Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Это показано на рис. 15.6. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции. Так, например, огибающая может быть изображена в виде ступенчатой функции (кривая 8 на рис. 15.6). Введем также понятие основной огибающей функции. Под основной огибающей будем понимать непрерывную функцию, совпадающую с заданными дискретами, которая может быть получена как результат решения дифференциального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими возможными огибающими, а для периодических решетчатых функций, 0 (а-ц а (и е([ Ряс.
15.7. Рнс. 15.6. кроме того, выполняется требование минимальности значений частот гармоник. Так, например, решетчатой функции е ""' могут соответствовать огибающие е " и е "' (соз юсг + р з1п сосс), где соз = 2пкТ ', й — целое число, р — любое число. Однако первая яз них (основная огибающая) может быть получена в результате решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая — в результате решения дифференциального уравнения второго порядка. Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность Ы [и! = / (и+ 1! — 7 [п[, (15,2) либо первая обратная разность Я (п! =- 7' [и! — 7' [и — 1!.
(15.3) Обе зти рааности показаны на рис. 15.7. Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций 7' (и, е!. Однако формулы для е ~ 0 и е = 0 здесь и далее оказываются идеятичными, вследствие чего в дальнейшем излоязении принято е =- О. Прямая разность определяется в момент времени г --= пТ по будущему значению решетчатой функции при с == (и + 1) Т.
Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно. Обратная разность определяется для момента времени г = пТ по прошлому значению решетчатой функции в момент времени 1 = (и — 1) Т. Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая Л7 (п! =- Л~ [и+ 1! — Ь| [п! = ~ [и + 2! — 2~ (и+1! + ~ [и! (15.4) 28 С.. ОО ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ и обратная Чо[[п) =- Ч( [п[ — Я[и — 11 = ~[и) — 2~1п — 11 + ~1п — 21. (15.5) Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь.
Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления й-й разности воаможно использование рекуррентных соотношений А"1 [п1 = А» ~п + 11 — А" '~ [и[, (15.6) Ч'1!п1 = Ч" '1 [п1 — Ч' ' ~ 1п — 11 (15.7) или формул общего вида Ю[п)= Х ( — 1)'СР[п [-й — 1, О-.О Ч"У [и) =- ~~ ( — 1)'Со~[и — у) ч=-О где биномиальные коэффициенты (число сочетаний) о в! с =- о! (» — У)! ' (15.8) (15.9) (15ЛО) Обратные разности обладают важной особенностью. Воли решетчатая функция определена только для положительных аначений аргумента, т.
е. / [п) = О при и ~ О, то, как следует из (15.9), в точке и = О )О-я разность Ч'[[О[ =--- У [О! (15.11) для любого целого положительного к. Апалогами интеграла непрерывной функции в пределах от Ода г для решетчатой функции являются неполная сумма о-О о о[и! = Х ~[т) = ».» ~[п — У) -о О=! (15Л2) и полная сумма (15Л6) со[и[с-н[п)+~[и)= ~~', ~[т)=- ~, Яи — у[. (15.13) т=.о о=.о Отличие (15.13) от (15Л2) заключается в том, что значение У [и1 в момент времени О = и'Г также участвует в формировании результата.
Разиостные уравнения. В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать равностные уравнения (уравнения в конечных ровностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид ЬОА™у [п1 + Ь! Аы 'у [и[ +... + Ь у [п) = ~ [и), (15.14) где 1 1и1 — заданная, а у [и[ — искомая решетчатые функции. При г' [и1 = — О уравнение (15.14) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет у 1и1. При использовании (15.8) разностное уравнение (15.14) можно записать в другом виде: аоу [п + т) + а,у1п+ т — 11+...+ а у1п) = ~1и). (15.15) Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости о аз= ~~ ( — 1) Ь„Ст — о~ О=О 437 испольэовлннв «-пгеовккэовання а |52) где биномнальные коэффициенты С":", =- («« — т)) (ૠ— Ь)) (15.17) При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет ЬаЧ у [и[+ Ь!Ч ' у(п)+...
+ Ь у [и) == ~1п). (15.18) С учетом формулы (15.9) последнее выражение приобретает вид а,у (п! + а,у (п — 11 +... + а у [и — т1 =- ~ [п). (15 19) Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями ь аа«-ь = ~ ( — 1) Ь«Ста а=а С„':„= ("-")) (У« — а)) (ૠ— )«)) ' (15.20) (15.21) Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволя|ощие вычислять значения у [и + т) при п = О, 1, 2,... для заданных начальных значений у [01, у [11,..., у [т — 1) и уравнения вида (15,15) или значения у (и)при и = О, 1, 2, ... для заданных начальных аначений у [и — т), у [п — т + 1),..., у 1п — 1) и уравнения вида(15.19). Такие вычисления легко машиниэируются, а также не представляют никаких принципиальных трудностей икрн ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений а, (| =- О, 1, ..., т) с течением времени изменяются.
Это отличает раэностные уравнения от их непрерывных аналогов — дифференциальных уравнений. Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом: у1и) =С,г,"+Сгг,"+... +С г", (( =- 1, 2,..., т) — корни характеристического уравнения ааг"' + а|г"' ' +... + а,„= О, (15.22) где г (15.23) а С, — произвольные постоянные.
Из (15.22), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (15 15), было бы затухая~ щим (условие устойчивости): 1 г| 1 ~ 1 (( = 1, 2,..., т). (15.24) Для получения возможности исследования решений разностпых уравне. ний в общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа, г-преобразование, и преобразование, а также частотные методы, которые будут наложены ниже.
$15.2. Использование г-преобразования Для решетчатых функций времени может бьггь введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определнемое формулой ра(р) = ~~ 7'(п) е — | г (15.25) а=а 438 ыз. 15 импильснык снсткмы Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выра'кение: г"*(р, е) = ~ ~[и, а[е-~ ".
(15.26) «ьз В этих формулах введено новое обозначение г =- е"г. Иэ них следует, что г-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения. Таким образом, решетчатая функция времени (орнгинал) заменяется ее иэображением (г-преобразованием). Формулы преобразования (15.29) могут быть записаны в символической форме: Р (.):= 2 Ип!), г'(г, е) =-Я«(/ [и, з!), ! (15.30) Формулы преобразования (15.30) могут быть записаны и для непре- рывной производящей функции в виде Р (х) -.= 2 (1(г)), г пт, р( е) — 2,(((г)), г —.
(п+е)т, где и===О, 1, 2, ... Ряды (15.29) сходятся, н изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преоб- разования Лапласа: с ( оо, где с — абсцисса абсолютной сходнмости. В табл. 15.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а такн~е производящих функции времени и их изображений Лапласа. В таблице введена ебиничиая импульсная решетчатая функция [68!.
бв [и! =- ~ Г 1 при г-.-0, (15.32) ~ 0 при гчь0. (15.31) Формулы (15.25) и (15.26) можно представить в символической записи аналогично (7.20): г'«(р) =- 17 (1 [п!), (15.27) Р*(р ь) =В.О[ е!) (15.28) В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина р =- с + уы, где с — абсцисса абсолютной сходимости. Если с со, то ряд, определяемый формуламн (15.25) и (15.26), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение.
Как следует иэ (15.25) и (15.26), изображение решетчатой функции является функцией величины еаг. Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, кроне того, параметр е. Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое г-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.
Применительно к г-преобразованию нив'е будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа. Иод х-преабразаванием понимаотся изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами р(г) == ~~~~~ ([и,! г ", «=-.о с (г, е) = ~~ / [и, е! х ". .--. о б 1оЕ21 оо о' Ф о 66 6 в !! '6 о Ы о о Ю о о а о Ю + о 6 1 и ! Д 6 6 $ 6 о о 6 'о 6 о о 3 о оО ф, оо ао 3~ 6 а о о 3 о Е о о.
(а !",,(оа (~ ..+ + а. с с !! !!- Ф Ф а а Ф М 6 о о о о а о !ео .о (61 Ф Ф М 4 х Е 6 $ й 6 й Ф о о Ф"~ о о о о 2$ оо Ео 6 $ о Ж ИСПОЛЬЗОВАНИЕ аПРЕ ОБРАЗОВАНИЯ ф ФЭ 6 а 6 1„ '6 6 [гх. 1"о "о 'о о а ".о 'о + $ ~О. о о о С" 3 6 сч 3 Г а + + х о 3 '8 т 3 о о м + о о Г са.
х о о .1 Ю .к Я ~ц о о х а о о х х й хй ох ю х Е а хо х Ф а х х 3 а о 6 <о + ъ, $ и» с'3 яа СР а Б + хо. ~ь о, ~ь х )сч -(с «(ь х о о о Ф х о М й О Р х х о х о а й й х ох ох ха х й.з хй х импульсный системы Г хх ю а о + О Л ~а Й и Г сО. 7 + са Е ~а $ а $ 3 Е х ю Н о о а О о а С"3 "М с 5 х со. о щ о б о со. (о. Ю ~а . о 'М о о б о М 1 1Ь.г! ИСПОЛЬЗОВАНИЕ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как 6-функция (функция Дирака) в непрерывных системах. Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
