсльисм направлении. Ип- мем нет знак с «-» на е+» прн переходе через хг я 1ии, е 11г,т 1-иятсрлзлссвсзрпстз- тервпл (О, е пг) — облесть убывания функции, (е 1 с ) -уг нцн.
Минимпяьиое знпчсние функции 11п1» лГ( 4. исследоиенне ил пьшуклосп и ео"нут"ст1' иг = в -ебсиисспточкиисрсгнбл. При <х се Зя(х)=21пх+Знс=эхг=в -е л <о них>е > е функция вогнута, Функции выпукла так как гя(х) О р >с у" (х) > О. 1 итог»»ос 1нстр 1» 1 сзяи1«е»ып»линче ся Згпглпжнеине. Эскиз гряфнкп 1 мостоятельно. Пример.
Исследуем функщп лг(') о,г(х) х+ пгс1ях, 1. Предепрительиый Внпянз' сления функции и область сс знл ~М~~~ опрея»11ени11 < 'с зне — функция непрерывна ие псе ' чис — лнрп«терция точка (О,О); — Функцн, нчнл. 4 кцня нечстна, нспериоднчнл. 1О! и и 2. Нвлождеиие всимптот: у = х- — — левая наклонная всимптотв, у = х+-— 2 2 прввач ивклсиивя всимптотв, 3, Поскольку у"(х) = 1 + — > О, функция монотонно возрастает нл всей 1 !+х оси,экстремумов ивт. 2т 4. Найдем втаруга произвадиуго функции: /" (х) = -, При (!+ х')' ' х < О /" (х) > О и, зивчит, фуикцкя погнута, при х > О !" (х) < О и, следовательно, фуикция выпуклв.
Точка (О,О) -тачка перегибе. 1+~ — = 1+у' (х); ~Ьхз~ Упрвжиенип, !. Постройте график этой функции, 2. Исследуйте функции у"(х) =хых, у'(х) = хе ". зза!-,Б~, '!,!ь„ Рассмотрим дугу АВ, разделим ее на и частей-дуг точкими Мр М, ..., Мл. Соединим точки отрезками, они будут звеньями ломаной, вписанной в дугу АВ. Длиной дуги АВ называется предел суммы длин звеньев вписанной в эту дугу ломаной прн стремлении к нулю длины звена, самого длинного среди всех звеньев ломаной. Мы называли дугу гладкой, если она имеет касательную в каждой точке, т. е. является графиком днфференцируемой функции, Наприр, дуга, содержащая угловые точки, не является гладкой, Если точ(хс,у"(хс)) угловая, тот'(хс ) не существует, поскольку„хотя ая и правая производные в этой точке существуют, но онн не ны, Гладкая дуга не может содержать точек самопересечения, в ке самопересечения у'(х) определена неоднозначно.
Здесь мы сматриваем гладкие дуги, которые имеют длину. Для того чтобы дкая дуга имела длину, достаточно, чтобы она была графиком рерывно дифференцируемой функции. Поэтому теперь глидкой ой будем называть дугу, являющуюся графиком непрерывно ференцнруемой функции, Если дуга гладкая, то длина бесконо малой дуги эквивалентна длине стягивающей ее бесконечно ой хорды.
Вводем функцию Б(х) — длину дуги графика функции, 5(х)— кция возрастающая. Например, если длина дуги АВ равна (, то А)=0, Я(хп)=1. Рассмотрим на плоскости точки М(х,у) и (х+ Ат,у+ Ьу). Длина дуги ММ, равна приращению длины ду- 103 Е !! . !! ме ~~!~ калуги раи точ рас гла неп дуг мвл фун Я(х М! 102 ДИФФКРЙНЦИАЛ ДЛИНЫ ДУГИ (лекция 21) ги при приращении аргумента Ьх, Выведем формулу для дифференциала длины дуги, заменяя бесконечно малую дугу стягивающей се хордой: и юи . (мы)~ . Чь гьу с(х лх — >О Ьх ахщо Ьх лх-+О Ьх Пример. Рвссмотрим фуикци|а у= у(х) =1пя(пх, х п~-,— ~. Вычислить !к п1 (4 2~ дифференциал длины дуги ее графика; с6 - "4!1ь +(зг(х)) ггх = 41+ с1~цхг(х = —,пх, г — — з г — з— 1 в|их 1х = х(!) Рассмотрим дугу, заданну!а параметрнческн; Б:4 Ь=.«)' х(!), у(г)- непрерывные функции (иепрерывно днфференцируемое параметрическое представление). Заменяя при вычислении дифференциала длины дуги бесконечно малую дугу стягивающей ее хордой, имеем Ьх +б ЯЗ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
