Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 105
Текст из файла (страница 105)
В этой формуле г — произвольное комплексное число с модулем, равным единице. Следовательно, каждой частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 15.15). Двум эквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частоты повторения, соответствует одна и та же точка на этой окружности. Частота о1 = 0 соответствует точка на вещественной оси з =- 1, а частоте ю .— — 0,5вэ — ДиаметРально пРотивоположнаЯ точка з = — 1. Частоте Ф = 0,25ю,,соответствует точка з = 1, и т.
д. Когда частота Ф наменяется от 0 до Фр, представляющая ее точка совершает один 464 ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ Ые 1О полный оборот против часовой стрелки. Двум симметричным относительно вещественной оси точкам, т. е. двум комплексным сопряженным числам с модулями, равяыми единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты ОО и гэ'. Следовательно, совокупность точек. расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот.
Найдем теперь реакцию импульсного фильтра на синусоидальную последовательность (15.149). Ьудем предполагать прп этом, что импульсный фильтр является устойчивым. Поскольку синусоидальная последовательность на входе всегда ограничена, то н реакция устойчивого фильтра на эту последовательность должна представлять собой определенную ограниченную последовательность на выходе.
В соответствии с формулой (15.118) выходная величина в этом случае б удет для уста но в ившегося режима у[п]= ~1 х[т)и>„[п — т]= ~~~~ х[п — т]и:„[т]== т:О т.= Π— ~ иги[т]ае" —...аз" ~, иге[т]з ". (15Л51) «г — О ггг=-О Эта формула может быть иредставлена в следу1ощем символическом виде: у [и] =- аз" И' (г) =- х ! п [ И' (э). где г =- е"", О1=.-2пТ,1. Здесь введена величина (15.152) И' (Е]гет), 2' иг [т! З пг=О з е1вт (15.153) у [и, е[ =- И' (г, е) х! и], 3 =- е'"г, (15.154) где Иг(з, е) — передаточная функция (15.124), Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена нз дискретной передаточной функции импульсного фильтра И'(з) или И'(г, е) посредством подстановки О = е' '.
П р и и е р. Пусть непрерывная часть импульсного фильтра предста- вляет собой апериоднческое звено первого порядка с передаточной функцией И'О (р) =- Й (1 + Т,р) ', а импульсный элемент генерирует короткие прямо- угольные импульсы продолжительности ге-. †.уТ. Приведенная функция веса такого звена ТТЬ иг (О) = — е т, Дискретная передаточная функция И' (г) = 2 (1е, (г)) = — , гга е (15.155) которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы.
Как видно из (15.153), для данного импульсного фильтра она зависит только от частоты ОО и является периодической функцией частоты с периодом го, =- 2пТ-'. Лмплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (15.152) можно найти обычным приемом по комплексному выражению И'(з). Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз— аргументу этого выражения. В общем случае, когда е ~ О, формула (15.152) может быть представлена в виде г ев.е1 гстоичивссть и к~честно нмпгльсных сне~ем регтлнровання 465 где А=-е — тlте Сделаем подстановку г=ег"т=соааТ+уз(аеоТ. В результате получим Т тй (сов ~Т+1 вш еТ) (15.156) Те сов евТ вЂ” И+1 в1вевТ Модуль и аргумент этого выражения ! д'(ест) ~ Т тй 1 в * ~/1 + Зв — 2И сов ееТ ер .= агя ее' (е1"'т)=.
евТ вЂ” агс16 вра евТ еов евТ вЂ” о' (15Л57) Аналогичным образом могут быть найдены частотные передаточные функции замкнутых систем Ф (г) и Ф (г) при г = е1"т. 4 15.4. Устойчивость и качество импульсных систем регулирования В импульсных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т. е.
корни характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости корней. Границей устойчивости является мнимая ось (рис. 15Л6, а). Для Рис. 15.16. 1 + И' (г) = 0 (15Л58) должны быть ограничены по модулю: ~ ге ) с. 1, что совпадает с результатом 1 15.1. Так, например, для характеристического уравнения первого порядка г+А =О (15Л59) очевидное условие устойчивости будет ~ А ! (1. Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка г'+Аг+В = 0 30 В, А.
Беееперопвй, Е. П. Попов (15.160) аостроеяня области устойчивости в плоскости комплексной величины г отобразим мнимую ось плоскости величины р на плоскость г. Для этой цели в соответствии с методом Ю-разбиения необходимо сделать подстановку р = — и» и менять затем частоту ев в пределах от — со до +ос.
Таким образом, аолучаем г = ерг = еевг. При изменении частот в указанных аределах на плоскости г получится окружность единичного радиуса, представляющая собой область устойчивости (рис. 15.16, б), Условием устойчивости будет нахождение особых точек (полюсов) передаточной функции замкнутой системы Ф (г) внутри атой окружности. Следователыю, корни характеристического уравнения 1сл, 1Ь импульсные системы путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости' 1+А-,В~0, 1 1 — А+В~о,, В<1, ) (15.161) Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Для облегчения аадачи иногда используется так называемое и1 -преобразование, посредством которого окружность единичного радиуса (рис. 15.16, б) отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины 1в.
Для преобразования используется подстановка 1 -'- ь 3 или, соответственно, с — 1 и1 = с+1 (15.163) Сделав подстановку з = е1ет, получаем из (15.163) е1"т — 1 ' вТ мт 1 ~ 2 (15.164) сеТ где Л=1д — представляет собой так называемую относительную псевдо- 2 частоту. Иногда вводится в рассмотрение абсолютная псевдвчастота 2 ыТ 2Х Т 2 Т (15.165) ыТ О)Т При малых частотах гд — — и псевдочастота Х ж ю. Поэтому при 2 2 выполнении условия юТ (2 можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой, что может быть использовано, в частности.
при расчетах установившихся оп1нбок прн гармоническом входном сигнале. Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах — -'„- ( ю ( — ', псевдочастота пробегает все значения от — со до +со, а комплексная величина ю движется по оси мнимых от — )со до 1'оо. Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость (рис. 15А6, в).
Поэтому для передаточной функции с и-преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем. Рассмотрим, например, характеристическое уравнение второго порядка (15А60). Посредством подстановки (15.162) оно преобразуется к виду (1 — А+В)юв+2(1 — В)й+1+А+В=-О. (15.166) На основании алгебраического критерия (см.
1 6,2) условие устойчивости для уравнения второго порядка сводится к требованию положительности всех коэффициентов. Отсюда получасотся условия (15.161). Заметим также, что прнмоненио 1в-преобразования н псевдочастоты Х приводит передаточную функцию разомкнутой системы к виду, удобному для использования метода логарифмических частотных характеристик. Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использование критерия Найквиста. Для этой цели можно применять передаточную функцию разомкнутой системы, получепнусо как на основе г-преобразования, так и па основе и:-преобразования.
И в том и в другом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не дол1кна охватывать точку ( — 1, 10). При использовании передаточной функции РУ (з) г ы.и кстоичивость и качвство импульсных систвм эвгклиэовхния 467 амплитудно-фазовая характеристика становится периодической функцией с периодом 2пТ '. Пусть, например, дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид И'(з) =- (15.167) Получим частотную передаточную функцию подстановкой х = еэет: И'(с"'г) — ., = -- — — у — с1д — = и+ уи. (15.168) КТ КТ, КТ мТ соэ мТ вЂ” Г+у яа мТ 2 2 2 В координатах и = Ве И'и и = [ш И' амплитудно-фазовая характеристика будет представлять собой вертикальную прямую линию, отстоящую влево от начала координат на величину 0,5 КТ.
Граница устойчивости будет при прохождении этой прямой через точку ( — 1, у0). Отсюда можно получить условие устойчивости КТ 2. Получим теперь частотную передаточную функцию на основе илпреобрааовання. Для этого в формуле (15.167) применим подстановку (15Л62), В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы как функцию комплексной величины и: (15 Л69) Частотная передаточная функция разомкнутой системы при подста- . Т павке и~ =-у — , 2 Т ( У 2 ) Т ~ 2 (15.170) х [и[ = ссд [п) — - с,К [и[+ =" К[п)+..., (15.171) где коэффициенты ошибок сю со сз и т. д.
представляют собой коэффи- циенты разложения передаточной функции по ошибке Ф„(з) в ряд Маклорена пу~ Нетрудно видеть, что частотная передаточная функция (15Л70) в зависимости от псевдочастоты имеет более простой вид по сравнению с (15Л69). По выражению (15.170) может быть, в частности, просто построена асимптотическая л. а. х. Подобным же образом могут быть получены дискретные передаточные функции Ф (ю) и Ф„". (и), а также частотные передаточные функции Ф (у — 2) ,, ~,т,,~ Оценка качества импульсной системы регулирования может делаться построением кривой переходного процесса, что при использовании з-преобразования осуществляется сравнительно легко (1 15.2), а также посредством различных критериев качества.
Наиболее простым является использование показателя колебательности, который может характеризовать запас устойчивости системы. Как и в случае непрерывных систем, получение ааданного показателя колебательности сводится к требованию, чтобы амплитудно-фааовая характеристика системы не заходила в запретную зону, окружающую точку ( — 1, у0) в соответствии с рис. 8.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
