Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 104
Текст из файла (страница 104)
В формуле (15.133) передаточная функция оуо (р) относится к непрерывной части. Амплитудно-импульсная модуляция 1-го рода. В этом случае реальный импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы, высота которых равна значению х [п1, а продолжительность составляет го = уТ, где у с.
1 (рнс. 15Л, и). Изображение импульса при поступлении на вход экстраполятора функции б, [п1 будет тт УР т Р„(р) = 1 е — "' й = Р В этом случае передаточная функция разомкнутой системы (г) — ( е(Р) о(Р)) — ° ) Р ' о(Р)) (15.134) где е = 1 — у. Формулу (15ЛЗ4) мояоно также записать в следующем виде. Так как деление передаточной функции И'о (р) на р эквивалентно интегрированию оригинала, т. е.
весовой функции ио (1)„то в результате И'(г)=Я(Ьо[п1) — — 2(до[и+ е[)=Но(г, 0) — г ЧХо(г„е), (15.135) 1 460 (ьь !з имптльсныв системы где Ьз [п! — переходная функция непрерывной части системы, а Не (з, е)— изображение этой переходной функции. Пусть, например, кепрерывпая часть системы имеет передаточную функцию К 1+т»р ' которой соответствует переходная функция йе(») = — К(1 — е ""), где а = Т,'. Тогда в соответствии с (15.135) и табл, 15.1»»случаем И()=К~ — — + [=К =К (1 — »О г 1 лл л»(л — в»( (д т — 1) (л — 1) (» — л)» — 1» — д, л — В» — л где»( = е-»'", е = 1 — у.
При у (( 1 в формуле (15.134) можно приблин еяпо принять е-трт ж 1— — урТ. Тогда получим И'(з) ж уТХ(И»е (р)). (15.136) Формула (15.136) будет справедлива, если можно пренебречь влиянием конечной длительности и»шульса. Это эквивалентно замене коротких прямоугольных импульсов, которые генерируются реальным импульсным элементом, серией одинаковых с вики по площади импульсных функций (б -функций).
В свою очередь ато эквивалентно замене И»,(р) тТ. Такая замена обоснована, если пепрерывиая часть реагирует практически одинаково па реальные конечные импульсы и на Ж Ю равные по площади импульсы типа б-функе — ций. В большинстве случаев для выполнения лл этого достаточпо, чтобы постоянные времени системы были больп»е продолжительности 1 импульса, т. е. Т, ~1„= — уТ (» =-1, 2, ..., й). К формуле (15.136) сводится и случай ! амплитудно-импульсной модуляции 2-го рода ! 1 ! (рис. 15.1, в), если длительность реального д Т Рг,тт 4т импульса мала.
Экстраполяторы с фиксацией иа период. В этом случае ка выходе экстраполятора в течение всего такта продолн»ительпостью Т удери»ивается величина, равная значению х [п[. Подобным обрааом работают, например, системы с ЦВЫ Ори использовании в ких так называемых экстраполяторов нулевого порядка (рис. 15.13). Изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на вход х [п[ =-- б, [п[ будет в этом случае (при у = 1) т — г Р„(р) = 11'-Р» [1= 1 — е Р» — 1 лР(15.137) Передаточная функция разол»»»кутай системы з общем случае наличия временного запаздывания И'(з)=-' — Я ~ е Р)е-Р'~ ==,У, ( — " — Р~), (15.138) где е =- 1 — $, т =- РТ, причем 0 < $ ~ 1.
Смещенное з-преобразование должно вычисляться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). 461 передаточные Функции $ го,г» Формула (15Л38) мон<ет быть танисе ааписана в другом виде) Иг (г) =': 2()го(1 — т)), (15.139) где Ьо (1) — переходная функция непрерывной части беа учета временного запаздывания. П р и и е р. Определим передаточную функцию разомкнутой системы с экстраполятором нулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функцию И' ( 'Р) = р(1+Т,р) ' Общий козффициент усиления К вЂ” — 100 сек-', постоянная времени объекта Т, =- 1 сек, период дискретности Т = 0,5 сек, постоянное временное запаздывание т =- 0 и т =- 0,1 сек. Рассмотрим случай т =- О.
Разложим выран<ение, находящееся в скобках (15.138), на простые дроби: Тогда имеем из (15.138) и табл. 15.1 К(г — 1] ( 1 То Т1 ) К(г — Ц (" Тг Тог Тог г ) р' р 1+Тор~ г ( (г — 1)г г — 1 ' г — »1) К((Т вЂ” То+»)То) г+(1 — г() То — ЕТ) 11г+8,5 (г — 1) (г — »() (г — 1) (г — 0,61) ' 3десь г( = е тггт 0,61. Для случая т=0,1 сек (кли $=-0,2) аналогично будем иметь, положив а.=1 — $, К(г — 1) ( Тг гТг Тог, г~йТо ) тгг-»-18,6г+0,82 гг ! (г — 1)о г — 1 г — 1 г — г( ) г(г — 1)(г — »О Заметим, что, положив т = 0 и е = 1 — 6 =.
1, из последнего выражения (**) нельзя получить передаточную функцию (*), так как для случая е = — 1 изображение не определяется формулой (15.51). Передаточные функции замкнутых систем. Пусть для систем с единичной главной обратной связью (рис. 15Л1 и 15.12) определена для общего случая е чь 0 передаточная функция разомкнутой системы И' (г, е).
Тогда изображение выходной величины г' (г, е) = И'(г, е) Х (г, 0). (15.140) 1 (г, О) =- . 6 (г, 0) = Ф (г, 0) 6 (г, 0), Х(г, 0)= „1",' 0) — — Фг(г, 0)6(г, 0). (15Л41) (15.142) Изображение ошибки принято в виде Х (г, 0), так как импульсный элемент реагирует на аначения ошибки в дискретные моменты времеви 1 = иТ (е =- 0). При е =" 0 имеем Х (г, 0) =- 6 (г, 0) — )' (г, 0). Подставляя зто выражение в (15.140), получаем 462 1лл 1Ь ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ Или в сокращенной записи У(з)=- С(з)=-Ф(з)С(г), Х (з) = (' =.
Ф„ (з) 6 (з). (15.143) (15.144) Здесь введены передаточная функция замкнутой системы Ф (з) и передаточная функция по ошибке Ф„(з). Условием применимости формул (15 143) и (15.144) является требование равенства нулю приведенной весовой функции в момент 1 = О, т. е. ил (0) = О. Для этого в системах с бесконечно короткими импульсами в виде 6-функций требуется, чтобы степень числителя передаточной функции непрерывной части И~э (р) по крайней мере на два была меньше степени знаменателя. В системах с конечными по длительности импульсами достаточно, чтобы эта разность была бы не меньше единицы.
Передаточные функции И'(г), Ф (з) и Ф„(г) могут быть использованы для оценки устойчивости и качества импульсных систем. Если е ~ О, то, учитывая, что в замкнутой системе Х (г, 0) есть изображение ошибки, на которую реагирует импульсный элемент, можно получить из (15.140) (15 145) Р~ (л) )глг (О 1 + )У (г) 1 + И'(л) (15 147) Таким образом, в случае воздействий, не приложенных ко входу импульсного элемента, передаточная функция импульсной системы может быть определена только для эквивалентного воздействия, полученного пересчетом реального воздействия на вход импульсного элемента. Частотные передаточные функции. Введем в рассмотрение сипусоидальную последовательность па входе импульсного фильтра х [и! = а з(п (иегТ + <р), (15 148) Однако формула (15.145) обычно не используется, так как практически всегда выражения (15.141) — (15 144) могут быть использованы для оценки качества работы импульсной системы.
Передаточные функции для возмущений. Па рис. 15.14 изображен случай, когда внешнее воздействие приложено не на входе импульсного элемента (например, возмущающее воздействие). ПеШ ренесем воздействие 7 яа % )У + )рг вход в виде воздействия ~м Т ! у В соответствии с правилами преобразования структурных схем, если для Ркс. 15.14. возмущения 7 (1) изобра- жение Лапласа будет Гл (р), то возмущению 11 (1) должно соответствовать изображение Лапласа г'гл (р) = И', (р) г'(р). Далее можно найти г-преобразование эквивалентного воздействия на входе импульсного элемента г, (г) = Е(И'г(р) Р.
(р)) = И'гР(з). (15.146) Для этого воздействия в разомкнутой системе будет Х (г) =: — г", (з), а в замкнутой пегедьто'чные Функции $15 3[ где а и 1р — амплитуда и начальная фаза, Т вЂ” период повторения (чередо- 2к ванин) импульсов, Т, = — — период синусоидальной последовательности. Заметим, что, в отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальная последовательность (15.148) представляет собой в общем случае непериодическую функцию п. Она представляет собой периодическую функцию и тогда и только тогда, когда период повторения Т и период гармонической функции Т„, — соизмеримые числа. Кроме того, амплитуда а не обязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности.
Амплитуда всегда является лишь верхней границей, но не обязательно максимумом этих членов. Отметим также, что последовательность (15.148) не изменится, если 1О заменить частоту ~ .= — частотой ( + й~„где ~з — — Т ' — частота работы 2з ключа, а й — целое число. Невозможно различить две частоты, разность между которыми равна целому кратному частоты повторения ~Ф Так, например, синусоидальная последовательность с частотой( = ~, состоит нз одного единственного члена, повторяющегося неограниченное число раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой ~ =- О. Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе ~ в пределах от 0 до /Ф можно охватить весь диапааон возможных частот.
Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот 0(~ < 0,5/ю так кан для интервала частот 0,5~э ( / «= ~з может быть использована дополнительная частота ~', выбранная так, чтобы выполнялось условие / + (' = ~р. При атом начальная фаза 1р должна быть заменена начальной фазой я — 1р.
Это положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот — оо ( ~ ~ оо достаточно охватить только положительные частоты, т. е. интервал 0 < г < оо. Сннусоидальная последовательность (15 148) может быть заменена символической записью последовательности комплексных чисел Х [П[ — ПЕ1(пат+Щ = ОЕ3пвт (15.149) где а = ае'~ — комплексное число Как и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на самом деле х [и[ равно мнимой составляющей правой части (15.149). Введем обозначение ежг = г. Тогда последовательность (15.149) приобретает вид (15.150) х [и[ = аз".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
