Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 90
Текст из файла (страница 90)
394 систкмы с пегвмьнными пхтлмктгзыи Если теперь на вход подать единичную импульсную функцию, которую можно представить как предел отношения 1(С вЂ” д) — 1 К вЂ” (дз- Лд1) б(1 — д) = 1пп ье о Ьд то процесс на выходе, т. е. функцию веса, в силу принципа суперпозицни моя~но представить в виде разности двух смещенных на Лд переходных функций с измененным в 1/Лд раз масштабом: Правая часть этого выражения представляет собой производную от переходной функции по аргументу д, взятую с обратным знаком.
Таким образом, для функции веса получаем (рис. 13.1, б) и~ (г — д, д) = и~ (т, д) =.- — — Ь (1 — д, д). д (13.3) Как следует из (13.3), функция веса является функцией двух переменных: времени д, соответствующего моменту поступления на вход системы единичного импульса, и текущего времени 8 (или т = г — д).
В связи с этим функцию веса можно изобразить в виде некоторой поверхности (рис. 13.2). а/ Рнс. 13.2. Эта поверхность переходит в плоскость 10д прн г «д. Границе перехода поверхности в плоскость соответствует биссектриса 8 = — д. Это обстоятельство объясняется тем, что в реальных системах реакция пе может появиться ранее прилоя1ения па входе системы импульса. Поэтому при г ~ д функция веса должна быть тождественно равна нулю. Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси г (рис, 13.2, а), дает весовую функцию для фиксированного момента приложения единичного импульса на входе системы (д = сопз1).
Эта функция называется нормальной весовой функцией системы с переменными параметрами: и (1 — д, д), д =сопз1. (13.4) Она является параметрической функцией, так как в нее входит фиксированный параметр д=сопзт. Нормальная весовая функция может быть сделана зависящей от аргумента т —.— 1 — д подстановкой 1 = д + т. В рвзультате получаем функцию ю (т, д), д = сопэг. (13.5) 305 ОснОВные понятия о 13.Ц Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси д, дает кривую, образованную ординатами семейства нормальных весовых функций для фиксированного значения времени 8 = сонат (рис.
13.2, б). Эта кривая может быть получена путем обработки семейства нормальных весовых функций, построенных для различных моментов приложения единичного входного импульса д (рис. 13.3). Получающуюся зависимость будем называть сопряженной функцией веса: и1 (1 — д, д), (13.6) 1 = сопзс. Она также 'является параметрической функцией, так как содерноит параметр г = сопз1. Сопряженная функция веса является функцией смещения д, но может быть представлена также как функция аргумента О = — 1 — д (рис.
13.2, б), а 1 г 3 + Рас. 13.3. называемого реверс-смещением, поскольку О отсчитывается от точки д — -- 1 в сторону, противоположную смещению д. Это осуществляется подстановкой в сопряженну1о весовую функцию значения д =- 1 — О при 1 = сопз$. Б результате получаем ю (О, 1 — О), 1 = сопз1. (13.7) Проиллюстрируем все сказанное примером. Пусть функция веса системы с переменными параметрами имеет внд е-а(1-О) и1(г — д, д) = ' Зафиксировав смещение н положив, например, д =- д, .— — сопзц получаем нормальну1о функцию веса: -а1 й(1 — д, д,) = еаао — ', или в другом виде, при переходе к аргументу т=1 — д: е ае и1(т до) =' до+ т' Зафиксировав текущее время и положив, например, 1=.
го = сопз1, получаем сопряженную функцию веса -а11 й(то — д, д) —.- — ' — е*о. 1о Перейдя к реверс-смещени1о О =-1 — д, имеем е и (О, 1о — О) .=— 1о 396 Мк. 13 СИСТЕМЫ С ПГРКМВННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Заметим, что в системах с постоянными'параметрами весовая функция является функцией только времени т:-=. г — д и пе зависит от момента приложения д входного нлшульса. Рельеф функции веса (рис. 13.2) в этом случае получается цилиндрическим, а оба рассмотренных выше сечения (рис.
13.2, а и б) совпадают по форме и отличаются только знаками аргументов. При переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двух функций веса— нормальной и сопряженной: и (с) =- ш (О). Пусть на систему (13 1) с функцией веса си (г — д, 6) действует входной сигнал 1 (1). Элементарнан реакция на выходе системы в произвольный момент времени 1 ~~ д будет с(х (Л) =- и (1 — 6, 6) Г (6) с(6. Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозиция элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от 0 до 1г с х(г) = ) и (г — д, 6) 1(6) сИ. (13.9) о Так как прн 6) г функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать в виде .(г)=1 (~-6,6)~(6) (13.10) о Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входной и выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т.
е. разрез рельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента д. Если использовать реверс-смещение О =- г — д, то интегральная связь (13.9) может быть представлена в виде интеграла свертки х(г) — -) ю(О, г — О) ~(г — О) с(0. (13.11) о Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависит только от времени (л — 6). В этом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки (7.44) ! с х (1) = ~ си (0) ~ (1 — О) асО = ~ си (т) 1 (с — т) от. о о 5 13.2.
Нахождение функции веса и построение переходных процессов Функция веса системы с переменпымн параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно по следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, и по ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как зто делалось для систем с постоянными парамотрами (з 8,4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристиссу быстродействия, и склонность системы к колебаниям. Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе систелсы регулирования при заданных входных воздействиях, пе производя при этом кансдый раз полного решения исходного уравнения (13.1).
В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса. 397 з )з.з) нАхождвнин Функции ввсА — + Р (Г) х — ч) (8), Это уравнение имеет аналитическое решение х(г) =.-е-зк)() ()(г) евп) й+С$, где (13.12) (13,13) Я (() = ) РИ й, а С вЂ” постоянная интегрирования. Пусть, например, имеется уравнение г а +а)х — — Лг). Определим для пего семейство переходных характеристик а(à — 6, ())= = Ь(т, 6). Для единичной ступенчатой функции при 6~0 уравнение (13.14) можно записать в следующем виде: г —, + а,х = 1 (1 — 6).
Ыз Приведем его к виду (13.12): ее а) 1 () — О) —,+ —,х= М Далее получаем: Р(() = — ', Я (() = ~ Р (г) й = ~ — ' й = и,1п (, ез~)) гю е-ям) (-ж 0(() ==, ( () — ()) д(8)езы) й = ) е) На основании формулы (13.13) получаем Г)ж 4 ( С Ь(( — б, ())=(- ~ — +Сл(= + )" Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачу нахождения функции веса в численном виде. Только для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поатому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описывается уравнением не выше второго порядка.
Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрами относится к так называемым квазнстационарным системам, или системам, параметры которых меня)отея сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса. Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приблин<евно можно свести к дифференцальному уравнению первого порядка 398 системы с пеРеменными пАРАметРАми (га.
13 При нулевых начальных условиях (для С.— "д) должно быть Ь(0, д)=0, Отсюда определяется постоянная интегрирования бас С =- — —. ас Окончательно получаем З да~-1 ис (С вЂ” д, д) = — — Ь (С вЂ” д, д) =— де ' С«1 или в ином виде: да«-1 ис(т, д)=— (дч т) ' ! Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общего решения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу с',) (С) = б (С вЂ” д). Проделав необходимые выкладки, получаем иу(С вЂ” д, д) = е-л(с о), (13.15) где Л(С, д)= ) Р(С)с(С. о Распространим зтот результат на более общий случай записи дифференциального уравнения в виде а, (С) — + а, (С) л =- Ьо (С) / (С) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
