Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 100
Текст из файла (страница 100)
15.1, предполагается, что они тождественно равны нулю при г и., О. В некоторых изображениях табл. 15.1 использованы полиномы Вй (г), которые могут быть представлены в виде определителя [136) 1 1 — г 0 ... 0 2! 1 1 — г ...0 1 1 2! 2! (15.33) 1 ...0 й! (й — 1)! (й — 2) ! Некоторые частные значения етого полинома: ! й,(г) =1, А, (г) = 1, Лг(г) =г+1, В, (г) =- г'+ 4г + 1, Лг (г) = гз+ 11гг+ 11г+ 1. (15.34) Операцию нахождения г-преобразования от решетчатой функции (15.30) или от непрерывной производящей функции (15.31) можно распространить ка изображение Лапласа непрерывной производящей функции )*[пТ[= ~ ~(1) 6(1 — пТ).
пАа Найдем преобразование Лапласа введенной функции (15.35) Ь()п [лТ)) === ~~!'„~ ) (г) 6(1 — пТ) е "' Й. п=-.О О (15.36) Так как интеграл от 6-функции равен единице, то имеем Х, ()и [кТ[) =- ~ ['[пТ[ е-ппт=Р(г), паз (15.37) где г.=еп'. Таким образом, преобразование Лапласа для импульсной функции оказывается равным г-преобразованию исходной непрерывной производящей функции. Пусть решетчатая функция 7 [яТ[ получается из непрерывной функции 1(1) квантованием в моменты времени 1 = иТ.
Введем вспомогательную импульсную функциго, образованную умножением исходной непрерывной функции на последовательность 6-функций 442 1гл. 1О имптльсныг систвмы Обозначив последовательность 6-функций вида 6 (1 — пТ вЂ” еТ), где п = О, 1, 2,..., через Ьт (г), импульсну1о функцию при с чь О, могкно представить следующим образом; ~' ((и + е) Т! = 1 (1) бт (1) Применим к левой и правой части последнего выражения преобразование Лапласа. В соответствии с приведенным доказательством в левой части будет получено з-преобразование исходной непрерывной функции времени Т (еР1', е) = Е У (Г) бт (1)). (15.39) Используем далее теорему свертки в комплексной области Р(еРт е) =- —.
( ~ тл()~) й(р — )) ео + ) пал(й) Уъ(р — Х)др ~. (15.40) в Здесь гл(р) —. Ь(1(г)). Кроме того, е е РеТ а (р) — ~ ~ б (1 пТ еТ) О-Фе(г-- '~~~ е — РОУ.Ое)т е-Рет ~~~ е — Упт Ъ вЂ” О п.=О У=О а также — 1Р -11пТ Тогда искомый интеграл можно представить в виде дл(Р) е пе 1 ~,г (Р) УО 12л 'Х 1,-1 -з11' 1ел 'Х О вЂ” 1 (15.41) Для каждого из полюсов в соответствии с теоремой Коши можно записать ,Т:и —,1р(1) =.— ГО1 (р+)т, ) е( 1' ) (15.42) Окончательное выражение для искомого г-преобразования будет при з — ОРТ.
зп тт(е~т, е) ' т Х ттт1 (р+Тг т ) е( 1 ) ' (15'43) Эта формула справедлива при любом значении е ) О. Однако прн с .— - 0 она становится неверной, так как начальный момент времени становится моментом квантования. Для этого случая можно показать (136), что з-пре- Интегрирование в (15.40) ведется по прямой р = с + )ы, где с — число, большее абсциссы абсолютной сходимости, и по полуокружиости радиуса Л вЂ” Р оо. Полуокружпость может быть выбрана как в левой, так и в правой части комплексной плоскости.
В последнем случае внутрь контура интегрирования попадают полюсы подынтегрального выражения, определяемые равенством е 1Р— "1т =- 1 или — (р — Х) Т =. )2ят, г == О, ~1, -+-2,... 2я Значение полюса ) „=- р + )т Для вычисления интеграла удобно обозначить е — 1Р— ь1т у — 1 (р )„) Т, )п у 11)„ 1О Та $1$.21 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ х-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ образование долнопо вычисляться в соответствии с выражением Р(егт, О) =- — ~~]~ Рл (р+уг — ) + ~ (15.44) Операцию нахождения г-преобразования по преобразованию Лапласа символически можно записать, аналогично формулам (15.30) и (15.31), в виде Р (г, е) = У, (Р„(р)).
(15.45) Формулы (15.43) и (15.44) имеют больше теоретическое, чем практическое значение. В большинстве случаев нахождение г-преобразования для изображения Лапласа РА (р) проще осуществить переходом к оригиналу [ (1) известными методами и использованием затем табл. 15 1. Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к г-преобразованию. Этн же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа.
Рассмотрение проведем для несмещенных решетчатых функций, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных функций ~ [и, е], кроме случаев, оговоренных особо. 1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их иаображений. Пусть реп!етчатзя функция определяется выражением л Д ! =-- У, С,У„ [ ]. (15.46) Тогда для ее изображения можно записать Р(г) "= ~~ етРА(г). т=! (15. 47) 2.
Теорема аапаздывапня и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию 1 [и — лг], сдвинутую вправо (аапаздывающую) на целое число тактов т, Тогда из формулы (15.29) следует, если обозначить и — т =- г, ! 2 ([ ]и, — т]) .:- ~~ ~[г! г '!"'' "! -= г ~ ~ ~ ([г] г "-'- ~", [[г] г е= — т '.-о т=-~и = г '" [Р (г) -!- ч! 1 [ — г] г ]. (15.48) е =! Здесь Р (г) — изображение функции ~ [и!. Если исходная решетчатая функция ! [и! равна нулю прн отрицательных значениях аргумента, то формула (15.48) упрощается: 2 (([л — ш ]) =-.--Р(.).
(15.49) Если сдвиг функции ~ [и] происходит влево (упреждение) н рассматривается функция [ [и + т], где лг — целое полок!ительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что ~и — ! А Яп+т]) = г"'[Р(г) — ~; ! [Й] г А!. (15.50) А=-О Второе слагаемое в правой части (15.50) обращается н нуль, если ~ [и] = 0 при н =- О, 1,..., т — 1. 444 1гл. !Ь импхльсныг системы Я(ех"т([п])= ~ег"гг[и]г "= ~~~[[и]еп — г>"г=-г' ( — ); г]=е"г (1553) «=0 «=0 Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид 7,(ахат([и+с])=Ы'.Р (" е), (15.54) 4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции г' [и] соответствует изображение Р(г).
Тогда можно показать, что 2 ((иТ) ~ [я]) =- ( — 1)'" ° „) ~, (15.55) Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид Я,((п+е) Т"1[п, еЦ == Я ( — 1)'С«,(еТ), ' ) / . (15.56) ~Р ~~РТ 5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50) Я (Л/ [п[) = Я(([и+11 — ([по --г [Г(г) — ~[ОП вЂ” Р(г) =(г — 1) г'(г) — ([01.
(15.57) Если й — целое число, то аналогичным образом Л (Л"~[и[) -=(г — 1)" г"'(г) — г ~' (г — 1)~ ' «Ь'([0], (15.58) «ха причем Л'( [0] .:.= 1 10]. Если решетчатая функция ~[п] равна нулю в первых й точках оси времени т. е. Т [0) =-([1] =.... =Т [й — 1] =-О, то формула (15.58) упрощается: Е (Ль([п]) =- (г —.1)з.р (г), (15.59) Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти 2 ((г1[пЦ = 2 (( [и] — ( 1п — 1О =-..
' Р(г) + г ~~ [ — 11. (15.60) При запаздывании на не целое число периодов т -г $ приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция / [и + е — т — $1, где т — целая, а $ — дробная часть запаздывания. Если смещение е удовлетворяет условию 0 е ( $ и г [и + е — гп — З] == 0 прн п + е ( т + $, то можно показать, что 2,(/1п + е — т — $]) =- г <'+'"' Р (г, 1 + е — $).
(15.51) Если $~е(1, то Я, (1 [п + е — т — Ц) == г-"' Г (г, е — $). (15.52) При использовании табл. 15.1 для нахождения иаображений следует вместо е подставить 1 —; е — $ нли е — $ в соответствии с формулами (15.51) и (15. 52) . 3. Теорема об умножении оригинала на экспон е н т у (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту ешг. Тогда из формулы (15.29) следует: $ 1$.2) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ мПРЕОБРАЗОВАНИЯ Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тоягдественно равна нулю, то формула (15.60) упрощается: 2(171 [пЦ = — Е(з).
(15.61) а[п] =. ~~ 1[т]. Составим первую прямую разность етой суммы Ла[п) — -а[п ]-1] — а[п) =-1[п[ и возьмем з-преобразование от правой и левой частей 2 (Оо [пЦ вЂ”.- 2 (1 [пЦ. На основании (15.59) имеем, далее, (з — 1) 2 (о ]пЦ = г" (з). Отсюда можно найти изображение неполной суммы 2(о [пЦ = —" Р (1] Распространяя эту зависимость на случай к-кратного можно записать 7. (а' [пЦ =- 1)Ь ' Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно обратную разность (15.64) суммирования (16.65) найти первую Коз[ [=аз[я] — а,]п — 1] ==1[п] .и ее изображение из (15.61) 2 (17а~ [пЦ .—.: —" 2 (о [пЦ = Р (з). Отсюда изображение полной суммы 2 (аз[пЦ =.
', р"(з). Для случая и-кратного суммирования 2(о,", [пЦ = ( — 1) г" (З). (15.66) (15.67) Для к-й обратной разности при 1[п] = — 0 для п~О 2(;г11[пЦ=- ( — ) г" (з). (15.62) Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной й-го порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т-~0 (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу: ( 1 ) =П ( 1 ) .=р"Т".
(15.65) К такому же пределу стремится множитель (з — 1)" в (15.59). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей. 6. И з о б р а ж е н и е с у и м. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12): гга. 15 446 импУльсные спстемьг Из приведенного рассмотрения вьгтекает справедливость равенства (15.68) Ло [и[ =- Чп, [гг[ =- ~ [и[. 2(7[2 т[) — Я [[). Т[з — ==к,(зг, Лт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
