Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Теорема (о предельном переходе в нерааенсгве). Пусть Ях) < Ях) в некоторой окрестности точки хс н существуют пределыйгпх х г"г(х)=ЬО 1ппх „, Г2(х)=Ь2.Тогда Ь! <Ьз. а Предположим„что Ь) > Ь2. Тогда туе>0 З5)(е)>0: О< !х — хс/< 5) --« /уг(х) — Ь)/<е =«Ь) — е <у)(х) <Ьг+е и )уе>0 з5,(е) > О: О<!х-хс/< 52 =« /у2(х) — ь,!<е =«ьз-е<!2(х)< Ь! — Ь2 < Ь2+ е, Выберем е < —, 5 = гп!п(5 1,52).
Тогда в окрестности 0<!х-хс!<5 выполнены оба неравенства и Ях)> Ь) -е> Ьг+ Ь2 » — Ь2+е>/"2(х). Это противоречит условиго теоремы: 2 Л(х)<Ых) !> Обозначим М = шах(! Ь вЂ” е!,! Ь+ е)), Тогда в 5-окрестности точки хс имеем Ях)!< М, т. е. функция локально ограничена, г> Сформулируем и докикем теоремы о пределах функций, Теорема (о сохранении функцией знака своего предела).
Пусть !пну" (х) = Ь > О, тогда в некоторой окрестности точкихс Дх) > О, х-гхе с) Выберем )ге(О<е <Ь). Так как существует 1ппх „. )'(х)кп хтхо = Ь>Ц то уе (0<е <Ь) З5(е)>0: 0<)х — хс)<5=«! Г(х) — Ь|<е=о =«0<Ь-е <у"(х) < Ь+е ~ у(х)> 0 в некоторой окрестности гочс. Теорема (о знаке предела знакопостоя иной функции). Пусть существует 1пп„, Дх) = Ьи ) (х)>0 в некоторой окрестности точких,,Тогда Ь>0. з Пусть Ь < О, Тогда по предыдущей теореме существует некоторая окрестность точки х, в которой „Г(х) < О.
Пришли к противоречию.г> 32 Теорема (о пределе промежуточной функции) — первый признак существования предела, теорема «о двух милиционерах». Пусть л(х) > ) (х) > Ь(х) н 1ппх,„., я(х) = 1ппх х Л(х) = Ь. Тогда!!гпх хо /'(х)=Ь. Имеем по условиго теоремы:!!п)х „, я(х)=Ь =«Че>0 х-гхс З5,(е)>0: 0<!х-хс)<5) --«!я(х)-Ь!<Е=«Ь-а <я(х)<Ь+е и йт„~ Ь(х) = 5=«ЧЕ > ОЗ52(е)>О.'0</л — хс! <52=«!Ь(х)-Ь!<е =« =«Ь — е < Ь(х) < Ь + Е Выберем 5= ваш(5),52),Тогда в окрестпостиО<)х -хс)<5будут выполнены оба неравенства. Следовательно, в этой окрестности Ь вЂ” е <я(х) ~Дх) <Ь(х) <Ь+е =«!/(х)-4<е. Тогда 1пп, „. г(х)= Ь, г> и Назааиие «о дпух лгипиггионсрпкп свизпио с пмипиииоиерпмии я(х), а!х) которые, зажав аирестуииикпи г'!х) с двух сторон, ведут сто в потдспсииеп Ь Оаи; т», .Г!х) = Ь) 33 впл х 1пп — = 1, х-> О Рис, 7 !!ал !+- =е.
"$а ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРКДЕЛ1>1, ВЕСКОВЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛПЧИНЫ (ФУ1ПСЦИИ1 (лекция 8) Первый и второй замечательные пределы Первый замечательный предел, Вычислим предел функция В!П Х у = — при х-> О, который называют первым замечатсльиьш пределом: 1. Пусть х>0, рассмотрим круг единичного радиуса. Отметим на нсв центральный угол х радиан, стягивмсщую его дугу х радиан, в!пх и !й х, В> Имеем неравенство лйпх «х < !Ех. Де.
х 1 лнм его на вшх > П 1 « —, —, вш х сов х Полученное неравенство «переворя. вшх чиваем»: совх « — 1, Так как х совх->1 при х-'> О, то по первому признаку существования предела в!пх !впх-»О 2. Пусть х < О. Сделаем замену я = — х. Тогда 1пп„ х в!и(-е) . пп а = 1пп,>+О = !пп, чс — = 1, Так как предел слова и предел г справа равен 1, то существует 1цп„с — = 1. В>ПХ х Второй замечательный предел, Дока>кем справедливость формул 1 „ 1пп„(1+ -)" = е, 1пп, О(1+ х)» = е.
х 1 1» рвяее было доказано, что !лп„, 1+ — ) = е для натуральнол~ 1 х гс в Докажем, что 1ип„,с(1+х) = е для действительного х. Рассисгрялл 'Ф~хл1-> О, 0<х„<1 (хв — действительное число), Огсю. да 1< — <, Š— =ял (Š— целая часть, А„— натуральное х» ха ,гяслс). Последовательно выпишем цепочку неравенств: 1 1 1 1 1 >»с — <!ля+1, — — «х„< —, 1+ — «(1+х„)«1+ —, 1 !+ — <(1+х ) < 1+— Гг„+1 !+ — — —— 1 ---- < (!+х>1) < 1+ — 1+— Таккак 1+ — -> 1, 1+ — -> 1,то при lгл — > левая )!л+1), „ И ПРаВаЯ ЧаетИ НСРаВЕПСтаа СтРЕМЯтол К Е, НО ХЛ -Ч ° РаВНОС>ШЬНс х„-> О.
Следовательно, по первому признаку существования ирсдс. лд й>л (1+ха) = е. Заменяя здесь х„— > 0 па х-> О, получаем л„-> О Х 1 йв(1+л) =е. Заменяя х„ня — и хгл-+ О на х — >, получаем х-10 х Бесконечно малые величины (функцин) Функция а(х) называется бесконечно малой (величиной, т1>унк. цией) при х -> хо, если 11пз а(х) = 0 или, раскрывая определение предела, х->хе Че>0 ВЬ(е)>0: 0<1х — хс!»Ь=е1а(х)~»е. Примеры,>. Функция я!ох,бесконечно малая ирн х — > О, х — > и, х — > 2я, .„ 1х->на, а =О. Х1, а2, ...), не является бесконечно малой, например, нра п х-> —, х-> 1, х-> 2. 2 2. Ин одно число не яаляется бесконечно малой, за исключением числа нуль, которое можно отолрдеспнть с функцией п(х) м О, Сформулируем и дока>кем теоремы о бесконечно миль>к . 1. Сумма двух бесконечно малых — бесконечно малая.
! Теорема. Волна(х), )3(х)-бм. при х -+ хо,то(а(х)+ 13(х))- б.м. при х-> хо, »> Так как а(х), Ь(х) -б.м. при х -+ ХО, то т>р- > О ЗЬ1 > 0; О <~х — хо ~ < Ь1 -фх(х)~ » —, Е Е 2 2 Е тр — > 0 УЬ2 > 0: 0 <~х — хо~ < Ь 2 — >( В(х))»-., 2 Выберем Ь = п>ахи!,Ь2 Т, тогда при О <1х — ХО( < Ь выполня готов оба неравенства и 1а(х)+ р(х)! Я1а(х)Г>113(х)1»ь ь — = а. Следова- 2 2 тельно,(а(х)+В(х)) — б.м. прих-> х .1> ХО' 2. Сумма конечног ого числа бесконечно малых — бесконечно малая. у а!(х), ..., а„(х) — б.м, при х — + хс, тогда Теорема. П сть У(х) (а!(х)+ ° ° +арр(х)) б и при х + ХО, ° с Доказательство проведем по н>щукции.
Для с еержление доказано п е .щукции. Для случая и =2 утр.~е~.р р..р. йр. р ррр « р ости обозначение бесконечно малой — б.м. Зб справедливо п(ж и — 1, Тогда Т(х)=(а1(х)+...ан !(х))+ап(х)= ,(х)+ а я(х) = Т2(х) является бесконечно малой, поскольку Т 1(х> б и как сумма (л — 1) бм„а Т2(х)- бм. как сумма двух бм. 1> 1, Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция„р (х) называется ограниченной при х -> хс, осли в нс.
которой проколотой окрестности точки хо выполнено Ях)~ < М, гдс ЛГ- некотоРое положительное число. Ясно, если фУнкцпа Я в за. ется ограниченной, то она ограничена при х -> хс, где хо — л!Об!>я точка области се определения.
Обратное неверно. Функция Г(х) иа. змвается неограцичснной при х -> хс, если в некоторой проколи. той окрестности точки ХО шиполпсно ~ / (х)~ > М, где М- любое. тадщ>исе заранес положителы!ое число. Пркмер. Функция — ограничена прн,т-> 1,,т->, но нс ограничена ьпн х-> О. ! Теорема. Пустьу"(х) — функция, ограниченная прн х -р то, п(х) — б и, при х -+ хс, тогда их произведение >Г(х)а(х) - б,м при х-> хс. < Так как 1(х) — функция, ограниченная при х--> хо, мр ЗМ>0, 351>0:0<)х -ХО)<Ь! =с!)"(х)~< ЛУ.
Посколькуа(х)-- б и прях -> хб,то 'у — >ОЗЬ2~ — ): 0<~я-ХО~<Ь2 >)а(х)1< --.. с 1б! а и -~И,)' ' ' - '' М Тогда при 0»1х — хс~»Ь = пцп(Ь>,Ь2) выполнены оба нсраееистаа. Оцепим произведение у(х) а(х) при О < ~х - х О~ < Ь 1у(х)а(хна. )1 !ай < Л~-'-- = .
ЛТ Следовательно, г'(х)а(х)-- б.м. прн х — > хс. а Связь функции, се предела н бесконечно милой Теорема, Дня того чтобы 31нп 1 (х)= 6, необходимо и дрч. т х з х-р ы таточно, чтобы Ях) =1>+а(л), глс и(х)- б.л! прн.к -> х -'о !>я х ' '>й '> е~:; .' а.. х-'>а з Докажем необходимое>г>ь: 11пЯ (х) = Ь=с Чн> 036(е) >О' О <1х- хо! <б =е!г(х) — Ь!<г. хя Обозначая а(х) = г"(х) — Ь, получим !а(х)! <8, т. е. а(х) — б.м, при х-ь хс, г(х) = Ь+о>(х).
Докажем досо>ао>очность: У(х) = Ь+ сс(х), где сх(х) — б.м, при х -э хо. Тогда > (х)-Ь=а(х) — б.м. при х-> хо =е Ча>0 Эб(е)>О: 0 <! х — хо! <б ~ !а(х)1=3г (х) — Ь! < в. Следовательно, 1!>и~(х) = Ь. 1» х->хр Арифметические операции с функцннми> ! цмеющими предел Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной.
<! Справедливо равенство с = с+ О, где 0 — число нуль или тождественно равная нулю функция — б.м. при любом х -> х, Пусть Дх) = с, тогда Дх) = с+ а(х) (п(х) >х 0). По теореме о связи функции, пределаи б,м.!пас=с.!> Теорема. Предел суммы существует и равен сумме пределов, если предел какцого из слагаемых существует, т. е, пусть 1!щ3 (х) = а,!пня(х) = Ь,тогда 3 1!>и (~(х)+ я(х)) = а+ Ь. х->хе х->хе х->х хе ~ По теореме о связи функции, предела и б.м.
г(х) = а+и(х) Йх) где п(х), Йх)-б и. при х -> хо, Тогда((х)+ »(х) = (~(~)+»(х)) (а+ Ь)+Т(х) где Т(х) — б м (как сумм„ двух бм.). Следовател .). д тельно, по теореме о связи функции, предела н б м. Л 1пп (.Т(х)+ я(х)) = а+ Ь = 1пп ( (х)ь 1пп я(х ). > " 'хо х->хе х->хо Теорема.
Предел произведения существует и равен произведению пределов, если предел каждого из сомножителей существует, т. е. пусть 1ип1"(х)=а, 1!п>я(х)=Ь, тогда Я!!я>1>"(х)»(х)]= аЬ, х эхо х >хо х->хе з По теореме о связи функции, предела и б.м.)"(х) = а+ а(х), й(х)=Ь+!З(х), где а(х), !3(х) — б.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
