Галкин С.В. Математисеский анализ. Метод. указания по метериалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.63-115. 2004г (973093), страница 3
Текст из файла (страница 3)
фУнкцил убывает в некоторой окрестности точки х . Пришли к протнвореч ню, и следовательно, ) '(х) > 0 во всем интервале, > О' Звмечлннс. Ва вссл сфа л сфармулнроввлньж выше слслствнлл нз теоремы Лвгрвн ив трсбустсл вьзполнснис условий теоремы. 3) Р(х) принимает на концах отрезка значения: ) (а)+ ( (я(а) - я(а)) = О, й(Ь) — Фа) с )"(а)+ ) (д(Ь) - я(а)) = О. я(Ь) - я(а) Р(а) =)(а)- Р(Ь) = ДЬ)— Применим теорему Ролля. На инте "ва (, ) у "в ле (а Ь) счществует такал ' с — я'(с) =О. СледоваЯЬ) — ((а) точка с, для которой Р"(с)=)' (с)- я' Г(с) Х(Ь) — Х(~) тельно,— л'(с) я(Ь) - я(а) ., то из тсорсмы Кол~и получим тсорсму ЛвЗльзсчвннс, Осли взять я(л) ил, то из т грвнжв. Теорема !(ошн. Пусть фу"кци" )( ) л Ь), П Ь! и дифференцируемы в и Р рв (а,Ь), Тогда сУществУетт ет точка с на интерва ле (а, Ь), для которой ~"'(с) ((Ь) — Х(а) я'(с) й(Ь) — й(а) ак '(х)зьОвинтерваз Левал часть равенства существует, так как я,, ,таккак (Ь)Ф я(а),ина- ла(а, Ь).
Правая часть равенства существует, так каки( ) я( че по теореме Ролля существовала бы точка с! ! ( с в инте>вале(а,Ь), в которой было бьз в'(с!) = О, А это противоречи у чит словию теоремы, Составим функцию р( ) =) (х) - )'(а)+ (а(х) - а(а)) ((Ь) - ((а) д(Ь) — й(а) Покажем, что она удовлетворяет условиям те р тео емы Ролла: !) г(х) непрерывна на отрезке (а,Ь) как лии к линейная комбинация непрерывных на отрезке функций ) (х), е( ) — к(~) 2) р(х) днфференцируема в интервале(а, Ь) как линейная ком н- нация дифференцируемых в интервале функци,"г 1, 8 Р'(х) = )"'(х) — — я'(х); )" (Ь) — /'(а) я(Ь) - я(а) 78 Правило Лопитали — Бернулли 0 раскрытия неопределенности вида— 0 Пусть функции у"(х), я(х) непрерывны нл полуинтервале (а, Ь) и дифференцируемы в интервале (а,Ь), л'(х)к 0 в интервале (а,Ь). Пусть !ип у'(х)=0, 1пп я(х)=0, Тогда, если Ипт —,=А ~'(х) х->а+О х->а+О х->а+О $ (х) (продел существует и конечен), то существует 1!т — —, равный А, Дх) х-+а+О Я(х) з Доопределим функции у'(х), я(х) в точке х = а значениями их пределов ('(а) = я(а) = О, Тогда функции Дх), я(х) будут непрерывными на отрезке (а, Ь) и будут удовлетворять на нем условиям теоремы Коши.
По теореме Коши существуетточкас на интервале(а, Ь)„в которой выполнено — = Х(х) Х(х)-1(а) Х'(с) = — , Перейдем к пределу в я(х) л(х) — я(а) я'(с) зтом соотношении прн х — > а+О, учитывая„что се(а,х) и х->а+О=зс->а+О; 1пп — = Иш — =А, если только Д.) . У'(х) ' х-+а+О я(Х) х->а+О Я (Х) предел отношения производных существует и конечен. с Замечмн>е.празняоЛопиталяспраяедлияоипри х-> а-о, х-> а, х — > +, х-+-, х-+ .Ыожнопоказягь,чтооно спраиедлиаодляиеопределениости аиде \Ю ( йш з(х)=, !нп я(х)=«), Применяя праяило з!опнталя, луною абаза.
х-> а+С хн а+С тельно убедиться я сущестаоаанни предела отношения производных. Боли конечного предела ие существует, то приведенный выше а из од пра а ил а Лоп итиля тераег силу. При неоднократном применении прааила Лопиталя нужно каждь>й раз прояерять, есть лн неопределенность указанных выше видов (не исчезла лн она прн предыдущем применении правила Лопитаяя). Примеры. 1. Вычислим первый замечательный предел по прааплу Лопигаля— Бернуязи: йт — = 1!щ — =1. ылх . созх л'->с х уча ! 2.
Воспоаь . Воспользуемся правилом Лопиталя — Бернулли для срааненил на бесконечности скорости роста л отари фыической, степенной и показательной функций: !!ш — = 1ип — = 1лп =... Ит — =0; .т", лх" 1, л(л-Ох 2 л1 а" а'1аа, -> ах1п -> ааааа а 1 >и-1 ил лх х->ч" л х Отсюда видно, что цри х-ь ° логарифмическая функция растет медленнее степенной, а степенная функции растет медленнее показательной. Раскрытие неопределенностей вида 0 Рассмотрим неопределенность вида О -, Пусть ИшДх)=0, !пп к(х) = . Надо вычислить 1пп Дх)Л(х), х-+ а х — >а Эту неопределенность мои!но свести к одной из уже рассмот- 0 ренных — нли —: О оэ 1пп )'(х)й(х) = 1пп — ~неопределенность — ~ = х(.) ~ х->а х-+а О,) й(х) я(х) = 1пп — ~неопределенность — .
х-> а СО Х(х) Рассмотрим неопределенность типа — к Пусть 1пп Дх) = 1>гп н(х) =, Надо вычислить !пп Дх) — Л(х), х — >а х-> а 0 Сведем зту неопределенность к уже рассмотренной-. 1 1 1пп(Дх) — а(х)) = !ип Л("..х — ~-~е~ ~неопределенность -~. х — >а я(х) ~(х) О О Раскрытие неопределенностей вида1, О, 1>ассмотрим функцию г(х) = Дх)Я(т), Пусть надо вычислить !згп гг(х). Прологарифьяируем функцию г(х): Ь(х)= 1пг"(х)= х — >л х =е'л = З(х) 1пДх). Бсли существует 1пп Ь(х) = л>, то Иш г":(х) = е, х-> а Иш Дх)=1, )нп а(х)гх». Неопределенность 1 возникает, если ИшД )-, ' и( Тогда 1шт )ну"(х) = О, и при вычислении Ь(х) возникает неопредех-> а ленность вида 0 Неопределенность О возникает, если 1пп г"(х) = О, 1ип 8(х) = О. х-оп х-ьа Тогда 1пп )п г'(х) =-, и при вычислении Ь(х) возникает неопредек-«а ленность типа О Неопределенность 0 возникает, если 11гп Дх) =, 1нп 8(х) = О.
х-а а х-а а Тогда 1йп !п !"(х) =, и при вычислении Ь(х) возникает неопределенность вида О Итак, во всех рассмотренных случаях возникает неопределен- О ность вида О ', котору!о можно свести к неопределенностям вида- О или — рассмотренными в предыдущем разделе способами. Пусть предел !йп Ь(х)=тп удалось найти. Если т=-с, то 1пп Р(х)=е'. х->а Если л1=-, то1ппР(х)=О. Если !п=+, то 1ппР(х)= . Если к-> а х-> а ап=О, то!пп Р(х)=1. х->а ! Примеры. !.
Вм ьчелить предел функции Р(х) = О+ х)«в точках = О. 1пГ(х) = -1пр+х); 1 х 1йп1п Г(х) =, !пп — ' = !пп — 1; 1п(1+х) . 1 о -~о х о(1+х) ! !ипО+х)к = о = е (отарой замечательный предел). «- «-«о 2. Найти предел функции Р(х) = О+ хт)«в точке х = О. 1пР(х) =-!пО+ х ); 1 2, !лн1пР(х) = 1кп — = 1пп — = 0; 1п О+к') «-+о «->о х «-«об+ха) ! цыб+к )' е я о «-«о ФОРМУЛА ТХЙЛОРА (лекции 17, 18) Формула Тейлора длп мпогочлопа рассмотрим миогочлен п-и степени Рл(х) = со+ а!(х — хо)+ + а (х — х ) +...а„(х — хо)л и вычислим его коэффициенты по значеа2х хо " О ниям многочлена и его производных в точке х = хо.
Рл(хО) = пО аО = Рл(хо)' 2 л-1 Рл(х) = "!+2п2(х — хО)+ ЗаЗ(х — хО) + + пал(х — хО) Р,(хо)= ор о! =Рл(хо)! л-2 Р(х)=2 1 а2+3 2 аз (х-хо)+...+ л (и — 1) ал (х-хо) Рл(хд), Рл(хо) = 2! "2з "2 = 2! Р (х)=З'2'!'лз+" +п (п — 1) (п-2) ол (х хо) Р, (то), Рл ( О) )пз' лэ Р(л)(.)' (л) ! Рл ("О) Р„"(хо) =п(о„, Итак, многочлен можно записать в виде Рл(ХО) 2 Рл (ХО) Х вЂ” т (л) Рл(х) = Рл(хо)+Рл(хо)(х-хо)+ —,(х хо) + "+ Возникает вопрос, можно ли любую функци!о, дифференцнруе" ви е? мую достаточное число раз, представить в похожем вид .
8! «3 Рассмот)зим функцию о)'+ е ГОО(хо)(х-хр)" и! 1лв «+ "э+о (х-хо) (хе)(.-хв)" (»- 1)! и1х-те)" ! !лн «-««е+с л(и-!)(.— хо)»вЂ” у'')С )- у(")(;) о х-««ече 82 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Теорема. Пусть функция г'(х) и раз днфференцируема на интервале(х,х) и непрерывна на отрезке [хо,х).
Пусть существует йп1 .1'( (х)=1"()(хо), «г=1, 2, „л. Тогда Х(х) = Лхо)+ Г(хо)(х - хо)+ 2! (х — х,)'+ ,Г(и)ГХ 1 +...+' — ' — й)(х -хо)л+ о((х -хо)и), л! где о((х-хо)") — остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано*. Р(х)= 1'( )- у'(сО)+ 1'((!))(~ -,х())+ (х — О) + У" (хо) г 2! Х(")( ) +" + — '(х-хо)" л! Вычислим, применяя нулевое число раз правило Лопиталя: !нв р(х) «и «е+О (х -хо)» * Твким обрезом, функция может быть записано в виде суыл~ы многочленл Тейлора (верзиле и слвгеемых, аналогичные слагаемым многочленв Р„(х)) и остлточного члена в форме Пеево.
Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно милой, следует Г(х) ма(х-хо)- б,м. при х — э х)+О, (х — О)и следовательно, Р(х) = а(х — хо)(х — хо)". Подставляя в зто выражение Г(х), получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пенно. Лх) = Х(хо)+ Х'(хо)(х - )+ — ~-( — о) + Х'(х ) г 2! У()(хо) +„,+ — о (х — хо)" +а(х-хо)(х-хо)".с л! Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Теорема.
Пусть функция Дх) л+1 раз дифференцнруема "а интервале(хо,х) и непрерывна на отрезке (хс,х), Пусть суьцесзиу- 1(из у(х)(~) 1" (")(хо)„)г = 1, 2,, л. Тогда х-+хо+О Х() У(о)+У(о)( О)+ 2! ( О) «' (хо) 2+ .(и)( ) ) (и+1)( ) +...+ — '' (х-хо)и+ — (х-хо) л! (и+1)! (и+!) с — ()( -х )л~~ (Лсп(хо,х)) -остаточныйчлепформУ- (л+ 1)! лы Тейлора в форме Лагранжа.
Таким обрезом, функция может быть записана в виде суммы ых аналогичные слагаемым многочлена Тейлора (первые л слагаемых, многочлена Ри(х)) и остаточного члена в форме Лагрвюка. Лемма. Пусть функции Р(х), 6(х) непрерывны на отрезке (хо,х], и в интервале (хо,х) су1цествуют Р(л+1)(х), б(('+0(х)а О. Пусть существу1ат пределы справа )пп Р( )(х) = О, 1пп 6( )(х) = 0,)г = О, 1,2,..., л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
