Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Так как отрезок (х>,хз) принадле>кит отрезку (а,Ь), тс и на отрезке (а,Ь) функция принимает на нем все свои промежуточные значения. с Теорема о пепрерывиости обратной фуикции. Пусть функция у = 1'(х) определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке (а,Ь), Пусть о>=Да), ~) = г(Ь). Тогда на отрезке (аД определена, непрерывна и строго монотонна функция х = я(у), обратная по отношению к функции у = г (х).
Эта теорема приводится без доказательства, но заметим, что непрерывность и строгая монотонность фу> ц у —,> ( ) ваютизоморфизм отображения(а,Ь) на (аДфу щ,г' ф н> ией,г'(х),аизоморфизм по доказанной ранее теорем е — это необходимое и достаточное условие существования обратной функции, Точки разрыва функции и их классификация Точкой разрыва функции называется точ точка не являющаяся точточке аз ыване выполнено кой непрерывности.
Следовательно, в т р р Условие 1пп У(х) = Дхо). Это Условие мохсетбь>ть наРУшено в не- ~'"""'.-'х, но,ионеравноеепределувэтойточке(В ' „Г( ) ) а очка х Называется точкой устр» ыв называется устраиимым, а точка хо Р ст влить, дсопределяя функцию пкмого разрыва. Разрыв можно устр 51 в точке х значением предела. Устранив разрыв, мы сделаем функ-' цию непрерывной, так как определение непрерывности ф функции а точке х после устранения разрыва будет выполняться. !!ап апх иться.. априыер, функцию Г"(х) = —, имеющуьо устранимый разрыв в точке х = 9, можно сделать непрерывной, полагая /'(0) = 1пп — = 1, х — ьа 2.
В точке ха функция имеет односторонние пределы„онн ко. нечны, но не равны ( Зйш Дх)=у(хо — 0)м1", Л1пп у(х)= х ~хо О х +хр+О =Дха+0)~Ь, Дха -0)~Дха+ 0)), Такой разрыв йазывается разрывам первого рода. Его нельзя устранить, так как пришлось бм «исправлять» не значение функции в тачке а паведени ф ение функции в ок- рестиасги точки ха. например, функция,г" (х) = агс гд — имеет в точке х = 0 разрыв первого рода, так как г (- 0) = — —, а /'(+ 0) = —, 2 2 3.
Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует вообще, Такой разрыв называется разрывам второго ! рода, Например, точках = Оявляется для функции Дх) = в» точкой разрыва второго рода, так каку" (+О) =+, хотя у" (-О) = О. Точка х = О 1 являетсядляф нк ии,' х =— фу ции,'(х) =- точкой разрыва второго рода, здесь ! пределы слова и справа бесконечны. Точка х = О является для функ- ции Дх) = з!и-тачкой й разрыва второго рода, так как здесь нп левый, ни правый пределы не существуют. упражнение.
Придумеяте аналит сколь ько точек резрмие резкого роде, иду елитичсски эедеииые функции, имеющие ис- Асимптоты графика функции Асимптота графика ф н точка М (к,1'(х)), лежащая на г а гр ф функции — это прямая, к которой стремится хотя бы одной из ее коо ин ), щая на графике функции при стрел»ленни координат к (М-о при х -е нлн х) -Ф ). Здесь «е стремится» означает, чта Йп р(М, Г) = О, где Г- М-ь асимптота, а р — расстояние ат точки Мдо асимптоты, Заметим, чта расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклоннылеи и горизонаадьньиии. Прямая х = ха является (двусторонней) вертикальной аснмптотой графика функции Дх), если 1пп Я(х) = ч,, х-»хо-О 1пп )"(х)=т., Например, прямая х=О является вертикальной х-»хо+О 1 асимптотай графика )л(х) = —, Боли только один из этих пределов х бесконечен, а другой конечен, та прямая называется односдооронней вертикальной асимптатай (если левый предел бесконечен, та нравосторолней, если правый предел бесконечен, то лввостороннвй). Зто несложно запомнить, если понять, что правосторонняя асимптата находится справа от ветви графика, уходящей в бесконечность, а левосторопняя — слева. Например, прямая х = О является 1 левосторанией вертикальной асимптотай графика /"(х) = в" и лра- 1 васторонней вертикальной асимптотой графика у (х) = и х, Если аснмптота не является вертикальной, то она имеет конечный угловой коэффициент.
Уравнение наклонной асимптаты, как и всякой прямой с конечным угловым коэффициентом, можно записать в виде у = Ъ+ Ь. Если угловой коэффициент наклонной аснмптаты равен нулю, то она называется горизонтальной. Наклонная асимптата может быть лравасторонней ( М-о при х о+ ) или девос1лороннвй (М -> при х е — ). У правосторонней и левосторонней асимптот могут быть различные параметры 1с, Ь, Более того, мажет существовать лишь одна асимптота, правосторонняя или левастаронняя, или не существовать ни одной. Если определяя параметры Ь, Ь какой-либо асимптоты, мы получим бесконечные значения или вообще не смажем их найти, значит зта асимптота не существует.
Если параметры /с и Ь в той и другой асимптате одинаковы, то эти аснмптоты представляют собой одну прямую-двустороннюю наклонную асимптоту графика функции. Как же найти параметры наклонной асимптоты7 Гслн аснмптата наклонная илн горизонтальная, гораздо проще записывать условие асимптоты не ввиде 1пп р(М,Г) =О, а как М-ь с 53 ПРОИЗВОДНАЯ (лекция 12) функцией 1пп х— ь'.у'(х) ЕС П.,) >1 сек 54 !пп (1(х)-(Ьх+ Ь)) = О(для правосторонней асимптоты) или !нп (>Г(х) -()сх+ Ь)) = О(для левосторонней асимптоты).
х->- В свмомделе, ясно, что р(М, Г) ж (Дх)- ()сх.ь Ь))совях,где (йгя = л. 'л Если угловой коэффициент й конечен, то а вь — и соз и и О. Гя>- ' 2 гда р(М, Г) — > Ос=> Ях) — (/як+ Ь)1 — > О, поэтому для отыскания гва-; раметров асимптоты можно использовать более простые условия. Рассмотрим, например, правостороннюю асимптоту. Продуто ложнм, что параметры асимптоты конечны. Из условия . !пп Щх)-(Ы+Ь))=Оимеем 1пп (7(х) — Лх) — Ь = О так кпк ил.
х-> х-> Фм раметр Ь константа, Тогда существует 1пп (у(х)-йт)=~. ! х->+ Запишем !пп х~ — -lг~=Ь. Пусть 1цп ~ — '' — Ф ~О, тов'тд (((х) '), уеду(х) х-> >, х х>ч ~ х он равен константе, бесконечен либо не существует. В любом ввз ос) зтихслучаев, умножая ~ — — (с на бесконечно большуюх, ьвы ме, сможем обеспечить локальную ограниченность х — — й ирвв х — > 4, а следоватольно, конечный предел произведения: Следовательно, 1[ш Р(х) й1 Он(, 1 .у"(х) 'х->+„~ „~ = н = пп ', если тгнндсо ж х->+" х существует и конечно, так у ио, Итак, получены формулы для расчета параметров л, Ь наклонной правосторонней асимптоты.
Для наклонная>В левосторонней асимптоты в этих формулах надо взять х — >— Прнмерьь !. Покажите, что о для графика функции у(х) = х+ веснах цриьснл у=я+--правосторонняя наклонная всим 2 ая всимптота, а у = х — — — лсчюсто рою>яч. 2. П Покажите, что для графика функции х = х+ 2 ,.ункции у(х) = х+ а>их на>слонима венчика т су>цествует), Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента.
Записывается зто так: му (х) . У(хо+ пх) >'(хс) . У(х) Лхе) )'(хс)= 11 — = 1! = [пп ах->О дх ах->О Ьх ах->О х — хо где Ьх = х-хо. Для того чтобы показать, что производная является той точки, в которой она вычисляется, часто пишут !'(х+ Ьх) — ((х) ахшо Дх Физический смысл производной заключается в том, что она численно равна скорости изменения функции при изменении ее аргумента, Примеры, ), При равномерном движении яр) = >Ь р(ь+аь)-ь) ы->о оь а2 2. При равпоускореппом движении я(ь) = —.
2 х'(е)= пп> а[(с+аь)'-~~1 а[ь~ьзьа>+рп))-с~] Нтн =ад ы- о 2аь ьы>е 2О>' 3. Прн про>ь>вольно>> движении (с переменной скоростью) х'(ь) = Ню — = К(ь)- мгновеннвя скорость в момент времени Ь ая(ь) ы-в аь Геометрический смысл производной понятен нз рассмотрения графика функции (рис. 7). Точки графика А(хо,у (хо))> п(х .>' (х)) С(х,.у (хо)) являьотся вершинами прямоугольного треугольника, если провести секущую графика АВ, Вычислим ее угловой коэффициент: 55 Уравнение норм»»«пг к графику функции в точке А можно записать» использул условие ОРтогональнасти пРЯмьпг )г»» «р«» кяс ! (хс) в виде хс 1 У-УО =- —,(х-ХО) У'(ХО) Рнс, 7 тельной численно равен 1'(ХО) и она проходит через точку А, то ее уравнение имеет вид У вЂ” УО = У'(ХО)(х — хо).
Если уменьшать»)х„то точка С будет смещаться к точке А по прямой АС, параллельной аси абсцисс. Точка В тоже будет смещаться к точке А по дуге графика функции. Секущая АВ при Лх — «О будет стремиться к своему предельному положению — касательной А1) к графику функции в точке А. Следовательно„угловой коэффициент секущей будет стремиться при д»х з О к угловому коэффициенту касательной в тачке А: д«г"(ХО) кос = )нг«»гаек = й»п =,» '(хс), дх«0»«х ФО с«Х Итак, геометрический смысл производной функции состоит в том, что она численно равна угловому коэффициенту касательной а графику функции, Уравнение касательной и нормали к графику функции Запишем уравнение касательной А)) (см, рис.
7) к графику функции в точке А(хс,у(ХО)). Так как угловой коэффициент каса- Пркрзн»ение орднняты кссятельной пра изменении сргуме чснпое нс графике»(г(хс), реино (из треугольника г!!ЗС) про из седа нщо тенгенса угля неклонзкасктсльпойхе нсдх,т. е. »Р(хс) х„гсдх= ~" (хс)д»х, Оказывается, к «том состоит геометрический смысл лиф»)«еренц»»алс«дифг!~яре»»чиаг щклеалс рааса прнра»чг«ию ердиааты касаюгльаав к графику фу»»х»га»».
это мы обсудим позже, когде введем понятие д«»фференциыщ кяк глзспой части приращения функции, линейной относительно ах. Уряпнсние касательной: у-1 = х, нли у = х+ 1, Урапнснис нормели; у-1= -х, или у=1-х. Односторонние производные производной слева (левой производной) функции в точкехо на- зывается Лх)-Лхо -О) 7'(х, — О) аа 11ш х«хс-О Х - ХО Производной справа (правой производной) функции в точке хо называется У(х) — У'(ХО+ О) 7'(ХО+ О) = 11 +О х хо Если производная в 7" (хо — О) = «г (хо) = 7" (хо+О), тачке существует, то Пример.
Лпя функции у(х) =)х! пронзсодной с точке х = О не существует, но 7'(-О) = -! 7'(»О) 1. Это легко получить, построил график функции. Вообще говоря, производная функции (левая или правая) в некоторой тачке может обращаться в бесконечность, Тогда в этой точ- 57 Пр»»мер. Проведем касательную и нсрмсль к графику функции у = а» я той точке, где она паряяяельнс прямой у = х: агсс=)'(х )=е'" =! ~хе = О„' ус = у(хс)=е = 1, о ке график функции имеет вертикальную касательную левую).
Примеры, 1. Функция у = чх имеет левую вертикальную кас 1 ксх= о,'гак как у'(+0) = )пп — ~ =+ ~, при» < 0 функция не оп .~~»сз 1х 2. Функцию у=(1х имеет вертикальную касательную в точк Г(0)= и —;-= 1 " 'еЗ хз Дифференцнруемость функции в точи Функция Дх) называется дифференцируемо й в то приращение в этой точке, соответствующее приращен 4гх = х — хо, можно представить в аиде Ч(х хо)=А(хо)гьх+а(х,хо)пх,гдеа(х,хо) — бм, Главная часть приращения функции А(хо)бх, линейная относительно Ьх, называется дифференциалом функции в тачке х(,. Поэтому функция называется дифференцируемай, если она имеет дифференциал (конечный). Заметим, что геометрнческай смысл дифференциала состоит в том, что дифференциал чнслонно равен приращению ординаты касательной к графику функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
