Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ях) к-тле ф(х) Теорема. Сумма б,б, различного порядка роста эквиваяеитиа б б, наибольшего порядка роста, т. е. пусть а1(х), а2(х),... ал(х)— б б Р1,Р2, ...,р„порядков роста по отношению к(х — хс) ' ПРИХ-О Хс,тОГДа, ЕСЛИР, = гваХ(Р1,Р2, ...,Рн),тО(а,(Х)+ а (Х)+ +...+ ан(х)) эквивалентна а (х), а Запишем предел отношения суммы 6.6. разного порядка роста: а 1(х)+...+ а,(х)+... а „(х) к +хе а,(х) 1(' ) аи(х =1пп — +...+1+...+ Нш х-Оке а (Х) Х-+ХО ая(х) " 'ле(С,(Х вЂ” Х,) г~е " 'кс /~,(Х-Х,) 'с' таккакЧтме, рм <р„а м1т ~~х — ХО) р", и= м,Х вЂ” ХО Прнмер, Порядок роста гк+ хг+ кт прн к -О + равен 5/2.
Замсчанне, П ах-О р х-О О 1с х является б.б, меньшего псрядка роста, чем х, тггк > О;х -бб, меньшегс порядка раста, нем а", 'сс > 1, НЕПРЮРЫВНОСЗ Ь ФУНКЦИИ (лвкция 10) Функция Г'(х) называется непрерывной в точгсв хб, принадлежащей области определения 1"(х), если Нш Г"(х) м.1'(ХО). Выполг кс пение этого соотношения предполагает существование предела функции (левая часть соотношения) и правой части (т. е, значения функции в точке). Эквивалентные определения непрерывности функции в точке В этих определениях использованы разные формы записи пре- дела функции (левой части соотношения), а также необходимые н достаточные условия вго существования.
Функция Г(х) называется непрерывной в точкехв, если 1, тгя>О Чб(в)>0:/х — ХО)<6=О)~(х)-Дхо)~<е, Здесьзапи- сапо определение предела функции по Коши (предел существует), но вместо проколотой окрестности рассматривмтся окрестность, включающая точку х, так как продел должен быть равен именно значению функции в этой точке, которое опрбделвио, так как хс принадлежит области определения Дх). 2. "сг(ха)-+ХО=О(~'(хк))-ОДХО), Это определение предела функции по Гейне, Предел должен быть равен именно значению функции в точке, которое определено, так как хс принадлежит области определения Дх).
3. айги 2"(х)мДхс), Лйш 1"(х)м1(хс),В этой формули- Х-ОХО-О «-Оке+ О розке использовано необходимое и достаточное условие существо- вания предела функции- существование н равенство пределов сле- ва неправа, 4. Ьх-О О=в г5 1"(х)О О Здесь обозначено:г)х =х-хс, 6.1'(х) = = г (х) -1 (ХО). Бесконечно милому приращению аргумента соот- ветствует бесконе шо малое приращение функции. В самом деле, если приращение функции не стремится к нулю, то н предел функ- ции пв существует. 5. 1пп г (х) = Г( 1пп х).
В самом деле, 1пп, „, =хо, и эта зах-гкс х-Окс пнсь сразу следует из основного определения непрерывности, Такое определение позволяет понять суть непрерывности: вепре- ,оыеггосгиь позволяет менять месгнавггг операг1ггп вычисления преде- ла и значения фунлт1ии, Это теорема о переходе к пределу пад . знаком непрерывной функции. В доказательствах можно выбирать наиболее удобное определение непрерывности. ФУнкциЯГ(х)называетсл непРеРывной в точкехо слева, есин !Ьп 1'(х) = Дхо — О) = г"(хо), т.
е. предел существует и равен знв. чеййю функции в этой точке. Функция ~(х) называется пел рсры знай вточкехо справа, если 1пп ~(х) = Г(хо+0)=г(хо),т, в х-ьхо ьо предел существует н равен значению функции в этой точке. Напомним, что пределы Ях о — О) н,г" (хо + О) называются одна. стпоронними пределами, Определение непрерывности функции на промежутке Функция г" (х) называется ненрерывнай в интервале (а, Ь), если оиа непрерывна и каждой точке этого интервала. Функция /'(х) называется непрерывной на отрезке (а, Ь), если она непрерывна нв интервале(а, Ь), непрерывна в точке а справа и непрерывна в точке Ь слева, Упражнения.
Ояиоотоятольно ляйто определения функции, непрерьп1ной ил полуинторяляе (а, Ь), (о Ь), Теоремы о непрерывных функциях Теорема. Пусть функции г" (х), я(х) непрерывны в точке хо. Тогда их сумма, разность, произведение н частное (еслн делитель отличен от нуля в точке хо) непрерывны в точке хо, з Доказательство проводят, используя теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функций.
Все выкладки аналогичньь Приведем, например, доказательство для суммы н произведения функций: 1пп (Дх)+й(х)) =( 1пп 1'(х))+( !пп я(х)) = = Лхо)+ К(хо) = (Ых) + й(х))!х= Здесь использованы теорема о пределе суммы функций и определение непрерывности функций /'(х) и я(х), ,!пп Их)й( )) = („Ы и .г (х))(„!пп г(х)) = = Пхо)й(хо) = (Пх)й(х))!х —,. Здесь использованы теорема о пределе произведения функций и определение непрерывности функций Дх) и я(х), о ! Теорема, Основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
з Доказательство проведем для двух функций: Дх)=в!пх и многочленаЯ(х) = аох" + а!х" +...+ал !х+ а„, используя определение непрерывности и. 4 (Ь х -> 0 ~ Ь !'(х)-ь 0). Покажем непрерывность в!пх: , (х+Ьх)-х (х+Ьх)+х~ !Ьв!пх!=!в1п(х+Ьх)-в1пх/=2в1п сов 2 Ьх Г Ьх'! ! !Ьх! = 2 вш — сов х+ — ь2 — =! Ьх!. 2 ~ 2) 2 Следовательно, Ат — > 0 =о аз!ох -> О, т.
е. функция вщх непрерывна в любой точке х числовой осн. Покажем непрерывность функции х ~ (гл — натуральное числа), Тогда многочлен — функция непрерывная как сумма непрерывных функций. Длл тп= ! Г" (х) = х является нопрерывной функцией, твк как Ь|(хо) = х -хо = Ах — > О, Функция хм непрерывна как произведение га непрерывных функций Дх) = х, с Теорема, Пусть задана слои<пал функция Дд(х)). Пусть функция я(х) непрерывна в точке хо ( 1пп д(х) =я(хо)=во). Пусть функция ~(д) непрерывна в точке яо ( 1пп !'(я)= = 1(ко) = !"о), Тогда сложная функция !"(я(х)) непрерывна в точкехо ( 11щ ЛИх)) =Х(й(хо)) =Хо). 'зДоказательство основано на теореме о пределе сложной функции и доказывается аналогично (с использованием определения непрерывности функции в п.
2). Рассмотрим произвольную последаватслыюсть (хи ) -о х о. Тогда в силу непрерывности я(х) и точке хо (В(~л))=(ВО) +Во =В(хо) и непРерывности у'(х) в точками (;(Кя))-+ Хо =Лйо) О ~юла (ЛВ(хи))) -+ Уо =Ай(хо)), Следовательно, для произвольной последовательности (х„)-> хо выполнено (Дд(х„))) †> >г(д(хо)). Тогда сложная функция ~(й(х)) непрерывна в точке хо, с Теорема. Элементарные функции непрерывны в области определения. <> Класс элементарных функций — это множество функций, которые можно получить из осиовных элементарных функций с использованием четырех арифметических действий и композиции— слолсной функции, По одной из предыдущих теорем основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.
По другой из доказанпых ранее теорем функции, которые можно получить из основных элементариых функций четырьмя действиями арифметики, непрерывны, Кроме того, было доказано, что функции, которые можно получить из основных элементарных функций коьшозицией функций, непрерывны. Рассматривая все эти теоремы вместе, убеждаемся в непрерывности элементарных фуикций в области их определении. с СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ (лекция 11) Первая теорема Больцаяо -Коши.
Пусть функция /'(х) непрерывка на отрезке (а, Ь). Пусть на концах отрезка функция принимает значения разных злаков. Тогда существует некоторая точка на отрезке (с и (а,Ь1), в которой функция принимает нулевое значение (Я(с) = 0). Вторая теорема Больцаио -Коши. Пусть функция у (х) испрерывна на отрезке(а,Ь), Пусть у(а) = А, у (Ь) = В (для опрс- деленности А <В). Тогда для любого числа С: А < С< В, существует некоторая точка на отрезке (с я (а, Ь) ), в которой фуикцпи крииимает значение С(> (с) = С).
Первая теорема Вейерштрасса. Пусть функция,Г(х) лепре рывна на отрезке (а,Ь). Тогда она ограничена на этом отРезке (З,ы:Ч (,Ь) У( ) 5М), 50 Вторив теорема Вейерштрасса. ПУсть фупкция > (х) ие е (а Ь), Тогда она достигает иа нем своей верхней и нижней грани (лх1,х2 и(а ь)' У(х1)=11= " ~( )' (ад) у<~,~=Ь~ = зор Пх)). 1а,ь) Следствие. Функция Дх), непрерывная иа отрез>се, прини- 1 мает на нем все свои проме>куточные значения. <> рассмотрим отрезок (х>,хз), на границах которого функция достигает своей верхней и н>окней грани, Этот отрезок существует по второй теореме Вейерштрасса и принадлежит отрезку (а, 1, на котс м функция непрерывна. По второйтеореме Больцано-Коши функция принимает на отрезке (х>,хз1 все свои р жут котором и п оме очные значеиия (между нижней и верхней гранью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
