Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если обозначнтьу! —- сЬх, 2 2 у2 =вЬх,то уравнение у, -у =1-это уравнение равнобочной гн- 2 2 перболы. С~вяните с основным тригонометрическим соотношением; в!и х+соз х=1, Если обозначитьу1=совх, у2 — — в!пх, тоуравне- 2 ние у! +у2 —- ! — это уравнение единичной окрухп1осги, Как и соответствуюшие по пазван и1о тригонометрические функции, сЬ хчетная функция, зйх — нечетная функция. Для гиперболических функций справедливы формулы слсокения с!т(х+у) =сйхсйу+зйхвйу; зЬ(х -ь у) = айх сйу+сйхвйу.
Фундамептальнаи последовательность, Последовательность (хл) называется фундаментальной, если че >О ЛФ(е)> 01 Ю!11 > Л1, Уиз > У =Ф!хл — х )<е, То есть прн достаточно больших номерах элементы последовательности с этими номерамн становятся очень близкими друг к дру- гу.
Определение моясно дать н так.' последовательность (х ) называется фундаментальной, если тй.>0 ЗФ(а)>0: 'ссп>Ф, 'ф>0=о)хи+, -хи)<в, Если сравнивать с предыдущим определением, то здесь р обозначает расстояние мезкду двумя номерами. 2+ (-1)", Пример. Провсрим фуидвмситвльлость последовательности хи = —; л 2+(-1)и 2+(-1)"~л~ 2+( !)" 3 (х„+,-х„)= (хя -хя~р(= -- < >- <в, и л+р 1 и и (3) 'чи>й, если выбрать для лроизвольиого в номер У > Ь[ — [,тдсЕ() — ислвя с часть числя.
Слсдоввтсльио, лослсдоввтсльиость фундаментальна, Докажем теоремы о фундаментальных последовательностях: Теорема. Если последовательность фундаментальна„то она ограничена. а Если последовательность фундаментальна, то, зафиксировав некоторый номер ее элемента п > М(в), получим, что все элементы с ббльшими номерами будут лежать в в-окрестности элемента хи. Следовательно, последовательность ограничена.(> ! Теорема.
Если последовательность сходится, то она фундаментальна. Я <) Так как последовательность (х ) сходится, то ~У вЂ” В Лс(а ): и 2 Чп> Ф~~х„— а~<в, Выберем Мп> У, чт> Ф. Тогда в е 1хл — х,„1=1(х„— а)-(х,„— а)) <!х„— а1+1х,и -с4< — + — =е, Следовательно, последовательность фундаментальна. (> Имеет место лемма Больцано — Вейерштрасса. ! Лемма. Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. <) Пусть все элементы последовательности (х л ) лелсат на отрезке [а,Ь).
Разделим отрезок пополам, получим два отрезка 2б с (а + Ь)Ч [(а+ Ь) а, ~, ~, Ь Длина квкдого из них в дваразахсессьмсе длины исходного отрезка. Выберем из ннх тот, на котором содержится бесконечное число элементов последовательности (ссли это справедливо для обоих отрезков, можно выбрать любой из иих) и обозначим его [а1, Ь1). Продолжим процесс деления отрезка пополам, В результате получим последовательность вложенных отрезков, имеющих по лемме о вложенных промежутках единственную обшуюточкус.
Причем(а„)-> с и(Ьи)ь сприп-у . Отмечая на каждом отрезке точку х ь, )с = 1, 2, ..., получим подпоследовательность(хя) (ал ~хь >Ьь), сходящуюся кточкес. 1> Докинем критерий Коши для сходимости последовательности: л Теорема. Для того чтобы числовая последовательность (хл) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, <1 Неабхадимаси1ь следует из доказанной выше теоремы: если последовательность сходится, то она фундаментальна.
Докажем дастато1псашиь. Пусть последовательность (хи ) фундаментальна, тогда по доказанной вышо теореме она ограничена, а нз ограниченной последовательности по лемме Больцано- Вейерштрасса можно извлечь сходящуюся подпоследовательностгк 6 в (хиа ) — ь а, ч- злс1. мпь > Ф1 =ахи„— а(< —. Так как последовательность фундаментальна, то в 6 'Ф- ЗФ2. туп1> Н2, %~2 > Фз =о)хл — хи 1< —. 2 т Выберем Ьг = 1пах(М1, Фз), тогда для чп> Ф выполнены оба неравенства. Оценим )хи — а~: а 6 1хл — а)=((хи -хи ) — (а — хи )) <)хи -х, [+)хи — а)<-+ — =В.
Теорема доказана. 1> пркдел Фущгции (лекции б, 7) Рассмотрим окрестности различных точек н поясним смысл стремления переменной к точке. 1. х -ь хо, хо — коленная точка, Обозначим ее окрестность (двустороннюю) 1'ь(хо): (хо — Ь хо+ б) При х » хо существует стягивающаяся к хо совокупность ее окрестностей: рь(ХО)-» хс. Ь-» О Введем понятиепроколотой(двусторонней) окрестноститочкн. е )'ь(хо): (хо б хо)~г(хо,хо+Ь). При х -+ хо существует стягивающаяся к хо совокупность проко- в о потык окрестностей точки: Р Ь (Хо ) -» Хо > Хо 6 ) б (ХО) . ь-»0 2.
х-» хо+О, хо — кане шал точка ~ . Обозначим право- х>хо сторонщою окрестность точки )б(ХО). (хО,хО+Ь). Прн х — ь хо+ 0 существует стлгива|ощаяся к хо совокупность правосторонних окрестностей точки: Гь(хо) » хо+ О. б-ь О (Х»ХО З,х-»хо — О, хо — конечнплточка~ . Обозначимлевостороннюю окрестность точки ь(хо) (хо хо)' Прнх — » хо — 0 существует стягивающаяся кхо совокупностьлевос~оРонник окРестностей точки; )'ь (хо ) — Ф хо — О.
б»О 4. х-»+е, Обозначим окрестность бесконечной точки при стремлении к ней в пололснтельном направлении числовой осн Р'ь(+ ): (б,+ ), б>0. 5. х ь — к Обозначим окрестность бесконечной тачки прн стремлении к ней в отрицательном направлении числовой осн 1'б( — ), (-,-б), Ь>0. 6. х » ° . Обозначим двустороннюю окрестность бесконечной точки 1'ь( ): (-,-б)и(б,+ ), б>О.
ю Злмечяиив. Пролепетал еиреетиееть ИЕ(») точки я атличветея ет екрестноети Рь(») только в случае калечной точки (п, 1). В летальных случаях (и, 2-6) вти окрестности совпади|от, твл хвн тсчиа», ла слределеиию, не приивллежит екреаивети, Общее определение предела функции по Коши можно записать в следующем виде; О 1)ш ) (х) = е», если яуе > О Лб(в) > О.' х н Р ь(е) =е г(х) н 1' (ее) .
В качестве проколотой б-окрестности точки (е) и е-окреспюсти точки (е*) при конкретном выборе этих точек (хо,+,, и т. д ) выбираются окрестности по типам и. 1-б. Например, для конечной точки хо определение предела функции записывается так: 11 1( )=д 'тг О Зб(е)>О:О<1Х вЂ” О1<б 1)( )-О)<в, л-»хе пралостороннегп пределп, илн предела справа- так: 1пп г"(х) = й= Г(хо+0)с=> х-?хе»О <е1»в>О Вб(е)>0: (хо <х<хо+б)=е/.((Х) — д/<е, п лееослпороннего предела, или пределп слепа — в следующем виде: й Л )=Ь=П -О) е сете>0 Чб(е)>0: (хо — б<х<хо)~~У(х) — б~<е. Эти пределы могут быть и бесконечными, например, для конечной точки хе = 0'. 1ип)(х) = с=~ «Ое > 0 35(е) > 0: 0 <~ х ~ <5 =О ))(х) )> е; х-Оа 11щ)(х)=- еО'Ое>0 Э5(е)>0.
0<~х~<5=« /(х)<-е; х-«а 11п«г"(х)=+ се'Ое>0 Ч5(е)>0: О</х/<5=О)(х)>е, х-«о Для бесконечно удаленных точек числовой пряьюй используются окрестности пп. 4-б. Например: 11ш ((х) = ее'«й > О В5(е) > О: х > 5 =О ) ((х) ~> е; х-«+ ° 1пп((х)= ЬеОЧе>0 55(е)>0. 'х < — 5=О~ ((х) — Ь~<в; 1ппУ(х)=- сОМе>0 Л5(е)>0: /х/>5=О)(х)<-е. Геометрический смысл предела состоит в том, что для любого размера е окрестности точки (**) существует проколотая окрест- ность точки (*) размера 5(е) такая, что как только х попадает в про- колотую окрестность точки ('), то )'(х) попадает в окрестность точ- ки (**).
Дадим определение предела функции по Гейне: йщ((х)=Ь, Х-«ХО если для я«абай последовательности аргументов, сходящейся к хо, 1хп)" хс, (х„Ф хо), соответствующая последовательность значений функции сходится к точке Ь: Имеет место теорема: ! Теорема.
Определения предела по Кащн и по Гейне эквивалентны. 30 Сформулируем необходимое и достаточное условие существования предела. Теорема. Для того чтобы существавая предел 11ш)'(х) = Ь, «хО необходима«и достаточно, чтобы существовали конечные преде- лы справа и слева, равные Ь, т, е, чтобы выполнялись условия; ),((.) =.((.о -О), 2) ((.) =)(.с+ ), О Х-«ХО+ О 3) ((ха-О) = Г(хо+О)= Ь. Докажем нвобходимосп«ь.
Выберем последовательности ~ха ~-О ха+ О, (хп ~ -«хс — О, ПРеделы У(х) по этим последовательностям представляют собой пределы справа и слева, они существуют и равны Ъ в силу эквивалентности определения пределов па Коши и Гейне Докажем дос>патонность. Так как правый предел существует, то для Че > 0 5 51 > 0: (х с < х < хе + 51) =О1) (х) - Ь 1< а.
Так кис левый предел существует, та для Ое>0 Вбз>0; (хс -52 <х <хс)=О«1((х)- Ь)<е, Выберем 5=щ1п(51,5О). Тогда при 0 < ~ х — хо [ < 5 выполнены оба неравенства, следовательно, 0<1х — хо1 < 5 =О1) (х) — Ь1 <в. По апРсделению пРедела па Коши В11ш (( )= Ь. «ОО Докажем сОхойства предела функции. 1.
Если предел/(х) су«ивс«пвуе«п, пю он единственный, О Доказательство аналогична доказательству соответствующего свойства предела последовательности, Пусть функция имеет два предела а ~ Ь при х О ха. Пусть для определенности а > Ь. Выберем Ое < — —. Так как!1щ)"(х) = а,та«й >О 35«(е): 0<1х-хо1<5~-О 2 х-«хО а+Ь За-Ь =О ~ ((х) — а1 < е =О а — е < / (х ) < а+ е =Π— < ((х) < †. Кра- 2 2 матата, так как 11п«/(х) = Ь, то Че>0 Вбз(е): 0<1х-хо(<бз ~ Х-«ХО 31 =«!Пх)-Ь)<е=«Ь-е</(х)<Ь+е=« — "< р(х)< — "+ .
Вьг- 2 2 бирая 5 = пйп(5),52), получим, что при О < )х — хс! <5 должны быть выполнены оба неравенства, что невозможно. Пришли к противоречию с предположением, что а ~ Ь, Следовательно, а = Ь . 2. Если суи)еснгвует предел функиигг 1!глзах) = Ь, х-+хо лго функг)ил локально ограничена (сугг)еслгвует окресгиность точки хо, е ко»горой фуггкг)ил ОеранггЧег!а), <) Имеем 1!щ/'(х)се Ь~ЧЕ>0 Зб(е); О<)х-хо)<5~!г'(х)-Ь|<е=« ." «хо =«Ь - е <,) (х) < Ь + е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
