Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Дана схема включения элементов. Усло- вие задачи см. в образце 2, п. 2. 3. Счетчик регистрирует часпшы трех типов: а, 15, у. Верояпккти появления этих частиц соответственно равны: 0.2, 0.5, О.З. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями соответственно равными: 0.8, 0.2, 0.4. Найти вероятности событий: 3.1. А — появнвпзуккя частицу счетчик зарегистрирует. 3.2.
Зарегистрированная частица есп, частица типа 1). 4. Каждый прибор проходит два независимых испытания. Вероятность выхода из строя прибора при первом испытании равна р1, прн втором — рз. Испытано независимо и приборов. Найти вероятносп выхода из строя не более одного прибора. 4.1. Вычислить эту вероятность при и =- 5, р~ — — 02, рз —— 0.3. 4.2. Вычислить ту же вероятность прн л = 100, р~ —— 0.02, п~ — — 0.03 по приближенной формуле Пуассона. 5.
Трн орудия залпом, но прн независимой наводке, стреляют в цель до первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания с одного выстрела для первого орудия равна О.1, для второго — 0.08, для третьего — 0.06, Найти: 5.1. Вероятносзь того, что число Х сделанных залпов не меньше трех. 5.2. тг. 2 б.лв-(! * * ~ ~ у .. ь 2, б О, х й[ — 1;Ц. 7. По процентному содержанию фосфора в стали выделено две группы плавок.
Первая группа содержит фосфор в пределах 0.025 % — 0.035%, вторая — в количестве менее 0.025 %. Процентное содержание фосфора в стали есть случайная величина Х. распределенная нормально с гл г = 003% и и г — — 001%. Найти процент плавок, попадающих в каждую из вьглеленных групп. 8. рп = 092, р1з = 0 02, рм — — 0 04, ры = 0 02. Условие задачи см. в образ.-".5 це 2, п. 8. (С(х +у ) при 0<х<1,0<у<1; 9.ухг(х,у) = ' * Условие задачи см. в . ~ О в остальных случаях. образце 2, п.
9. 12 Вариант 3 1. На 12 карточках написаны все натуральные числа от 1 до 12. Из этих 12 карточек одновременно случайным образом выбираются две. Найти вероятность того, что на одной из них написано числс, большее 9, а на другой— меньшее 9. 2 3 5 б 2.Дана схема включения эле- 8 ментов. Условие задачи см. в образ- 4 7 це 1, и. 2. 3. Детали партии выпущенм двумя заводами, причем детали, выпущенные первым заводом, составляют 40% партии.
Вероятность выпуска стандартной детали для первого завода равна 0.9, для второго — 0.95. Найти вероятности того, что случайным образом взятая деталь из партии: 3.1. Окажется стандартной. 3.2. Изготовлена первым заводом, если прн проверке она оказалась нестандартной. 4. Устройство содержит и одинаковых деталей 1-го типа и столько же одинаковых деталей 2-го типа. По прошествии времени Т каждая деталь 1-го типа выходит из строя с всроятносп,ю р1, а каждая деталь 2-го типа — с вероятностью рз. Найти вероятность того, что через время Т выйдет из строя не более одной детали 1-го типа и ни одной детали 2-го типа.
Предполагается, что детали работают независимо друг от друга. 4.1. Вычислить эту вероятность с помощью точной формулы Бернулли прн п= 100, р1 = 002, рз = 0.01. 4.2. Вычислить ту же вероятность с помощью приближенной формулы Пуассона. 4.3. Укажите абсолютную Л и относительную б погрешности вычисления. 5. Два орудия залпом, но при независимой наводке, стреляют в цель ло первого попадания хотя бы одним орудием. Вероятность попадания в цель первым орудием при одном выстреле равна 0.2, вторым — 0.3.
Найти: 5.1. Закон распределения числа Х сделанных залпов. 52. Р(Х>2). 5.3. тх. (С/х, х пП/е,е1; б. Лх)= ~ ' ~ ' 1 Условие задачи см. в образце 1, п. 6. 1( О, х и111/е,е~. 7. Ошибка Х измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет (тх — — 0). Каким должно быть среднее квадратическое отклонение о'х, чтобы с вероятностью не меньшей 09 ошибка измерения ие превышала 20 микрометров (мкм) по модулю? й. р,1 —— 0.03, рз, = 0.05, р1з — — 0.02, рзз = 09.
Условие задачи см. в образце 1, п. 8. 2 9. Р— четверть эллипса — + — <1; х > О, у с О. Условие задачи см. в х у 9 4 образце 1, п. 9 Вариант 4 1. Каждый билет >с> 25 экшченационнь>х биле>он содержит по 2 вопроса, .:.' причем вопросы в билетах не повторяются. Студент подготовил 45 вопросов, 1 Найти верояпюсть >ого, что в билете, доставшемся студенту, он знает толькй один из двух вопросов (либо первый, либо второй). 2.
Дана схема включения элементов. Условие задачи см. в образце 2, п. 2. З.В пункт связи посту>иют сигналы типов >х,)).у соответственно с вероятностями 0.1, 0.4, 0.5. Вследствие помех они могут быть зарегистрированы лишь с вероятностями 0.90, 0.95, 0.92 соответствсшю. 3.1. Найти вероятность регис>рации поступившего сигнала (событие А).
3.2. Если сигнал,';! зарегистрирован, то какова при этом вероятносп,, что это сигнал типа а 2 4. Вероятность брака детали равна р. После изготовления деталь осматри-, '; вается контролером, ко>орый обнаруживает брак с вероятностью )з>. Найти вероятность того, что из и проверенных деталей забракованных окажется не более одной. 4.1. Вычислигь зту вероятность при и=100, р = 0.05, р> —— 0.95 по точной формуле Бернулли 4.2. Вычислить гу же всроятность по приближенной:,,: формуле Пуассона. 4.3. Укажите абсолютную >3 и относительную Ь лотре>лно- ',::.
сти вычисления. 5. Качество отливок контролируется двумя контролерами. Первый оценивает трещины, второй — усадочные р»кевины, причем предполшаегся, что вторые образуя>гсл независимо от первых. Вероятность брака от трещин равна 0.02, а от усадочных раковин — 0.05.
Найти математическое ожидание числа Х осмот-,'> ренных отлшюк до обнаружения первой бракованной отливки, а также математическое ело>дание числа У бракованных опваюк, если всего их проверено .: и =!00 штук. 6. > (х) = ~ ' (С(1 — 0.5!х!), х- и( — 2, 2); ' Условие задачи см. в образце 2, и. 6. х и( — 2,21. 7. Два с»моле>а, заходя влоль длинного моста шириной 30м, независимо ','.-' друг от друга сбрасывают на него по одной бомбе, причем прицеливаиие происходит по продольной средней лиюш мост» Считая поперечные отклонения бомб от этой средней линии для обоих самоле>ов нормальной случайной вели-' чиной Х с >лх —— 0 н о х = 25 хо найти вероятность разрушения моста, если для этого достаточно одного попааасия.
8. рп =09б, рш = 001, рз> =002, рзз =001. Условие задачи см. в образце 2, п. 8 (Сху при О~я~!,05 у<1; 9. (хг(х, у) = ' ' Условие задачи см. в образце 10 в осталь>п,>х случаях. 2, п. 9. 14 Вариант 5 1. На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задач- ника.
Найти вероятность того, что все учебники окажутся рядом. 2. Дана схема включения элементов. Условие за- 1 3 дачи см. в образце 1, п. 2. 3. Прибор содержит два независимо работающих блока. Исправность кахщого из них необходима для работы прибора. Вероятности отказа блоков за время Т: для первого — р! = О.1, дяя второго — рэ = 0.2. Прибор испытывался в течение времени Т и вышел из строя. Найти: 3.1.
Вероятность Р(А) отказа прибора за время Т. 3.2. Вероятность того, что при отказе прибора за время Т отказал только первый блок (применяя формулу Байеса). 4. По каналу связи посьп1аотся и сообщений. Помехами каждое сообщение может быль искажено с вероятностью р. 4.1. Каким дшпкно быть и, чэпбы хотя бы одно сообщение дошло не иска- женным ло адресата с вероятностью не меньшей 0.99 при р = 0.37 4.2.
С по- мощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность искажения не бо- лее одного сообщения при и — — ! ОО, р = 0 02. 5. Число неисправностей сложного устройства, обнаруживаемых при про- филактическом осмотре, распределено по закону Пуассона с параметром а = 2. Если неисправностей нет, то устройство запускается в работу немедленно, Если есть одна неисправность, то в течение времени Т она устраняется с вероятно- стью 0.9. Если неисправности более одной, то устройство ставится на ремонт на время, большее Т, до устранения всех неисправностей. Найти вероятность того, что после профилактического осмотра устройство простоит без работы время, большее т, Ссозх, х и~О б.
Ях)= О, хи~ Условие задачи см. в образце 1, п. б. 7. ПаРаметр Х детали Распределен нормально с т г = 2, равным номиналу. Каким должно быль пх, чтобы с вероятностью 0.9 отклонение Х от номинала по модулю не превышало 1 % номиналау 8. рц —— 0.2, р!з — — рэ, = 01, рэз = О,б. Условие задачи см. в образце 1, и. 8. 2 9.,0 — четверть эллипса — + — <1; х ~ О, у>О. Условие задачи см. в х .1' а в з г— образце 1, и. 9.
15 Вариант 6 1. На книжной полке случайным образом расставлены 10 томов одного"':,";'1 справочного издания. Найти вероятность того, что все четные тома окажутся ""'Я стоящими ридом в одной группе, а все нечетные —. рядом в другой группе. 1 5 2. Дана схема включения элементов. Ус-'. ".:!,': повис задачи см. в образце 2, п. 2. 3. Партия резисшров изготовлена двумя .'(11 4 8 заводами, причем продукции первого завода в' 1 2 раза болыпе, чем второго.
Вероятность бра-.::.!~! ка на первом заводе равна 0.04, на втором - 0.06. Найти вероятности того, что, "31 случайным образом взятая деталь партии: 3.1. Оказалась бракованной. 32. Изготовлена первым заводом, если при проверке она оказалась бракованной. 4. При однократном забросе спиннинга рыба попадается (событие А) с ве-': ':-';. роятностью Р(А).
4.1. Сколько требуется сделать забросов, чтобы с вероятностью ие меньшей ',::;.!,: 0.8 поймать хотя бы одну рыбу при Р(А) = 03? 4,2 С помощью интегральной приближенной формулы Муавра — Лапласа нюпн вероятность того, что событие .''.-'.~,. А произойдет не более пяти раз при числе опытов п = 100 и Р(А) = 0.02. 5. Цель поражается при попадании одного осколка разорвавшегося снаряда с вероятностью 0.5, при попадании двух — с вероятностью 0.8, прн попадании трех и более — с вероятносп ю 1, Количество осколков, попавших в цель, — случайная величина, распределенная по закону Пуассона с парамшром 2. Найти,!! вероятность поражения цели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
