Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (973093), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Запишем дифференциал и-го порядка функции независимой переменной (ты- константа); Р)' (х) = й(г~(х)) = о<( ~'(х) а<х) = (Г'(х) Фх)'~гх = ,1 3 1 (х) ь1(б2у(х)) л(у~~(х) лх 2) ( ув(х) нх 2 убх у мг(х) 21х 3 б"у(.)=Х'"1( )б " Вычислим дифференциал 2-го порядка сложной функции (ах(1) не константа): 1пп — =У'(хо-О) =Г(хо) =)'(хо+0) = 1нл —. 2зу'(х),,, Ь2'(х) лх-+О Ах 1ьх->О Ьх ах<0 1ах О Так как функция принимает в точке хо максимальное значение, то дх < 0 ~ Ау(х) < О, — ~ О, Лх > 0 =с Ьф(х) ~ О, — <О. Щх) евах) Лх Ах По теореме о предельном переходе в неравенстве /'(хо) = /'(хо — 0)с О, У"'(хс) = у'(хо+ О) ьО. 73 72 Последнее слагаемое отсутствует, если х независимая переменная. Именно наличие последнего слагаемого делает нв инвариалн1- ной форму записи второго дифференциала, твм более, высгаих дифференциалов.
Следовательно, форма записи высших дифференциалов нс инвариантна, она зависит от того, является или не является переменная независимой или функцией другой переменной, С дифференциалами высших порядков, в отличив от первого дифференциала, уже нельзя обраи1аться как с алгебраическими выраасепиям1с И1' 22 ~. 1'(х) = — — отношение двух дифференциалов, у" (х) = —— й. 2 единый символ, а не отношение второго дифференциала к квадрату ах.
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ (лекция 1б) Теорема Ферма, Пусть функция / (х) определена на интервале(а, Ь) и принимает в его внутренней точке х максимальнос 0 или минимальное значение. Если существует 1'(х о )„то Яхс) =О. Пусть для определенности функция принимает в точке х максимальное значение, Если озг (хс), то в точке хо существуют Г 0 производная слева и производная справа, Следовательно, 1'(хо) = О. О Следствие (геометрический смььсл теоремы Ферма), В условиях теоремы Форма существует касательная к графику функции в точке (хо, 1'(хо)), параллельная оси абсцисс.
< По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (хОЯхс«численно ра- вен З"'(хо),НО 1'(хо) = Опо теореме Ферма, следовательно, касатель- ная к графику функции в гочка (хОЯхс)) горизонтальна, т. е, параллельна оси абсцисс, 1> Теорема Ралли. Пусть функция з (х) 1) непрерывна на 1а,Ь), 2) дифференцируема в (а, Ь), 3) принимает на концах отрезка равные значения Да) = /'(Ь). Тогда существует точка с е (а, Ь)„в которой у'(с) = О. о Так как функция непрерывна на отрезке (а,Ь), то по второй теореме Вейерштрасса она достигает на нем своей точной верхнеи грани М в некоторой точке х, (Дх1) = М) и точной нгокней грани ьч в мекоторой точке х2 (У'(х2) = т) Если тзх М, то 2(х) га сопз1 = т = Мна всем отрезке(а Ь), Тогда в качестве точки с мо1кет быть выбрана любая точка интервала (а, Ь)— в ней,2"'(с) =О Если т~ М,то какая либо източекх, хзлежитвин- тервале (а,Ь), так как если они обе лежат на границах отрезка (явля- ются точками а и Ь), то значения функции в этих точках дояясны сов- падать по условию теоремы, но это противоречит предположению, что шФ М, Пусть для определенности х1 е(а,Ь), д р , Тогда по теореме Ферма г'(х ) = 0 и в качестве точки с можно выбрать точку х: > 1 Замечание.
Все условия теоремы сущестеенньь нальзп исключить нн адно пз ннх. Пусть, например, первое условие не выполнено, остальные выполнены. 14ам(х — а, х в[О,Ь) на указать тьпу~а фуппцпю, например Дх) = ~ ' . Онп днфференцв- [О, х=Ь руема в интервале н имеет равные значения нз концах отрезке, на нв является непрерьюнай на отрезке: Р(х) м 1 па всем интервале, н теорема перестает работать.
Пусть теперь второе условие не выполнено, остальные выполнены. Рассмотрим, непрпмер, фунхцню Дх) =(х(на отрезке (-1, Ц. Онп непрерывна не отрезке и имеет равные значения нп ега концах, однако в ннтернеле (-1, 1) нет точки с, в которал бы Р(е) = О, Пусть не выполнено третье успение, остальные выполнены. Рассмотрим, нз. пример, функцию Дс) = х на отрезке(а,Ь]. Она непрерывна не отрезке н днфференцн руана з ннтерееле, на,/(а) н ЯЬ), Ва заем интервале у'(х) и 1, пазтаму тач.
пн с, в катаров выполнялось бы ~'(с) = О, в интервале нет. Следствие (гесметрический смысл теоремы Раиля). В условиях теоремы Ролля существует точка (с,Дс)) на графике функции, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. з В самом деле, при доказательстве использовалась теорема Ферма, ее условия выполнены.
Следовательно, справедливо и слс11- ствис из иее, по которому существует точка (с,((с)) на графике функции, в которой касательная к графику фуюсцни параллельна оси абсцисс. с Теорема Лагранжа. Пусть функция Дх) непрерывна на [а,Ь), дифференцируема в (а,Ь). Тогда существует точке с и (а Ь), в которой /'(с) = ДЬ) —,/'(а) Ь вЂ” а з Проведем секущузо к графику функции через точки(а, ((а)), (Ь,Г(Ь)) . Ее уравнение имеет вид у-( )+У'( )-Ла)( Ь вЂ” а Рассмотрим функцию р(.)=л.)- „.-=ч(.)-л ))- ДЬ) — 1 (а) (х — а). Ь вЂ” а Покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы Ролля: 1) Г(х) непрерывна на отрезке [а,Ь) как линейная комбинация непрерывных на отрезке функций Дх) и (х — а); 2) Р(х) диффереицируема в интервале (а, Ь) как линейная комбинация дифференцируемых в интервале функций ((х) и (х — а): у (Ь) — ('(а) .
Ь-а 3) Р(х) принимает на концах отрезка значения ДЬ)- Яа) Р(а)=(Да)-Да))- — — (а-а)=0, Ь вЂ” а р(Ь)=(У(Ь)-((а))- (Ь-а)=0. Следовательно, функция Р(х)удовлетворяетусловыямтеоремы Рояля. По теореме Ролля существует такая точка с н (а, Ь), для которой Р'(с) =- у'(с) — = О, Следовательно, существует такая Ь-а ('(Ь) — ('(а) точка сн(а,Ь),вкоторой1'(с)- .с Следствие 1 (геаметрический смысл теоремы Лагранлса), В условиях теоремы Лагранжа на интервале (а,Ь) найдется такая точка с, для которой касательная к графику функции в ( точке(с )'(с)) параллельна секущей, проведенной через его точ! ки (а,Яа)) и (Ь,Х(Ь)) . з В самом деле, значение ('(с) численно равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в тачке (с,((с)), а значение численно равно угловому коэффициенту секущей.
По теореме Лагранжа эти значения равны. с Следствие 2 (трормула конечных приращении Лаграллса). В У си азиях теоремы Лагранжа на интервале (а, Ь) найдется такая точка с, что ДЬ) — Да) = у"'(с)(Ь вЂ” а). и Это сразу следует из теоремы Лагранжа. с т1 еорему Лагранжа применяют к произвольному отрезку в ни е [хз,х21ы [а, зи форму [ Ь; ф лу конечных приращений записывают в д Лхз) — ЛХ1) = Г(с)(х2 — х1) Следствие 3, Если)'(х) ш О, то )'(х) ш сопзп з По формуле конечных приращении 'Фх х н(а Ь) „Г(х ) -('(х!) = ) (с)(хз — х!) = О, так как )"'(с) ы О.
с ! Следствие 4 (дослзалзочиое условие возрасвания (убыванил) фулкциззз), Пусть Х'(х) > 0 ()'(х) < 0) на интервале(а,Ь), Тогда функция )(х) возрастает (убывает) на интервале (а,Ь), з Пусть )"'(х) > О на интервале (а, Ь). Тогда по формуле конечных приращений Чхпхзн(ад) )(хз)-Дх!) ш)'(с)(хз -х!). Если хз хп то ((хз) >)'(хз), так как У'(с) > О. Следовательно, функция возрастает на интервале. Случай )'(х) <О расслзатривается аналогично, > Следствие 5 (крилзерий леубывалил (невазраслвания) 4ункзуии). Для того чтобы функция )(х) пе убывала (не возрастала) на интервале (а,Ь), необходимо и достаточно, чтобы У (х)~0 0'(х)50)на этом интервале, «з Рассмотрим необходимое и достаточное условие неубывания функции (доказательство условий ее невозрастания проводится аналогично). Докажем досзлазпсчлсслзь, Пусть ~'(х) > О в интервале (а, Ь) .
Тогда по формуле конечных приращенийьух,х н(а Ь) х >х (хпхз); )(х2)-)(х!) =)'(с)(хз- х!) < О, Следовательно, фунзщия не убывает на интервале (а,Ь). Докажем лесбхсдиысслгь, Пусть функция не убывает на интервале(аЬ). Предположим, что в некоторой точке хсы(аЬ) )'(хс) <Оз т. е. ' х = И д)(') з ( О) = йт — <О. По теореме о сохранении функцией ах-зс дх дзУ'(х) знака своего предела существует некоторая окрестность точки х в О' котоРой — <О, следовательно дх > 0 =о дз((х) <О, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
