Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 7
Текст из файла (страница 7)
при х->хо. Поэтому ('(х)я(х)= аЬ+ Ьи(х)+аЯх)+ а(х)Ях). По теореме о произведения б.м. на ограниченную трн последних слагаемых — б.м. (в последнен слагаемом >х(х) ограничена при х -> хс как функция, имеющая конечный предел — нулевой). Следовательно, 31пп(Дх)й(х)) = = оЬ = !!п> Ях) 1!>па(х). !> х->хО х->х» х->х> Теорема. Предел частного существует и равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю, т, е. пусть ! !!п>Дх)»х а, 1!п> я(х) = Ь,тогда 3!пп — = - (пусть для опре- Г(~) х->х> х->хе й(х) Ь х->хр лет тости Ь > 0). у" (х) а з Покюкем, что — — — = у(х) — б.м.
при х — > хо, тогда тео. я(х) Ь рема верна по теореме о связи функции, предела и б.м. Имеем ~(х) а Дх)Ь вЂ” я(х)а я(х) Ь я(х)Ь Рассмотрим полученное выражение, Так как 1пп я(х) = Ь ~ О, то х-> х> Ь Ь ЗЬ >>6<а <- 36(а)>0:0<!х — хс!<5 =е- <я(х) < —, следовательно, 2 2 2 Ьз ЗЬ~ 2 1 2 — <я(х)Ь < — =е — « — —. 2 2 ЗЬз й(х)Ь Ьз 1 Итак, дробь — — функция, ограниченная при х -> хо. д(х)Ь 38 Зо Рассмотрим числитель выражения (1): ~(х)Ь - Е(х)а ге (Лх) - а)Ь+ аЬ вЂ” (л(х) - Ь)а — аЬ ге =И )- )Ь-(()-Ь)..
Это разность двух функций, каждая из которых представляет со. бой произведение б.м, на постоянную, так как (Дх)-а) я (я(х)- ь) — б.м. при х-> хо по теореме о связи функции, проде. ла и б.м. Следовательно, числитель вырюкения (1) — б.м. прн х-э хс. тогда выражение (1) могкно представить как прон»веда.
1 ние атой б.м. на ограниченную — при х а хс, Следовательно, б(х)Ь т"(х) и Дх)Ь вЂ” л(х)а — — — - б.м. прн хо хо. Теорема доказана. О» Сформулируем и докажем теорему о пределе сложной функции. Теорема. Пусть задана слогкная функция у =Г(б(х)) Я существуют!пил(х) = ло и 1ппДя) = уо, Пусть существует не. х-+хо о которая проколотая окрестность ЕО(хс) точки хо, в которой л(х) ФЕО, Тогда 1!ш~(б(х)) =ус. х-+хо а Используем определение предела по Гейне. Рассмотрим о 'тг(хн) -+ хе, Хн н !х б (х О), Поскольку 1пп я(х) = до, то по опредолех-гха нию Гейне 3(б(хн)) =(лн) — в ло (лл ~ дс). Так как 1!щадя) = уб, я-гяс то по определению Гейне 3(Дбн)) = (Дя(хн))) -в уо. Следовательно, в силу произвольности последовательности (х„)-+ хо, о хя н г'О(хо) и Д(б(хн)))-> ус по определению Гейне существует !!ш ) (б(х)) = уо, Заметим, в силу предположения о существовании К а (х О), зто предел и в смысле определения Копни, по теореме об зквивалентности пределов по Коши и по Гейне.
с» БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ (лекция 9) Сравнение бесконечно малых, порядок малости Сравнить две бесконечно малые при х -в хо а(х) и Р(х) озн»ча- ет найти предел их отношения. Если он не существует (ни конеч- ный, ни бесконечный), то такие б,м, называют несравнимыми. Н»- 1, пример, б.м, при х-в 0 Г(х)=хзш — и л(х)=х несравнимы„так Ях) .. 1 как !нп — = 1пп з!и- не существует, х-эо Я(Х) х-гс Х Боли предел отношения б,м; существует и конечен, то зтн б.м. одного порядка малости. В частности, если продел отношения б.м. а() равен единице !пп — = 1, то эти б.м.
называют зквнвалентх-+хв Р(х) нымп бм. а(х)- Р(х), Если 1пп — = О, то а(х) = о(Р(х)) — б.м. высшего перила(х) х-гхс Р(х) ка малости по отношению к Р(х), а Р(х) — б.м. низшего порядка малости по отношению к а(х). Если 1пп — =,то Р(х) = о(а(х))-б.м. высшего норяда(х) х-гхо Р(х) ка малости по отношениго к а(х), а а(х) — б.м, втвгзшего порядке малости по отношению к Р(х). Если а(х) одного порядка малости с (Р(х))~, то а(х) — назым- ется б,ьт. р-го порядка малости по отношению к б,м, Р(х). Пример, Бесконечно малая ! - с пах является б и. аторого порядка мвлостн но 2х !-совх 2вп отнсгненнкг к б.м, х прн х -г О, так как 1пя — = !пп †=- нлн х-гс хт х-гс I тт 2 2 хг О-совх!» — прн х -+ О.
2 Первый н второй замечательные пределы позволяют составить таблицу зквивалентных б.м. при х — > О: агсып х х з!пх-х и Х (1 — сов х) -— 2 Для того чтобы показать, что ах -1-х1па, сделаем замену г = а" — 1. Тогда х = 1ой„(1+ г) и можно записать х г 1 !пп — = !!ш = — = !па. х->О х х->О 1ойа(1+ г) 1ойа с Эти соотношения являются следствием первого замечатсль ногс предела, Например, докажем, что агсгй х - х. Сделаси знмсяй г = агс!й х, тогда х = гй г, х -э 0 ее г — > 0 и агсгйх, г . г соя г 1пп — = 1пп — = 1пп —, =1. х->О х х->О !Кг х->О Покажем еще, что (4+ х — 1) — —.
Действительно, 2 4+ -1, (/Г+ -1)(Л+х+1) 1пп =йш х-+О х х-~О х(4ч-х+1) 1+х-1 1 =йп х->О х(Л+х+1) 2 Второй замечательный предел позволяет пополнить таблниу лмвивалснтных б.м. при х -э 0: Выведем зти соотношения. Запишем 1ой„(1+ х) 1пп " =1пп 1ой„(!+х) =!ойле. х-+О Заметим, что здесь использ ется неп е ь у р р ~алость логарифма Сязоз ие и( +х) — х — еле ие ( ) — — дствис выведенного соотношения гяря» !Ой„(1+ х)-х 1ой„с =— е а -1-х!па 1п (1+х) -х (1+ х)" — 1- 1ьх е, -1-х х Соотношение гх -1-х является следствием выведенного соотношенил при а = е, Чтобы вывести соотношение (1+ х)" -1-рх, сделаем замену г =(1+х)и -1.
Тогда !и(1+ г)=!Х1п(1+х), х-+0<=>г-э Ои можноо записать (1+ х)!' — 1 . г !з !и(1+ х) !пп = 1пп х-~О х х->О 1п(1+ г) х г . 1п(1+ х) = 1пп и!!ш — =и ° о 1п(1+ г) О х Использование бесконечно малых прп вычисленил пределов Таблица эквивалентных бесконечно малых позволяет облегчить вычисление пределов. Использование бесконечно малых при вычислении пределов основано на следующих теоремах, Теорема. Если а(х)-Ях), Их)-у(х) пр" х а(х) - у(х). з Для доказательства запишем 1!ш — = 1пп а(х), и(х)!з(х) . а(х), р(х) = 1пп — Ьп — =1, $> х-эхр у(х) х-~хц (3(х)у(х) х->хя !З(х) х-+хо у(х) Теорема. При вычислении предела отношение б.м. можно 11! заменить отношением эквивалентных им б.м.
Если а(х) р(х), а~т), $~х) х-эх, у(х) х-~хе 6(х) у(х)-б(х) при х -> х, то 1ш1 — = !пп <! Действительно„ й(х), а(хф(х)б(х) ° тСх) ° о у( ))1(х)б(х) = 1пп — 1йп — 1пп — = 1пл а(х) . Щх) . б(х) . Щх) «-+«, Ях) «-э«, б(х) х-о«о у(х) х-з«с Б(х) ' Теорема, Для того чтобы а(х) - )3(х), необходимо и достаточно, чтобы их разнооть т(х) = а(х) — )з(х) была б.м. высшего порядка малости как по отношению к а(х)„так и по отношенню к К(х), з Докажем леобходимослвь. Пусть а(х)-)1(х), обозначим мх разность у(х), тогда Ит — = Иш У(х) . а(х) †))(х) .
!)(Х) =1 — Иш — =1 — 1=0, +«о а(х) «" з«о й(х) « ~«с а(х) з Вычислим предел отношения суммы б.м. к б.м. наименьшего порядка малости (представим б м. в виде ам = /г„,(х — хо)!"" ): а1(х)+...+аз(х)+...+а „(х), а1(х) «-з«с й (х) «-+«ой (х') й„(х) . М хо)" +...+И!и — "= Ипт +...+1+ «-з«с йз(х) «->«о /с,~х-хб)~' /ол 1,х ХО) +„.+ 1пп «-!«о /о (х-хб) " так как о/л!К Я» Рл» Рз Примеры.!. Порядся мзлостн (Я/«+ «/«) прн « -+ 0 равен 1/3. з!и«+(1 — ссз«)+!иб з«) . з!и«+ !и(1+«) 2. !1н» = !ии «-» о „з о х т. е. )»(Х) б.м.
высшего порядка малости по отношению к а(х). Тнк же можно показать, что у(х) б,м. высшего порядка малости и по отношению к Р(х), Доел/ато»!ность можно доказать аналогично, проводя выло!алки в обратном порядке, т, е. пусть !пп — = О. Тогда у(х) «-!«о а(х) й(х) — р(х) !)(Х) !)(Х) 1лп = 1 — 1пп — = О, т. е, оп — =1 н т. д, 1> +«о й(х) « ~«с а(х) «+«о а(х) Теорема. Сумма конечного числа бесконечно малых рвали'знога порядка малости зквивалентна бесконечно малой наименьшего порядка малости, т, е.
пусть а 1(х), а с(х),, й л(х) Р! Рг " Р порядков малости по отношению к(х — хо) прн х-? ха,тогда, если Р, = пвп(Р),Р2, „.,Рл), то (а1(х)+ аз(х)+...+ил(х)) - и (х) . Бесконечно большие н их связь с бесконечно малыми Функция /" (х) называется бесконечно большой (б,б,) прн х — э хе, если Ит 1,/"(х))= «-Ф «с Пример. »руиаззня у= 1/х является бб, при « -з О.
Теорема, Для того чтобы /" (х) была б.б. при х -+ хо, необхо- 1 дим имо н достаточно, чтобы а(х) = — была б.м. при х — у хо. / (х) < Докажем необходимоспгь; /"(х) — б,б. при х-о хо, следо- 1 ватсльно, 1пп 1/(х))= =о 'Ф->О Эб(а)>0: 0<(х — хб)<Ь =о «-? «о Е 1 1 =о)ДХ)(>-=е!а(х))= — <а, Е ! /'(Х)! Следовательно, а(х) — б.м. при х Ох с, Дослгагггочгносгггь доказьь веется аналогично. О> Бесконечно большая 1" (х) называется 6,6. р-го порядка роста по отношеншо к б б.
я(х) при хе хо, если 1пп = К,гдов О (6(х))р константа, нв равная нулго. Бесконечно большие называются эквя. валснтпымн, если Нш — = 1 Бесконечно большая 1'(х) паз ыва. Ях) кс в(х) ется 6,6. 66льшсго порядка роста по отношению к 6.6. 6(х) прн г'(х) хьхс, если 1пп — =, и меньшего порядка рости, соли к-Охс я(х) Нш — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
