Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Поэтому уравнение Беллмана можно записать в другом виде: 1. Я+~.1. (»),. (»)1~ =-О. (12.174) 5 12ЛО. Аналитическое конструирование регуляторов Так называемая задача аналитического конструирования регуляторов была сформулирована и решена А. М. Летовым 1771. Зта задача раавивалась также в работах А. А. Красовского (601 и Н. Н. Красовского',162, 631. Скалярное управление, Пусть имеется стационарный объект, уравнения которого для фазовых координат, записанные в матричной форме, имеют вид х =Ах+Си.
(12Л 75) Здесь х = 11х111„>„— матрнца-столбец фазовых координат, А = 11 аы 11 „„„— квадратная матрица коэффициентов, С = 11 с! 11 „„1 — матрица-столбец коэффициентов, и — скаляр. Требуется определить оптимальное управление и = и (х„..., х,), минимизирующее функционал качества ю и 1 = ~ ( ~~~ Ь;х',+аио) !»» = ~ »' !»» (12.176) О 1=1 о (Ь,>0, 1=-1, ..., и, а>0).
Требование непрерывной дифферендируемости функции 1ф (», х) является весьма жестким и во многих задачах не выполняется. В. Г. Болтянский показал Н81, что можно ослабить требования к функции 1ф (», х). В ней допускаются разрывы частных производных на некотором множестве точек.
Заметим, что если функции»о и»! Не зависят явно от времени, то решение уравнения (12Л74) — функция 1ф и оптимальное управление и, которое реалиаует минимум в (12Л74), тоже не зависит явно от времени, т. е. ф = =- оф (х) и и = и (х), однако в общем случае 1ф (», х) и и = и (», х). Аналитическое нахождение функции 1ф в явной форме удается только в некоторых частных случаях. Один из таких случаев рассмотрен в следующем параграфе.
Задача управления заключается в переводе системы из начального состояния х! =- а! (! = 1... „и) при г = 0 в конечное х! —— 0 при ! -~- оо. Из формулировки задачи следует, что система должна быть при этом асимптотически устойчива. В рассматриваемом случае уравнение Беллмана (12.172) имеет вид и и и — — ь*!.!- ~=0. д2.~11! 1=1 ~у=! l Оказывается, что функция !р, входящая в (12 177), является функцией Ляпунова, а функция у' в функционале (12.176) — ее полной производной, т.
е. — = — р д!д щ чем решается вопрос об устойчивости сиптезируемой системы (см. ниже $ 17.2). Так как на управление и ограничения не накладываются и а)0, то минимум в (12.177) достигается в точке, где обращается в нуль производная по и, т. е. при ! ч! д!д йа .2~ ' дл! ' 1=1 (12.178) Подставим зто значение в (12.177). В результате имеем и и и и 2 — „+~ —,.
„'Я ы*д+.'Я ьд — —,„~~ —,. ° =О. ,=, " ;=1 1=1 1=1 (12.179) Это — нелинейное уравнение в частных производных относительно функции 1Р. Будем искать решение етого уравнения в виде квадратичной формы от фазовых координат: !р=. ~~ 'Я уь„хлх„=-х'Гх. А-! =-.! (12.180) Здесь Г = 9 у„„(! „— квадратная матрица коэффициентов, удовлетворяющая критерию Сильвестра 7М~О; уп 7" ~0,..., ..... ~0, ун ' '7!и уи!'"'Уии причем матрица может быть принята симметричной, т. е. 7А,=иу„л. Функция (12.180) удовлетворяет граничному условию, так как при х,=О (! =- =.-1,..., и) имеем 1р=О. Дифференцируя (12.180), имеем д!д д!д — == О, — =- 2 ,")'„у!Ахл.
Щ ' дл! А=-! Подставляя полученные выражения в (12 179), приходим к уравнению вида и и и и , и и т2 ,~~~~ ~~,Я~ 7!ла!!хлх1+ ~~~~ Ь!х! — — ~,~ ~~!' с!7!Ах!) == О. (12,182) 1--1 1=12=1 390 методы синтезА систем АВтомАтическОГО РеГулиРОВАния !гл. 12 391 АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ 1 12.10) В левой части (12Л82) находится квадратичная форма переменных х„..., х„. Она будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффициентов: и и и 1 ~Ч' (7(дам+умаги) — — ~~ с(у;д Я с(71)=0 (у~й), 1=1 1=1 1=! и и 3 1 У' 2'~~'уыаы+Ьд — — '~~~~ с(уы =0 (у=й) 1=1 (=1 (12Л83) (у, й=1,..., и).
В результате получена система из 0,5и(и+1) алгебраических уравнений, содержащих такое же количество неизвестных ум (при учете равенства коэффиЦиентов уы = 7»1). После нахождения неизвестных коэффициентов уы из (12.178) можно определить оптимальное управление и= — — ~' с — = — — ~~' (1»хд ии д((! 2а ( ' д»Ч а > 1=1 д=! (12Л84) а(д=~ с ум 1=! Аналогичный результат может быть получен при использовании классических методов вариационного исчисления (т 12.8).
Решение обратной задачи. В полученных формулах для оптимального управления конструктору необходимо формировать управление в функции всех фазовых координат, так как в (12Л84) все коэффициенты (1» Ф О. Если конструктор может использовать ограниченное число фазовых координат, то часть коэффициентов (1» в (12.184) должна быть тождественно равна нулю.
В этом случае для формирования оптимального управления можно воспользоваться решением обратной задачи и отыскать допустимую форму функционала качества при неполном управлении. Для этого функционал качества (12.176) представим в измененном виде» т и (= х,= ) (~ дс.( ')м, (, -'(, (~ (,..., (. ((2.(»5( о Минимизация функционала Х1 вместо 1 не меняет задачи. Будем считать отличные от нуля коэффициенты (1» иавестными числами, а коэффицие!Ггы У( — неизвестными. Тогда совокупность уравнений (12.183) может быть представлена в виде (у чь й) Я (7!»а!у+ унаы) = суда» 1=! (12.186) (у=й) 2 ~~ умам+ уд =()д 1=1 (у, й = 1,..., и).
Эта система содержит 0,5и (и+ 1) неизвестных коэффициентов ум и и неизвестных коэффициентов функционала 1,. Добавляя к уравнениям (12.186) 392 МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТКМ АВТОМАТИЧКСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 1!А. 12 п уравнений из (12.184) ,~~ с!71» = и», (12.187) 1=! получим систему уравнений, которая в принципе может быть разрешена относительно искомых неизвестных. Если система уравнений (12Л86) и (12.187) имеет решение, при котором коэффициенты ум удовлетворяют критерию Сильвестра (12Л81), а коэффициенты функционала 1» )О, то задача аналитического конструирования при заданном неполном управлении имеет смысл.
Так как коэффициенты функционала получаются в виде 11, —— 1» (Н1,... ..., !1„), то найденный ответ дает и решение прямой задачи. Варьируя коэффициенты управления»(» в пределах, допускаемых условиями Сильвестра и условиями 1» )~ О, можно выбрать подходящий критерий качества и оптимальное управление. Методика обратного решения аналитического конструирования может оказаться полезной и при возможности использования полного управления (в функции всех фазовых координат), Это объясняется тем. что система уравнений (12.186) и (12.187) оказывается линейной относительно коэффициентов у,» н (» и решается проще, чем система уравнений (12.183), которая нелинейна относительно искомых коэффициентов 7,».
Векторное управление. В работах В. И. Зубова [46) рассматривается более общая задача, когда дан нестационарный объект, описываемый матричным уравнением х = А (!) х + С (!) и, (12Л88) где А (~) и С (г) — квадратные матрицы коэффициентов п х п, а х и и — матрицы-столбцы фазовых координат и управлений.
Вводится квадратичный функционал вида 1= ') (х'Вх+ и'Еи) д~, о (12.189) где В = Ц Ь,» Ц„~„и Е = Ц е,» Ц„х„— заданные квадратные матрицы, а х'Вх и иРЕи — положительно определенные квадратичные формы. решение задачи сводится к линейному управлению вида и = — )Ах = — Е »С 'Гх. (12Л90) Матрица Г определяется решением нелинейного матричного уравнения Г = А'Г + ГА + ГСЕ-'С'à — В. (12Л91) Для стационарных объектов матрицы А и С не зависят от времени и уравнение (12.191) принимает вид А'Г + ГА + ГСЕ 'С'à — Е =- О. (12Л!32) В большинстве случаев результаты, полученные при аналитическом конструировании регуляторов, не могут быть реализованы точно вследствие необходимости использовать для управления все фазовые координаты. Поэтому приходится говорить лишь о приближенной реализации полученных условий оптимальности.
Другие подходы к проблеме аналитического конструирования регуляторов содеря!атся в работах (46, 60, 62, 77, 133). РАЗДЕЛ 1П ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ГЛАВА 13 СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ $13.1. Основные понятия Линейными системами с переменными параметрами называются системы, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями с переменнычи во времени коэффициентами: ~их хх а, (г) — „, -$- ° ° 1-а„, (1) —,+а„(1) х= ==Ьо Р) д, '--,- +Ь., (г) "д'," -~-Ь.
(~)У(~). (13.1) Коэффициенты аю ..., а„и Ь„..., Ь являются функциями времени, которые задаются либо графиками, построенными на основании эксперимента, либо аналитически. Перемонные коэффициенты в уравнении системы автоматического регулирования (13.1) возникают вследствие наличия переменных коэффициентов хотя бы в одном звене системы. Так, например, у подвижного объекта (корабля, самолета, ракеты) с течением времени вследствие выгорания топлива происходит изменение массы и моментов инерции. Если объект при своем дан>кении меняет х скорость и высоту, то возможно изменение его аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим переходную функцию и функцию веса системы с переменными параметрами.
Так как коэффициенты уравнения (13.1) меняются с течением времени, то эти функции будут зависеть от момента прилох<ения единичного скачка или единичного импульса на входе. Па рис. 13.1, а иаображен ф график изменения одного из коаффициентов уравнения (13.1) н переходная функция й (г — д, д) = Ь (т, б), (13.2) Рнс. 133 где г — текущее время, отсчитываемое от некоторого момента, соответствующего, например, включению системы регулирования илн началу изменения переменных параметров; 6 — время, соответствузощее поступлению на вход единичной ступенчатой функции; т — текущее время, отсчитываемое от момента приложения ступенчатой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
