Галкин С.В. Математический анализ. Метод. указания по материалам лекций для подготовки к экзамену в первом семестре.стр.1-63. 2004г (973096), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

' х а СВ А <=> (А г= В) л (х н В ~ А). х н А и В <=> (х н А) и (х н В), хнАл В<=>(хнА)л(хи В), Рне. 4 Рне. 3 1) коммутативиость 2) ассоциативность Рне,! Рве. 2 х н А ~ В <-.с (х н А) л (х и В). Если ни один элемент не удовлетворяет характеристическому свойству, то это свойство определяет пустое множество (И). Множество А является подмножествам множества В, если все его элементы принадлежат В (А г: В). Если предположить существование множества ьг, которое содержит все элементы всех множеств, то такое множество можно назвать универсальнылг.

Введем операции над множествами и праиллюстрируем их диаграммами Эйлера — Ванна. Объединение множеств А и В изображено заштрихованной областью на рнс. 1, Элементы объединения принадлежат или множеству А, или множеству В: Пересечение множеств А л В изобралеено заштрихованной областью на рис.

2. Элементы пересечения принадлегг<ат и множеству А, и множеству В; Множества не пересекаются, если их пересечение — пустое множе- ство. Разность множеств А г В изображена заштрихованной областью на рис. 3. Элементы разности множеств А и В принадлежат множе- ству А, но не принадле>ггат множеству В: Если А г: В, то А г  — пустое множество.

Дополнение множества А до множества В (при условии, что А входит в В) С А изображено заштрихованной областью парис. 4. В Оио состоит из элементов множества В, не принадлежащих А; Дополнение множества А до универсального множества (г обо- значается А '. унркжненгге, докегкнтег А и=и, Али=л, Аиа=л, Ала=гз. Операции над множествами имеют следующие свойствах АлВ=ВлА, АиВ=ВиА; Аи(ВиС)=(АиВ)иС, Ал(Вл С) =(Ал В)л С; 3) дистрибутив ность А л (В и С) = (А л В) и (А л С), А и (В л С) = (А и В) л (А и С); 4)АлВ=АиВ, АиВ=АлВ. Если множество колечло (содержит конечное число элементов), то его корд клольлылг ггггслом (сагг1 А) называется количество элементов множества. Справедлива формула сап1 (А г.г В) = сап1 А+ сэгг( В - сагд(А гг В).

Упражнение. В группе студентов >5 человек нзучвгст английский язык, 8— вел!едкий, 5-н немецкий, н английский. Сколько человек в групле2 Ответ; >8 человек. Декартовьии произведением (Х х У) множеств Х, У называется множество пар(х,у), в которыххн Х, у н У. Пример, Декартово произведение двух прямых Л! х Я~ = Я~ представляет собой плоскость. Декартово лронзведенле лрлмой н плоскости Л х Л =Л представляет собой пространстве трех измерений.

Декартове произведение л прямых Я х... х В = г! представляют собой л-мерное пространство координат. ! ! в Если множестваХи Уконечны, то саге!(Хх У) =сап1Х сап1У. Унрвжнвнне, Сксльхнмн различными нутлмн можно пройти нз пункта Л в ну нет В через пункт С, если нз пунхтв А в пункт В ведут три дороги, в нз пункта В в пункт С- четыре дорсгн2 Ответ: >2.>е нутлмн. Элементы комбинаторики Принцип комбинаторики. Пусть некоторая операция представляет собой совокупность)г>подопераций, из которых каждая з-я подоперацня может быть выполнена /г способами, Тогда операция д> может быть выполнена К = П)г, способами, г-"г Основные понятия комбинаторики: размещения, сочетания и перестановки могут быть пояснены на задаче размещения т шаров по и лункам, которая имеет разные решения в зависимости от условий размещения. 1.

Размещении с повторением, Сколькими способами можно разместить т шаров ло л лункам (в каэюдой лунке ломегг>ае>лся только одг>н шар), если лунки запал>т>алг лоследова>лельно, номер ломеШенного в каз>сдую лул«у шара записывают, а сам гиар вьшнмают из лунки и смешивают с огллальными? Операция размещения шаров представляет собой совокупность >г подопераций размещения шара в з-й лупке (з = 1, 2, ..., л).

Размещение шара н первой лупке может быть выполнено lг, = т способами. Так как шар вынимают из лунки и смешивают с остальными шарами, при размещении шара во второй лунке ситуация та же, что при размещении в первой лунке. Поэтому )г' = >г, = т. Анайогич- ио >! =т,з = 1 2 ... л), Следовательно, по принципу комбинато! ) '''! К вЂ” л 2.

Размещении без повторения, Сколькими способами можно размес>ли>лыл гиаров ло и лункам (в нисидой лунке >гамен>ав>лся только один гиар), еслилуннизалолня- >от последовав!ель но, шг>р оставдггю>н в лунке и не емеишваюгл е ос- тальными? Здесь )г, = т, как и в предыдущем случае По )г = т — 1 (так как одинизшаровосталсявпервойлунке),)г =т-2, ..., й,= т-(з- )= =т-з+1 ...

)г =т — л+1.Следовательно,попринципукомбииа- торики К.=А,"л = >л (т — 1)... (т — л + 1). 3. Перестановки. Схолькини слособалги мо>лена лвреслгави>ль л шаров, ? Этот случай сводится к размещениям без повторения и шаров по ллу к и ам так как шары остаготся в лунках, а лунок столько же, — — — 1 ...3 2 1 = сколькошаров(т =и). Следовательно,К=Рл=-л (л- ).... =и! 4. Сочетания, Сформулируем более общую задачу: Схолькг>лш способами в мно>лсе>заве из т элементов мояюно вы- брать лодмнопюеслгво из л элеменл>ов? Этот случай тоже сводится к размещениям без повторения, но отличается тем, что элементы не различаются, важно только их ко- личество.

Поэтому варианты, когда в подмножестве находятся те же элементы, различающиеся только порядком выбора, следует рассматривать как один вариант. Следовательно, способов будет меньше, чем в размещениях без повторения в Рл раз, так как именно Р способами можно упорядочить подмножество из л элементов. Следовательно, Ав т(т — 1)„,(т- л+ 1) т! К =Слв в! Р и! л!(т- л)! л Сочетания легко определять из треугольника Паскаля для биномиальных коэффициентов (рис, 5), Рассматривая треугольник Пасха!я, можно вывести свойства сочетаний: 1)С'! =См л, Рве 5 С,' ,о 1 1 С, С, С, 0 з з Сз Сз 1 2 1 1 3 3 1 4 б 4 1 В математическом анализе часто можно встретить запись этой формулы при а = 1, Ь = х: т (1+х)и! = Х,С,"их'.

а=о МНОЖВСТВА НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ, ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ (лекции 3, 4) Множества на числовой прямой Запишем формулу бинома Ньютона: и) (а+Ь)т = ~~> С„,а)и Ь . ятО Заметим, что отсюда сразу следует свойство 3, если а = Ь = 1. Докажем формулу бинома Ньютона методом математической индукции, Если т = 1, то а+ Ь = С, а+ С ! Ь = а+ Ь. Пусть по индук- 0 тианому предположению формула верна при некотором натуральном и). Пока>кем ее справедливость прн т+ 1, используя свойство 2 иочсвидныеравенстаа СО тС0 т1 и Се =Се+! =1: т+1 и) е+1 „Ь)т+1 (СО и) „С1 и)-1~ „С2 и)-2Ь2 „ - С>)аи) иЬ)) +С))+! "' (и+1)ЬЗ+1+„,+С)и 1 Ьт !+ + та + т а +...+ т а + +СтЬт)( +Ь =СО, т+1+ тЬ(С1+СО)+ + и)-)>Ь))+1(Си+1 ч Си )ч ч Ьт(С!и-1 ч С)и)ч С)иЬт+1 С 0 „и)+!+ С! от Ь+ С>)+1„и)->Ьа+1+ + С и) Ь)и + е+1 е+1 '" т+! и)+1 т+1 Е С и)+1Ьи)+ ! — ~" С )) и т! 1 "Ь" ит ! т'.~ е+1 /с =0 )1>орыула бинома Ньютона доказана.

12 Для геометрического изображения действительных чисел вводится числовая прямая (рис, 6), на которой определены направление, начало отсчета, масштаб, Точки числовой прямой можа но поставить во взаимно однозначное соответствие с действи- -4 3 -з -! о 1 з з 4 тельными числами поэтому дей- Рис, б стаительное число можно считать координатой соответствующей точки, а числовую прямую можно называть координатной прямой. На числовой прямой определены следующие основные множества (прол)ежутки)1 интервал (а,Ь) = (х: а <х <Ь), отрезок [а, Ь) т (х: а <х < Ь), колун птсрвалы [а,Ь) = (х; а <х < Ь), (а, Ь) т = (х: а <х ь Ь), Если числа а, Ь-конечны,тоэти мнем!естваограничепы, если а = — или (н) Ь=+ ( их и к) — ° <х <+ ), то эти множества не ограничены. Пополняя числовую прямую элементами-, +, получаем расширенную числовую прямую, Формально элементы —, + можно считать точками расширенной числовой прямой.

Окрестностью конечной точки х на числовой прямой считают интервал (х-е, х+е), где е>0. Проколотой екрестностые конечной точки х считщот объединение интервалов (х — е, х)) ) (х, х+ е). Это двусторонние окрестности. Можно построить левостороннюю (х-е, х) и правостороннюю (х, х+е) окрестности конечной то я<и х. Для точек —, + можно постро- ить, соответственно, только прав астороннюю и левасторан>паю ок- рестности (- , Ь), (а, + ). Раз азличные проме>кутки могут пересекаться или не пересекать- ся, быть подмножесгвом один другого («влаженные» промежутки). Справедлива лемма о вложенных промежутках (отрезках): Лемма.

Пусть имеется последовательность !а»,Ь») вложенных отрезков (!а<,Ь<1:>(аз,Ьз)з...э(а«,Ьн) э...). Пусть пп» + !Ь» - а»)ю О. Тогда существуеттакая тачкас, общая для всех вложенных отрезков что !!<и» а = с = Игп Ь . »->ч»»-++ Можно рассматривать не только основные множества (проме- жутки) числовой оси, на и произвольные числовые множестваХ Числовое множество Х называется ограниченным сверху, если существует такое конечное число М, что все элементы Хие превы- шают М.

Зга число М называют верхней гра<гьга множества Х, Числовое множество Х называется ограниченным снизу, если су- ществует такое конечное число т, что все элементы Хне меньше т. Зто число т называют нижней гранью множества Х Числовое множество Х называется ограниченным, если она ограничено сверху и снизу. Например, для полуинтервала(-2,3) можно считать пи»<ними гранями числа-1 ОО, — 5; -2,001! — 2, а верхними граиями- числа 3; 4,5; 78, Маятно попытаться найти иаибольшу<а нижнюю грань н наименывую верхню<а грань этого полуинтервала — числа -2 и 3. Заметим, что первое из них припадке>кит полуинтервалу, а второе не принадлежит. Задачу отыскания наибольшей нижней гра- ни н наименьшей верхней грани (если они существуют) можно по- ставить и для произвольного числового множества, ЧислоМназывается точной верхней гранью числового множе- ства Х (М = зир Х), если выполнены условия: 1) М вЂ” верхняя грань Х ('ох ц Х, х < М), 2) для любого числа, меньшего М найдется элемеи'г множества Х,большнйэтогочисла(<(у<М Эх|Х; х>у).

Число т называется точной нижней гранью числового множе- ства Х(тьт !лг" Х), если выполнены условия: !) т — пюкняя граньХ( охеХ, хй и<), 2) для любого числа, большего т, найдется элемент множества Х, меньший этого числа ( <<<у > т Зх е Х: х < у). Если числовое множества не ограничено сверху, та зцрХ =+ если числовас множества не ограничено снизу, то шГ Х =— Унрлжненне, Нейдите точную верхнюю и точную нижнюю грань ь<иозиеетва нраоильнкх дробей, у которь<х числитель и знаменатель оололопельнм.

Характеристики

Список файлов лекций