Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

<4 Сформулируем теорему о существовании точной верхней и тачкой нижней грани числового множества. Теорема, Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет конечную точную верхнюю (нижню<о) грань. <! Доказательство проведем для точной верхней грани, для тачкой нижней грани доказательство аналогично, Так как Х не пусто, ма>кис указать отрезок !о,!>), содержащий хотя бы одну точку из Х. Рассмотрим отрезок(а, М), где М-верхняя грань (М существует, так как Х ограничено сверху).

Если Мп Х,то М =зпрХ и точная верхняя грань найдена. Пусть Ми Х, Тогда на построенном отрезке есть точки, принадлежащие Х, и точки, пе принадлежащие Х. Обозначим а = а<, М = Ь! и построим отрезок (а <, Ь ! ), часть точек котсрога принадлежит Х, а другая часть — не принадлежит Х Разделим е<"о пополам и обозначим (о>,Ь> ) ту из его половин (отрезок вдвое л<еньшей длины)„на которой есть тачки, принадлежащие Х„и точки, не принадлежащие Х Продолжая зтат процесс, получаем последовательность вложенных отрезков, удовлетворя<оп<у<а лемме о вложенных проне>кутках, Следовательно, па лемме, существует такая точка с, общая для всех вложенных отрезков,что !цп» +„а» = с = !1ш»,ь Ь», причем влюбойокрестиости с (па построению) лежат как точки множества Х так и точки, не принадлежащие мпожествуХ.

Проверим, что с = впр Х. Условие 1 выполнено, иначе существует двусторонняя окрестность точки с, все точки которой принадлежат Х что невозможно. Условие 2 выполнена, иначе существует двусторонняя окрестность точки с, все точки которой не принадлежа г Х чта невозможно, < Функции и отображения Пусть т(х к Х ставится в соответствие единственный элемепг из У(! у а 'г) по закону у = 7" (х), Тогда говорят, что на мг<ожестве Х задана функции ((х) с областью определения Хи областью значений ((Х) ю(уп У:у= ((х),о'хе Х), Говорят, что х является прообразом, а у — образом прн отображение /(х) мно>кестваХв У, и иазываютХмиожеством прообразов, а У вЂ” множества образов, Кратко определение функции, или отображения можно записать так: (: Х-> У: со(>><хи Х Л!унУ: у = ((х)).

!5 Дадим определения видов отображений. !. Отображение называется эпиморфизмом (сюръекцией, отображением «на»), если любой элемент множества У является абразолг ( >/у и У Лх и Х: /" (х) = у). Заметим, что здесь/" (Х) = У, 2. Отображение называется мономорфнзмом (ннъекцней, взаимно однозначным отображением «в»), если различные элементы х с Х имеют при отображении различные образы (>уу ц /"(Х) 1-у л!хи Х: /(х)=у), т. е. </х1ю х2-с> / (х)) с-,/(х2) 3.

Отобра>гсение называется изоморфнзмом (бнекцней, взаимно однозначным отображением «па»), если оно является и эпиморфизмом, и мономорфизмом (<уу н / (Х) = у 3! х ц Х: /(х) = у), Пример, Отображение отрезка [-п, и ) фушсцисй у = з>ах на отрезок [-! цяаляется эпнморфиэмол> (но пе является моно><орфизмом), а на отрезок [-3 2) пс яалястся ни зпнморфизмоы, ии мономорф измом.

Отображение той же функцией отрезка [-и /2,п/2) на отрезок [-2,0) яалястся моиоморфиэл>ом, но не лаляется эпнморфиэмом. То жс отображение на отрезок[-1,Ц является изоморфюмсм, Обратной функцией (или обратным отображением) к функции у = / (х) (или отображению у (х); Х -> У) является функция х = <р(у) (нпи отобрвкение ср(у): У -> Х). Обратная к / (х) функция ср(у) <свозвращаеээ> любой элемент (образ) из У в его прообраз. Докамсем теорему: ! Теорема, Для того чтобы существовало обратное отображение, необходимо и достаточно, чтобы отображение было изоморфизмом, «) Исобхоонмоспп>.

Пусть обратное отобрюкеиие существует. Ясно, что для того, чтобы успешно «возвратить» элемент в его прообраз, надо, чтобы любой элемент У был образом (отображение должно быть эпиморфизмом). Кроме того, нужно знать, куда его возвращать (отображение у (х) должно быть мономорфнзмом). По.>тому и>обрамсение должно быть изоморфизмом. Дос>пол>о</>/оса>ь продуыайтс самостоятельно, г> Обратная функция имеет тот же график, что и прямая функция, только прямая функции определена и Х, а обратная — л У. Например, график функции у = >бпх тот же, что и график функции х = агсз[пу, ![о прщ>ято обозначать функци>с «у» (и откладывать ее значения ва оси ординат), а аргумеггг — «х» (и откладывать его значения па оси абсцисс) и строить график у = агсз>ах.

Для того чтобы его построить, пало построить график у = з[а х и отразить его симметрично от- носительно прямой у = х (биссектрисы первого и третьего коорди- натных углов), Сраинснне лпщжеста, мощность множества, Если множества конечны, то установить, а каком из них больше элемеатоа, легко. Если же м ножсстаа содержат бесконечное число элсментоа, то сраапепие множеств превращается а проблему, которую, однако, можно решить с помощью понятия изоморфизма, Для бес»с»е <»мх множеста вместо числа элементов вводят понятие мощности мпожестаа. Гоаорят, что мне>костяк между элементамн которых можно установить взаимно однозначное соотаетстаие, имеют равную лющность, нли экоиаалептны. Отношение рааномощности раэбиаает мно>ксстеа на классы экянеалентиых множеств.

Класс, которому принадлежит данное множество Х пазыааегся мощностью множестаа Х, или ого кардинальным числом сагбХ Для ко»ек»ого множества кардиаальное число раано числу его элементов, Натуральные числа можно пересчитать, поэтому считают, что множество натуральных чисел счетно.

Дока>кем теорему.' ! Теорема, Множестао рациональных чисел счетно. «> Эту теорему можно доказать, располагая рациональные числа а таблицу следующим образом; >юмер строки задает знаменатель, а номер столбца — числитель. Первая строка содержит числа: 1/1, 1/2, 1/3, ..., атсрая строка -2Л, 2/2, 2/3, ..., третья — 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ... Зател< нумеру>от элементы аз»ейной»; /(!/Ц, 2(1/2), 3(2/Ц, 4(3/Ц, 5(2/2), б(1/3), 7(1/4), В(2/3), 9(3/2), /О(4/Ц, „,Так как асс элементы таблицы можно постааить ао взаимно однозначное соответствие (иэоморфизм) с иатуралыаалси числами, число рациональных чисел очепю.

с Кантор доказал, что дейстпнтельные числа можно постаиить ао пзаимпо однозначное сестоетстппе с точками отрезка [О,Ц числопой осн (следовательно, и с точками шобого отрезка [а, Ь), так как растяжение отрезка [О, Ц а ~2Р >[6-и[ раз и сдвиг на и — изоморфизмы). Гоаорят, что дейстантсльиые числа эя имеют мощность континуума (точек отрезка числоаой оси). Иррацнопальныс числа тоже имеют мощность континуума. Поэтому можно алости числоау>о прямую, сталя ао лзаимпо однозначное соответствие каждой точке числовой прямой с;3, ес координату -дсйстяительнос число, причем никаких «дыра на числовой осн -точек, которым нельзя было бы поставить а соотастстаис дейстаительное число — координату, ие окажется.

В этом смысле мпожестао дейстаительиых чисел полно, нли иепрерыано. (Аксиома полноты, или пепрерыпности. </х и Х щ В, 'т) и 1' с Н: х я у Зс н В< х я с ь у.) В любой окрестности рационального числа окажется иррациональное число. Напрнл<ср, а окрестности 0,01 рационального числа !/с = 0,125 >южно указать иррациональное число 0,125!21!2... нлн О,! 2521221... В любой окрестности любого иррационального числа тоже можно указать рациональное число. рассмотрим, например, иррациональное число О 12 ! 12... и его окрестность 0 О1, Числа 0 123 и 0 125 рациональны (предстаянмы конечной деслтнчной дробью) и лежат а заданной окрестности иррационального числа. Способы задании функции. Есть несколько способов задания функции.

Привычнее всего явное задание функции у = / (х). Функцня ЫО>КЕт бЫтЬ Задаиа НЕНВПО, В Пндс СООт>ЮШЕНИя <х(Х,у) = (( ЕСЛИ Гб !7 существует такая функция у = /(х), которая при подстановке обращает зта соотношение в тождество О(х,у(х)) я О. Соотношение О 2 (х,у)=0 может задавать единственную функцшо о, например О(х,у) = х — у = О, несколько функций, например х2 + уз =1, илн вообще не определять ни одной функции, например з!в2(х+ у)+ +сан (х+у)=2. В технике изучают процессы изменения величин во времени, например: х = ср(г), у = >!г(/). Такими соотношениями задают функцию параметрпческн. Например, уравнение окружности может быть записано в виде неявной функции х +у =1 илнпарамстрическн заданной функции х = сов Ь у =авд Уравнение зллипса можно задать неявно — в виде соотношения '— + / — — илн 2 12 пара мстрически- в видех = асов О у = Ьз!>та Обычно парамстрнчески задают циклоиду: х=а(г-з1п/), у=а(1-созг) атакже ,3 3 )У астраиду: х = асов г, у = аз(пзс.

с1>ункция может быть задана в виде композиции фуищий, или сложной функцииу =./(б(х));Х-> 0-> у,Ясно,чтоабластьзначений функции д(х) должна быть подмножеством области определения функции /'(я). Если пытаться явно выразить функцию по сс парамстричешсаму представлению, то надо потребовать существования обратной функции г = Ь(х), Тогда у =>1>(г)=>/г(/>(х))-явная зависимость у от х.

Типы функций. Функция /'(х) называется вазрастассщсй па Х если 'Фх~ > х2 =. / (х~)> /(х2), Функция у'(х) называется неубывающей на Х, если т/х ! > х2 ~,/ (х> ) > / (х2). Функция / (х) называется уб>нва>ощсй на Х, если >ух! > х2 ~„/(х>) <5г(х ), Функ- 2 ' цня /'(х) пазгввается нсвазрастающей на Х, если Ух>>хз-е =:> /'(х1) < /'(х2). Неубывающая и невазрастающая функция пазына>отея монотонными функциями.

Характеристики

Список файлов лекций