Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Л (г) г 4о (-) Р(з) =- . = . Ро(з) = Ю(г1 г — 1 г — г йо ОО то можно показать, что формула разложения приобретает вид ! 4о (() у 4о (го) о 7'(и) =- 'зо . Во(г) ! (( о ) гго (г ) (15.89) Л (г) А(о) Р (з) .— Последнее выра кение представлнет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем. д) Пусть изображение Р (з) имеет нулевой полюс кратности г и простые остальные полюсы 451 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ »ПРЕОБРАЗОВАНИЯ о 1о.з) причем степень числителя А(з) меньше степени полинома Во(г). Тогда на основании (15.83) и (15.88) можно найти оригинал в виде О, если п (г+ 1, 1-г — зоо ", если и> г+1, Во Оо) (15.90) ]г (г) = — =- = — ~ 1 [г] + — ~.
А(г) А(») 1 Г Ао() 1 — ВО) — г Ьо(г) — г» [ Во(г).1 Здесь ~[г] — значение оригинала в момент и =- г. Далее можно воспольаоваться формулой (15.90), заменив в ней А (з) па Ао(х). е) Пусть изображение Р(г) имеет полюс г, кратности г, а все остальные полюсы простые: г" з)= — = А (г) А (г) В (г) (г †»1)г Во (г) ' причем степень числителя меньше степени знаменателя.
Тогда в соответствии с (15.82) и (15.88) оригинал будет В (гч) (г )г »1 Эта формула справедлива для п> 1. При п=О значение оригинала ~ [0) =--О. Для случая двойного корня (г = 2) формула (15.91) приобретает вид Так, например, если гг (» — 1)г ' (15.92) то )' [и) = )пп — [Тг" ] = пТ, о'г что совпадает с табл.
15.1. В случае, когда степень числителя г'(г) равна степени знаменателя, следует аналогично изложенному выше выделить член нулевого порядка / [0] делением числителя ца знаменатель и рассматривать далее остаток от деления. 14. Разложение в ряд Лорана. Из основного выражения для нахождения г-преобразования (15.29) следует: В (г) = ~ Г [я] г "—.. ) ]0]+ ~ [1] з 1 --' ... + ( [)»] г «+...
о=.-о Разложив любым способом изображение Г (г) в ряд Лорана (ряд по 29« При равенстве степеней числителя и полинома В,(г) следует выделить делением А (г) па Во(г) нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде 452 (го. 15 импульснык систкмы убывающим степеням г): Р(г) =со+сгг+ ... +сог-о+..., и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что со = ~ [01, с, = / [11, сг = ~ [21,..., со = ~!)с[ и т. д. Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.
Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала 1[гг) или [[п„с! в дискретных точках без нахождения полюсов изображения г" (г). 15. Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (15.15) а,у [п + т! + а,у [гг + т — 11 +... + а у [п! = ) [п1 с начальными условиями у [т! = у, (т = О. 1,..., т — 1). Найдем г-преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (15.50) для случая упреждения на т тактов 7 (у [и+ то =- г [У(г) — ) у [Ц г-"!.
о=о Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на (т — 1), (т — 2), ..., 1 тактов. Позтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить (аог +а,г '+... +а„) У (г) =-. с(г)+(аог — ' а,г '+... +а, г)уо+ +(а г "+аз г+... +а г)У,+... -1 агУм,=с (г) —, :У,(г). (1593) В правой части (15.93), кроме изображения с" (г) решетчатой функции / [и1, находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена Уо (г). Из (15.93) можно найти изображение У (г) искомой решетчатой функции У(г) = — о+:, ~ 09 Уо (=) А (г) А (г) ' (15.94) где А(г)=а,г'о+а,г '+... Ьа„. Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к иско- мому оригиналу у 1и[, Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия у [т[ = ут (т = О, 1,..., т — 1).
Последние же зависят от вида действующей в пра- вой части разностного уравнения решетчатой функции. Более удобны для решения разностные уравнения вида (15.19) аоу [и[ + а у 1п — 11 +... + а„,у [и — т[ = ~ 1п! с начальными условиями у 1 — т[ .=- у„(т: — — 1, 2,..., т). Изображение решетчатой функции у 1п — т1, запаздывающей на т так- тов, в соответствии с (15.48) будет Е(у1п — т[) =-г м!У(г)+ 2. у[ — г[г"!. г=! Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на гт — 1), (т — 2),..., 1 тактов.
При переходе в рассматриваемом развостпом уравнении к изображе- ниям могут быть получены выражения, аналогичные (15.93) и (15.94). Пере- 453 ИСПОЛЪВОВАПИЕ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ о |г.г] ход к искомой решетчатой функции у [и! осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами. Особый интерес представляет случай, когда до момента времени л = О искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при г =- — О) при решении дифференциальных уравнепий для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (15.94) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид У(г)= — „) . (15.95) Рассмотрим разностное уравнение вида (15.19), но записанное в более общем виде: агу [и! + а,у [и — 1! +...
+ а у [и — иг! =- =Ьо/ [и! + Ьп' [и — 1) +... + Ь!1 [и — 1!. (15.96) Если ввести предположение, что решетчатая функция у [и! тождественно равна нулю при и ( О и, кроме того, функция ~ [и! в правой части (15.96) прикладывается в момент времени и = О, то переход кизо- |аП бражениям дает (а + , -' + ... + + а г- ) У (г) =- и) и =(Ьо + Ь,г '+... + Ьгг ') Р(г). (15.97) Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде Ьо+ Ьгг" г -'-... + Ьгг-| я и ао+а|г-|+... +аггг "' ~ Г (г) .= А["- Г (г) =" И~ (г) 'Г (2).
г (15. 98) 1[п] Здесь введена дискретная передаточная функция И" (г), которая, как и в случае не 'рерыв Ф р и ных фупкций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при пулевых начальных условикх. ДиРис. 15ЛО. скретяая передагочная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычвая передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено никос. 16. Периодические решетчатые функции и их и з о б р а ж е к и я.
Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию ( [и + ЬМ[ .= 1' [и[, (15.99) где й и М вЂ” целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис. 15.10, а). 454 Ол. 12 нмпульснык системы Первая гармоника имеет относительную угловую частоту 2л 011 =" ° = М (15.100) Функция (15.99) может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратными ОО1: 1 [я] = — О+ '5'„(аз соз йю122+ ЬО зш ЙО21п).
О=! М Число гармоник равно целой части —. 2' Ряд (15.101) может быть представлен в комплексной форме: (15.101) Ж 7 [и[ = — ~~>~ сд е'О" 1и, (15.102) где (15.103) (15.104) Комплексные амплитуды могут находиться нз формул: при М=2Л'+1 212 с = — ч~~~~ ~ [и) е-1""1" 2Х+ 1 и О (15.105) при М=2У 2%-1 С, = — Я ~ [и) Е-1" 1и. и=з Для г=Х при М=2Х+1 (15.106) гк с = — ~~ )[я) е-1"""и к 2л1-[-1 и=з (15.107) и при М =- 2Л' гк-1 ск= — ~~~~~ ) [в) е-1аи. 2Л1 (15,108) и:=О Для симметричной периодической функции (рис.
15.10, б), т. е. прн выполнении условий М= 2)т' и 7'[и) = — /[и+)у), формула для комплексной амплитуды принимает внд с„= — ~1„'~ [и[ е-~'"~' [1 — ( — 1)"). (15 109) [ а — АДЬО, сз = сге1ОО = [ ао [ аз+)ЬО, Для М = 212' при й =- Л1 ак, ЛГ'- О, ая, Л'(О. й -«О, Ь=О, й< 0. 455 ПБРБДАточньгк Функции 16.31 Из последнего выражения следует, что прн четном г будет е„=О, т. е, четные гармоники отсутствуют. Прн г нечетном Я-1 е, = — Я 1 [я[ е-и""', г ( )О'.
(15.110) п=О Если Х нечетно, то прн г = Л' Я-1 ся= ~ ~[я) е-1О 1 (15.Ш) Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме: 1 [я[ = — ~~~~ сье'™т = ~ еь соз (йв,п+ Орд), (15Л12) А=-Х1 где )У,=Х вЂ” 1 для четных Х и Х,=Ж для нечетных )О'. Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (15.99) применим теорему сдвига (15.50): М-1 Г (з) = зм [г" (з) — ~ ~ [г[ з "[. т=е Отсюда следует: (15Л13) Суьша в правой части (15Л13) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале Π— М. Для симметричной периодической функции ~[я[= — 1[я+)О'[ аналогичным образом можно получить Я-1 г'(з) = — „" ~' ~ [г[ з ".
(15.114) О +1 Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рнс. 15ЛО, в: 1 г" (з) = — ~ з '= — (1+а ') = ОО е ОО О(О+1) От+1 ОО+1 ге+1 е О й 15.3. Передаточные функцяи х» [и[ .= л (1) [О От = л [я[, (15.115) Блочная схема импульсной системы, содержащая импульсный элемент ХХЭ в канале ошибки, изображена на рнс. 15.11. Импульсный элемент обычно считают идеальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
