Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 106

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 106)

Установившаяся точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда (еа. 1З 466 имптльснык систкмы по степеням р, т. е. (15.172) Величины, обратные мноясителям при производных выраясения (15.171), по аналогии с непрерывными системами могут называться соответствую- щими добротностями. Например, добротность но скорости 1 К,= —, аг ' (15.173) добротность по ускорению 2 ег (15.174) и т.

д. Вычислим, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи тКТ (1 — Л) г И'(г) = (г — 1) (г — а) ' где с(=с-т)1ц Эта функция соответствует импульсному фильтру с передаточной функцией непрерывной части Иг )= К а(Р р(1 ТсР) и с приведенной передаточной функцией (15.136) ткт И'. (р) =И'(р) Р«' (р) =,П(+т,,) Находим передаточную функцию по ошибке: 1 (г — 1) (г — с) 1+ К~ (г) (г — 1) (г — С) + ТКТ (1 — е)) г Подстановка в это выражение р = О или э ==1 дает коэффициент са = О.

Для получения коэффициента с, находим первую производную: е)Фх (еат) ТКТг (1 — а) (гз — га) з = ссет е)р «(г — 1) (г — Л)+тат(1 — С) г«г Подстановка з =-1 дает коэффициент 1 с,= —, тК ' а также добротность по скорости К, = — —.= 7К. 1 Периодические режимы. Если на входе замкнутой импульсной системы (рис.

15.11) действует сипусоидальная последовательность Д «и] =- Кгааг з«п (Яп7 '«су) то расчет синусоидальных последовательностей у [и] и з ]в] может быть сделан на основе формул (15.152) и (15.154) при использовании передаточных функций замкнутой системы. Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки) Хшаа — ашаг] Фг (сс е З) ] (15.175) 2 2ол! хстойчивость и кхчвство нмптльсных снствм экгтлнгования 469 и сдвиг по фазе агух — агду=агдФ„(е2 г, с).

(15.176) В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см. 2 15.2) она может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник: 2л 2 — ол У[я[=- 2 Х сье " о=-к М где )2'-целая часть —, а коэффициенты разложения гл ° „2 2мьа со=сде 2= — т; д[т[е =М Ь 1 —.о Для каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет в соответствии с изложенным выше для сннусондальной последовательности. Поэтому в установившемся режиме для ошибки можно записать и ~гл О х [и, е[ —.— — 'Я Ф„(у — )с, е) со е и о---л где Ф (у — )с, е) — значение частотной передаточной функции, полученное . 2л 2 — 2 2л из Ф (г, е) подстановкой г = е "' Аналогичным образом по передаточной функции Ф (г, е) может быть получена для установившегося режима выходная величина у [и, 2[.

Более простой метод заключается в следующем. Рассмотрим, например, задающее воздействие у [п[, представляющее собой периодическую последовательность, изображение которой (15.113) М-2 6(г)=- „Я д[г[ г а= ~о(г), =о где Со(г) — изображение у[п[ на интервале Π—: М. Пусть рассматриваел2ая последовательность действует на входе системы с передаточной функцией Ф(г).

Тогда изображение выходной величины У(г)= ' ) =Ф(г)6(г)=Уо(г)+У'(2) Уо (о) можно представить в виде суммы изображений переходной составляющей У' (г) и установившегося периодического режима У* (г). Первая составляющая определяется полюсами функции Ф (г) н с течением вреыени затухает, так как система предполагается устойчивой. Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в виде м М М„М-2 о „2 аоо +а~о +... +ам 22 М 2 о ' М м где Уо (г) — изображение у [и[ на интервале Π—: М з установившемся режиме, которое и является искомой величиной, коэффициенты ао,..., ам, должны быть определены при разложении на сумму дробно-рациональных функций У<о> (г) и Уо (2). Для этой цели могут использоваться известные методы, например теорема разлоноения.

Так, если степень У, (г) равна 471 случАиные пРОцессы в импульсных снстемАх е 1аз) Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (15Л80), учитывая, что Ф (з) имеет единственный пол1ос з, = О, имеем ( ' ') )(" ") ' (" ) ) — 1 )-а 1-(1 — а)з '+(1 — а)з-з. 4 15.5. Случайные процессы в импульсных системах Введем понятие случайной решетчатой функции ~1к[, которую можно обрааовать из непрерывной случайной функции г (1) ее дискретиаацией.

В этом случае опа будет определена в дискретные моменты времени 1 = пТ. Вудем рассматривать стационарные процессы, когда вероятностные характеристики не зависят от вромени. Среднее значение решетчатого случайного стационарного процесса к ~ !.1-- 11,„'„Х ~1 1, (15Л81) к аа а=-к яли на основании зргодического свойства 1!п)=М(!(п!)= 1 ![п[ю(![п))йу, (15Л82) где и (~!п!) †одномерн плотность вероятности. Для центрнрованных процессов среднее аначение равно нулю. Введем понятие корреляционной функции И В!т[==1, ', Х Л)1[.+ 1 к-~ в=-Я (15.183) Аналогично главе 11 можно сформулировать основные свойства корреляционной функции. 1.

Для случая т=О В!01= и,,', У ) 1)=Р~,~. (15 Л84) и — к 2. При т = 0 корреляционная функция достигает наибольшего значения) В [01 > В !т!. (15Л85) 3. Корреляционная функция является четной: В [ — т1 = В [т1. (15.186) При наличии двух случайных процессов /, [и) и ~з [и) можно ввести понятие взаимной корреляционной функции В,з[т1= Игп зу 1 ~~~~ /,1п[ 61п+т1.

1 (15Л87) к-~м + Отсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, если совместить начало положительного полупериода с началом отсчета, будет у 101 — — 1 + а, у И) = у !2! =- 1 — а. В следующем полупериоде будет у 13) =- — у 101 =-: — (1 + а), у [41 = у 151 =- — у !1! = — (1 — а) н т. д.

472 импгльснык снсткмы 1«л 1$ Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывных процессов. Введем понятие спектральной плотности случайного стационарного решетчатого процесса как двустороннего з-преобразования корреляционной функции Я(з) =-Т ~~~~~ Л [и[а =- Т [Р(з)+ Г( — з) — 77(0)), (15 188) где Т вЂ” нормирующий множитель, равный периоду дискретности, а Р (г) представляет собой г -преобразование корреляционной функции аа( [и). Нормирующий множитель Т введен в (15.188) для того, чтобы сделать фиаическую размерность спектральной плотности дискретного случайного процесса равной размерности спектральной плотности непрерывного процесса и сохранить ее физический смысл. Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральнов плотности как функции круговой частоты Я (еу) = 5 (еллг) Т ~» К [и[ еуа' (15.189) (15 192) (15.193) или при учете четности У(уз) =-Т(В [0[+2 ~ Л [и) созувиТ) (15.190) а«=1 Наконец, можно определить спектральную плотность как функцию абсолютной псевдочастоты.

Для етого в формуле (15.188) необходимо перейти к ку-преобразованию, используя подстановку (15 163), а аатем перейтн Т к псевдочастоте посредством подстановки ув = у-Х. В результате получим 2 я,(Х) я(1+и ) ~ (15.191) «=а — ' а. 2 Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двух процессов. Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и для случая е ~ О, тогда рассматривается случайная решетчатан функция Т" [и, е), корреляционная функция у1 [т, е[, спектральные плотности Я (з, е), я (еу, е) и ял (Л, е). Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается в том, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины.

Монако показать [136), что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид «ут луг 7'[)=й 1 8(")".=-,' 1 8(")" — л/а' 'О Так как имеют место равенства Т 1+у — Л еу «г 2 а[за = ауХ Т ' Та 1 — у —,У 2 1+А«в то формула (15.192) может быть записана в виде — г н (у.) ву 1 г у*(у)ву. /а [и) = —,. т — 2.

Та ' '" ).1+", ' ~1 ОХ) „ 4 э 15.61 случАйныв пгопнссы и импульсных систвмАх 473 Выражение (15,193) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с (15.192), так как позволяет использовать таблицы интегралов (см. приложение 2). Типовые случайные стационарные процессы. Если для функции ~ (э), представляющей собой центрированную помеху, эффективное время корре- ляции йт= — ) В(т) дт 1 = л(о) ОО (15 194) меныпе периода дискретности, йт<,-.Т, то такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляционной функцией В [т! = В (О) бэ [т! (15.195) где В [О! = Р— дисперсия, а бэ [т! — единичная решетчатая импульсная функция (15.32), равная единице при ш = О и равная нулю при т Ф О.

Этому белому шуму соответствует спектральная плотность Я (э) = Я (ю) = Яэ (Л) = ТР. (15.196) Если эффективное время корреляции Лт ~ Т, то корреляционная функция В [т! может быть получен» из соответствующей корреляционной функции непрерывного процесса В (т) заменой т = тТ. Спектральная плотность может быть получена использованием формул (15.188) — (15.191). В табл.

15.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы. Таблица 15.2 Прохождение сигнала через линейную систему. Пусть на входе линейного звена с известной дискретной передаточной функцией И~ (э) действует случайная функция х, [и[, для которой известны корреляционная функция В, [т! и спектральная плотность Г~ (ю) или Ю; (Л). Тогда для выходном величины хэ !и), аналогично непрерывному случаю, можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входного сигнала нмпульсныв системы [тл, ы на квадрат модуля частотной передаточной функции: (15 197) Интегрирование спектральной плотности по всем частотам в соответствии с (15.192) и (15.193) позволяет найти средний квадрат выходной величины х~з [и[.

Это позволяет для замкнутой импульсной системы производить расчеты, аналогичные изложенным в $ 11.8. Так, например, пусть в схеме, изображенной на рис. 15.11, па входе действу~от полезный сигнал л (1) и помеха и (1), не коррелнрованные между собой. Обозначим их спектральные плотности Я (Л) и Я;, (Л). Тогда спектральная плотность ошибки Я* (Л) [ Ф* ([Л) [з Я (Л) + [ Фе (1Л) !з Яд (Л) (15 198) где Ф* (1Л) и Ф", (1Л) — частотные передато нные функции замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке. Интегрирование (15.198) по всем частотам в соответствии с (15.193) дает средний квадрат ошибки С Э[и[ — — [ [ ' 1 И з( ) + — ( [ гх)~ " (15.199) г сЛг1 З" ~ 1.[ Лг ~' 4 Подобным же образом могут быть найдены расчетные формулы и для других возможных случаев (см.

Характеристики

Список файлов книги