Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 95
Текст из файла (страница 95)
14.3, в чожет трактоваться и как временнан характеристика обыкновенного аперноднческого звень второго порядка с уравнением (Т*р' + Г,р "- 1) х. = (Т»р + 1) (Г,р -; 1) х, = йх„(14.5) иричеч Т,, Тз и й мо кно вычислить из соотношений, записанных в % 4.5 длн данного звена, по некоторым замерам на эксперииентальной кривои или другими способами. Итак, с гочки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравноиием первого порядка с запаздывающнм аргул~ентом (14.2), часто мо»кет быть с такой;ке степеньн> приближения описано обыкновепныч днффере|щиальным уравнением второго порядка (14.5). Для решюшя вопроса о том, какое из этих уравнений лучшо подходит к дан- е 1ЕП уРАВнения линеиных систвм с ВАпАздыВАнием 417 или, в принятой ранее символической операторной записи, х,(7 — т) = ( 1+ —,~ +- 2,~ +...
+ ~ +... ~ х,=-е — 'Рх,. (14.6) 1' 2' ''' и Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания дляизображений функций (табл. 7.2). Таким образом, для авена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде ре' (р) — е-ер Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система содержит Х последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени сАТ = †.
Тогда результирующая пере- 7У ' даточная функция будет (14. 8) Если Л'-~. оо, то в пределе получаем ру'(р) = е Р'. Уже при ЛР =- 8 —: 10 передаточная функция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6). Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать в виде с',1(р) хз = и' (р) еерх1. Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет (14.9) (14.10) где через И'о(р) обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания. Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой Р =!'со: )У' (7ю) = И'о ()ю) е-1"' = Ао (оо) еФРо(о>-™7, (14,11) где Ао(оо) и фо (о1) — модУль и фаза частотной пеРедаточной фУнкции звена без запаздывания. Отсюда получаем следующее правило. Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного авена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке па угол тео, где оо — значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рнс.
14.4, а). 27 в е Весеперсппо, е и попов ному реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с аапаздыванием будет рассмотрено ниже.
В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) для элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его в ряд Тейлора, получим 418 системы с зАпАздыВАнием и РАспРеделенными пАРАметРАми (сс. 14 Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики са = О, а в конце юю = со, то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена г( меньше, чем многочлена ~1). Выгяе говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис.
14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (14.2), так и (14.5). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2) и (14.5) показаны на рис. 14.4, а и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку .0 пересечения с осью У. При сравнении обеих характеристик Рис. 14.4. йс (Р) И '(" = Е. (Р) ' йюс (Р) — та И'-(р)= О., е " (14.14) между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характер распределения отметок частот а1 вдоль нее.
Линейная система с запаздыванием. Пусть одноконтурная или много- контурная автоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звено с запаздыванием. Тогда уравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметь разные величины запаздывания (т,, тю...). Все выведенные в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются в силе и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (14.10).
Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, среди которых имеется два звена с запаздыванием т, и тз соответственно, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид И~ (р) = Руа(р) е-НРе-сж — И~а(р) е <и+сю>Р (14.12) где И'ю (р) — передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равная произведению передаточных функций включенных последовательно звеньев.
Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев безралично, будет ли все запаздывание сосредоточено в одном каком-нибудь звене нли разнесено по разным звеньям. Для многоконтурных цепей получатся более сложные соотношения. Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием т, то оно будет описываться уравнениями: Ос(Р)х.
*=Вс(р)(х* — хас) ) (14.13) (ссс (Р) х„= А(юс (Р) е-'Рх, . ) Предаточные функции авена и цепи обратной связи будут при этом з ыл1 уРАВнения линейных систем с зАНАздыванием 419 Согласно (5.59) результирующая передаточная функция звена вместе с обратной связью будет И ( ) и с(Р) ~с(Р) Осе(Р) (14 15) 1+и' (Р)до (Р) а(Р) 7..(Р)+яе(Р)ц:(Р) -" Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение звена в операторной форме П + И' (Р) И'.
(Р)) х. * = Рре (Р) хае (14.16) или, при подстановке (14Л4), Щр) Ч,с (р) + Ве(р)Нос(р)е си) х,„= Ве (р) ()ос (р) х,, (14Л7) Пусть, например, интегрирующее звено с замедлением, передаточная функция которого "с И е (Р) = Р (1+ ТР) ~ охватывается отрицательной обратной свяаью с передаточной функцией И'ое (р) = )соса 'и. Тогда результирующая передаточная функция авена с обратной свяаью в соответствии с (14Л5) будет И~(р) = ТР +Р+асаоае Частотная передаточная функция получается подстановкой в последнее выражение р=)ю: И' (уа) Теос+еео+ Мсаосе >се (оеаое сои еое — Теос)+! (ес ааааа зев осе) Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая этому выражению, приведена для иллюстрации на рис. 14.5.
Рис. 44.В. Рис. 14.5. Пример системы с аапаздываиием. Рассмотрим систему регулирования скорости двигателя (рис. 1Л6). Составим уравнения всех звеньев системы с учетом их инерционностей. Дополнительно к тому учтем еще запаздывание т в воздействии регулирующего органа на объект. Изобрааим зто введением в структурную схему данной системы дополнительного элемента запаздывания (рис.
14.6). Пусть объект яе имеет самовыравнивания и сиаб- 27о 420 системы с зАИАзДывАнием и РАспРеДеленными ИАРАметРАми [зз. 1ь жен регулятором с жесткой обратной связью (рис. 10.11). Уравнения такой системы РЛЫ = 111 Лх" — ~ (1), (Т,'р'+ Т р+1) Лу=йзЛьь, (Р+ йзУсь)ьь) Лх = — ЫььЛУ, (14.18) Лх* = е-'РЛх. Уравнение замкнутой системы Ах(р)Лез = Ль(р) 1(г), (14Л9) где В (Р) =(ТР'+ Тзр+1) (Р+ Йз)ььЬьь) Р+ йьйзйзйье ". Л (Р) = — (Т;Рь+ Т,Р+1) (Р+ йзйьйь). (14.20) Здесь Леь, Лу, Лх, Лх* — приращения скорости, перемещений золотника и регулирующего органа и управляющего воздействия; й„..., йь — коэффициенты, Тз и Ть †постоянн времени.
5 14.2. Уравнения линейных систем с распределенными параметрами Системой автоматического регулирования с распределенными параметрами называется такая система, среди уравнений которой кроме обыкновенных дифференциальных уравнении имеются уравнения в частных производных. Физически зто соответствует учету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волновых процессов в длинных электрических линиях при передаче по ним воздействий от одного звена системы автоматического регулирования к другому илн же при регулировании процессов в самих трубопроводах или длинных ливиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
