Полак_и_др__Вычислительные_методы_в_химической_кинетике (972296), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Дпя случая реактора непрерывного действия, в котором протекает одна реакция типа Х - У, имеем х = — х ехр (- 1/у ) + Л (хе-х), (8.127) У =х ехр (- 1/У) + р (Уе-У). Тогда иэ Р (х, у) = О получим Лхе х = Л+ ехр (- 1/У) (8.128) и подставим это выражение в 0 (х, у) . Разрешая относительно уе, найдем Лхо Уе =Ух р [1 +Лехр (1/у )] (8.129) Это означает, что в реакторе всегда устанавливается стационарное состояние, в котором безразмерная концентрация х = х,.
Этот реактор всегда устойчив. Более сложные и практически важные примеры приведены в [33]. Определение числа стационарных состояний и влияния значений параметров на это число облегчается использованием бифуркационной диаграммы — кривой, связывающей значение какого-нибудь из параметров с координатой стационарного состояния (по терминологии теории управления такая кривая называется статической характерибтикой исследуемого объекта] . Рассмотрим способ построения бифуркационной кривой.
Пусть поведение системы (реектора) описывается уравнениями х=р(х,у). у=а(х,у). (8.126) Найденная таким образом бифуркационная диаграмма для параметра уе проходит через начало координат и располагается в полосе между своей аси мптотой Лхе Уе =Ут и(1+Л) (8 130) и прямой уе = у„в определенной области значений остальных параметров она будет иметь два экстремума — минимум и максимум (рис. 8.13).
Бифуркационная диаграмма позволяет определить число стационарных состояний при фиксированных значениях параметров и проследить за тем, как меняется это число при изменении значений параметров. У Пусть, например, уе =уе. Проведя прямую уе =ус, 'видим, что она трижды пересекает бифуркационную диаграмму, следовательно. при уе =ус реактор имеет три стационарных состояния. "А, В и С. При увеличении параметра уе положения равновесия А и С сближаются, при уе =уед сливаются, а затем исчезают. При уменьшении уе то жв самое происходит с положениями равновесия С и В при у у Точки Р и Е называют точками бифуркации, а соответствующие им значения уе, уе — бифуркационными значениями. О г Проблема устойчивости химических процессов и режимов работьг химических реакторов имеет три важных аспекта.
1. Исследование устойчивости химических процессов, протекающих как в естественных (природных) условиях, так и в специальных реакторах промышленного назначения, позволяет уяснить их важные свойства и применить для изучения аппарат качественной теории дифференциальных уравнений. 2.
Устойчивость химического процесса связана с проблемой внешних и внутренних фпюктуаций как в (квази)равновесных, так и в сильно неравновесных системах. Флюктуации могут при некоторых условиях нарушать состояние системы (равновесное, или стационарное, или искусственно заторможенное неравновеснае) и приводить к образованию новых устойчивых структур Этот процесс "самоорганизации" может определять характер и особенности временной эволюции физико-химических (а также биологических, экологических и других) систем.
3. Устойчивость работы любого промышленного агрегата является необходимым условием отсутствия остановок или сокращения производительности, брака продукта производства, аварий и т.п. Выяснение условия устойчивости промышленного агрегата, в частности химического реактора, является одним из существенных элементов работоспособности и экономичности технологического процесса. В этой проблеме теоретическая химическая кинетика непосредственно связывается с прикладными, промышленными задачами. Дадим определение усюйчивости "в малом" и "в большом", отнюдь не претендуя на строгость. Строгое определение см.
в (143, 415) . При достаточно малых возмущениях стационарного состояния изображающая точка в фазовом пространстве отклоняетсяотположения равновесия. Возможны два случая: 1) после возмущения изображающая точка приближается и остается в весьма малой окрестности положения равновесия — устойчивость "в малом"; 2) изображающая точка удаляется от положения равновесия — неустойчивость.
Рис. д тд Бифурквциоииви дивгрвммв б ревкторе непрерывного действии (реекции 1-го лоридкв] Если на величину возмущений з не накладывается никаких ограничений, то при любых возмуще- зе ниях говорят об устойчивости "в ф' большом". Обычно эту проблему исследуют, рассматривая так называемый фазовый портрет системы, ф~ с помощью которого выясняется ,г ГАЛЛ) качественная структура расположения фазовых траекторий системы. Фазовый портрет позволяет получить представление о всей совокупности процессов, которые могут иметь место е системе при данных значениях параметров. Для построения фазового портрета не требуется аналитическое решение дифференциальных уравнений.
что в химической кинетике большей частью не удается осуществить из-за нелинейности этих уравнений. За важными и весьма принципиальными деталями проблемы устойчивости химическихпроцессов и реакторов мы отсылаем к работам [33, 171, 301). Здесь же рассмотрим только некоторые аспекты проблемы. Пусть поведение системы описывается системой из и дифференциальных уравнений 1-го порядка: (8.131] йг = Гг (х,, хт,..., хи], где хы хз,..., х„— переменнью, характеризующие состояние динамической системы, а сама система автономна (правьа части уравнений не содержат времени в явном виде] . Согласно теореме Коши о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений (в интересующем нас случае — обыкновенных), через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория (интегральная кривая), наклон которой в этой точке определяется уравнениями (8.131].
Это не имеет места только в особых точках, ДЛЯ КООРДИнат Х ге, Хэт,. -,, Хит, ГДЕ ОДНОВРаМЕННО Ф, - г, = ... = У„ = О. (8.132) Угол наклона в этих точках, очевидно, не определен, поэтому здесь может пересекаться несколько фазовых траекторий. Выполнение условия (8.132] означает, что хы ° йи обращаются в нуль, т.е. особые точки на фазовой плоскости соответствуют положениям равновесия динамической системы.
Введем отклонения переменных х> от координат хв точки, соответствующей положению равновесия: $1 = х; — хг, /=1,2,...,п. (8ЛЗЗ) Перейдем в уравнениях (8.131) от х; к $л разложим правые части в ряд по степеням йг, отбросим нелинейные члены и получим уравнения первого приближения: $1 = ап 4 + ага $2 +... + аг„$„, ( =1,..., и. (8.1 34) Единственное положение Равновесия этой системы линейных дифференциальных уравнений находится в начале координат $, = 8.
Характерреше- 231 ния системы (8.134) зависит от значений корней Рг характеристического уравнения еы-Ф а,т е2! э22 Ф атп еэ Ф(Р! = (8.138) а«~ ахз а„„вЂ” Р Между устойчивостью положения равновесия исходной системы (8.131! необходимым и достаточным условием того, что все его корни имеют отрицательные действительнью части, являются неравенства Рауса-Гурвица. Для систем 2- и 3-го порядков они имеют вид: для и = 2 а, >О, аг >О. (8.137) для и = 3 э, >О, аз >О,а,а,— а, >О. Рассмотрим в качестве примера динамическую систему 2-го порядка, введя дпя переменных обозначения х и у [могущие представлять любые две физические величины, например концентрации и температуры и т.п,) . Тогда «=РВсуй у=а О,у!. (8.138) Координаты положений равновесия этой системы х,, у, могут быть найдены иэ уравнений Р (х, у] = О (х, у! = О. (83 39) Разделим в (8.138) второе уравнение на первое: бу 0[х,у) г[«Р(х, у) [8.140) Решение этого уравнения определяют интегральные кривые, т.е.
такие кривые на фазавой плоскости (задача — двумерная), наклон касательных в каждой точке которых задается уравнением (8.140]. В точках, для координат которых имеют место равенства (8.139), уравнение (8.140) теряет смысл. Напомним еще раз, что зти точки называются особыми точками уравнения (8340) . Выражения х = х„у = у, дают одно из решений системы (8.138!. Геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых правая часть уравнения (8.140) имеет постоянное значение, представляет собой изаклину интегральных кривых этого уравнения. Кривая 0 (х, у) = 0 является изоклиной горизонтальных, а Р (х, у) = 0 — изоклиной вертикальных наклонов.
Обе они называются главными изоклинами. 232 и значениями корней характеристического уравнения линеаризованной системы (8 134] существует непосредственная связь: 1! положение равновесия устойчиво, если действительные части всех корней уравнения (8.135) отрицательны; 2] положение равновесия неустойчиво, если действительная часть хотя бы одного иэ корней характеристического уравнения положительна; 3! если характерисгическое уравнение, не имеющее корней с положительной действительной частью, имеет хата бы один корень, действительная часть которого равна нулю, то исследование уравнений первого приближения не дает ответа на вопрос аб устойчивости положения равновесия. Дпя алгебраического уравнения и+ я — 3+ и — 3+ + + О (8 136! Положения равновесия являются общими точками главных изоклин, т.е.
либо точками их касания, либо точками пересечения, Введем новые переменные: Е = х — х„п = у — у, (8.141] — отклонения от координат исследуемого положения равновесия. Уравнения первого приближения а~~ 1+аозт) т( атз ч+азз Ч (8.142] где а,, = Р„(хе у,); а ~ т = Р . (х„ут]; а„= а'т (х„, У,]; „= а,'Л(х„, У,!. Тогда характеристическое уравнение имеет вид 1з' + азз+() = О, (8.143) где а = — (а,, +азт); ()=а, ~атз — а~тат~ Иэ условия Рауса — Гурвица (8.137] видно, что исследуемое положение равновесия устойчиво, если выполняются неравенства о >О, ()>О (8.144] (в рассматриваемом двумерном случае неравенства (8.144) могут' быть получены пряью из свойств корней квадратного уравнения (8.143) ]. В зависимости от значений коРней Р,,дз хаРактеРистического УРавнениЯ может иметь место один из следующих четырех случаев. 1.
Корни р,, ~рт действительны и имеют одинаковый знак, т.е. (3 > О, с~ — 4 В > О. (8.148) Положение равновесия называется узлом (рис. 8.14, а]. Если р,, рз отрицательны, то при т -+ь изображающие точки стремятся к положению равновесия — устойчивый узел. Если же ~р,, 1зз положительны и соответственно с< О, то при т -+ ' точки, выбранные на любой из траекторий, удаляются от положения равновесия — неустойчивый узел (стрелки на рис. 8.14,а соответствуют устойчивому узлу). 2. Корни д, ~ат — комплексно-сопряженные: уЧ = а + Ью', рз = а — Ь!', а Ф О, Ь Ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
