Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 91
Текст из файла (страница 91)
(13.16) Приведем его к виду (13.12): — + — х= — ~(1). «Сх а1 (с) Ьо (с) ас ао О) ао [с) (13 17) Полол'ив ) (С) = 8(С вЂ” д), получим для функции веса решение в виде ю(С д д) Ьо(д) е-л(с,о) (13.18) где С Л(С, д) = ( а' ) ссс. ао(0 Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13,14). Приведем его к виду (13.17): — + — л = — 1(С).
ах «1 1 с(С С С Обратившись к формуле (13.18), находим сс(С, д) = ~ —,' сс(=а, 1п— Дифференцируя последнее выражение по д, можно получить функцию веса: НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЕСА $ 13.2) и функцию веса -ас )а — д с е й(С вЂ” д, д)= — е е;.=— яс что совпадает с полученным ранее выражением. дифференциальное уравнение второго порядка. рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение «3.1) сводится к уравнению второго порядка + Р (с) ~, + с;с(с) х ) (1). При помощи подстановки с — ) Р(С>ЕС 1 2 х (с) = и (с) е (13.19) «3.26) это уравнение приводится к виду 1 — +К(с) и =г(с)е з =я(). «3.21) Здесь введено обозначение Р(с) =~(с) —— 1 ЕР(с) Р (с) 2 е'с 4 «3.22) ~ Р (С) еи и)(С вЂ” д, д)=г(С вЂ” д, д)е з «3.23) Если же положить Гс(С)=б(С вЂ” д), то для уравнения «3.21) будет получена весовая функция г(с — д, д), которая на основании «3.9) связана с решением з(с — д, д) зависимостью с — ) Р(е)са с г(С вЂ” д, д)= ~ г(С вЂ” и, и)е е б(и — д)с(и.
о Эта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представлена в виде е — ') Р(Е> г(с — д, д) = г(с — д, д) е «3.24) В результате из «3.23) и (13.24) получаем с — ) Р(С) ЕС 1 й(с — д, д) =г(с — д, д) е (13.25) Таким образом, для отыскания функции веса се(с — д, д) необходимо предварительно решить уравнение (13.21), которое приобретает внд '„',", +Р(с) =б(с-д), «3.26) При действии единичного импульса Г' (с) = б (с — д) для уравнения «3.21) получится решение и=-з(с — д, д), которое связано с весовой функцией и) (С вЂ” д, д) исходного уравнения «3.19) на основании формулы «3.20) соотношением СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ~гл.
13 с нулевыми начальными условиями: и (г) = 0 н и (г) = 0 при г = О. Полученную при решении весовую функцию и = г (г — д, д) необходимо затем подставить в (13.25) н найти 1Р (г — д, 0). Решение уравнения (13.26) может быть произведено при помощи использования функций Бесселя П18).
Для этого функция рг (~) должна быть аппроксимирована отрезками прямых линий, уравнение которых сводится к виду а1 + Ь1ф. Однако это решение является сравнительно сложным. Ограничимся рассмотрением так называемого аппроксимирующего решения, которое может применяться, если функция Р (г) мало изменяется относительно своего среднего большого значения Р,р (рис. 13.4). Это решение называется ап~ср проксимацией Бриллуина — Вентцеля— Крамера (1181.
Рассмотрим однородное дифференци- альное уравнение Ркс. 13.4. — + Р (г) и = О. (13.27) Фи Предполон<им теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнения второго порядка получено частное решение и (8) ---=е-1вчн 1 (13.28) где (13.29) Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ре1пенне (13.28). Продифференцировав его дважды и исключив промежуточные переменные, получаем (13.30) Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решением уравнения (13.27), если выполняется тождество з(л')з т л (13.31) Решение уравнения (13.31) и отыскание функции У(с) является сложной задачей вследствие наличия нелипейностей в (13.31).
Однако может быть найдено приближенное решение (13.31) в виде ряда, если удовлетворяются неравенства ~ —,, ~ <е, ~ —,~<е', е((1. Тогда ре1пение (13.21) можно представить в виде (13.32) 'У= лс+Л'1+111+ ° ° осси) 4О1 нАхождение1Функцни ВесА Подставляя этот ряд в (13.31), получаем формулы для определения членов ряда: су, »: —.- [с Р (с), 2а, ас о [~~~о)с 1 А> (13.33) (13.3» (13.39) которое получается из (13.31) и (13.34). Метод паследовательных приближений. Рассмотрим уравнение (13.1)1 дан аО(С) 1„-1- г ЯН (С)Х=-(Са(С),» +...
+(С~(С)1. Ограничиваясь случаем квазнстациопарных систем и полагая, что коэффициенты а,(с) меняются медленно, найдем функцию веса для этого уравнения. Переменные коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде суммы постоянной и изменяющейся частей: а, (с) == а', -',— а", = а, (д) + а', (с — д), (13.410) 26 Э. А. Бесенерснна, Г. П.
Попса Часто можно ограничиться только первым членом ряда (13.22), что будет справедливым, если функция г" (С) изменяется медленно, оставансь в среднем большой (рнс. 13.4). Тогда л (с) = [Гр (с). (13.34) При выполнении условия Р(с)) О в качестве второго частного реше- ния можно взять комплексно-сопряженную величину (13.29) ис (С) = = — е)а(11 1 (13.35) Тогда мол во показать, что решение уравнения (13.26) будет г (С вЂ” д д) — ис (с) "а(д) — ~с (д) ис(с) ис (с) и,(Е) — 1(д) иа (с) (13 36) ис (Е) иа(С)) — ис(д) иа(д) г ! или, после подстановки (13.28) и (13.35), с'(С вЂ” д, д) — —, 1 з1в [Я(С) — Ю(д)[. [ д(с)А'(д) В предельном случае постоянства параметров Р(С) =И=сове(. Тогда 5(с)=1сс и Я(д)=-йд.
В результате иэ формулы (13.37) можно получить функцию веса консервативного звена г (С вЂ” д, д) =- — е )в 1с (С вЂ” д) =- — Мв Пт. 1 1 9 С(ля исходного дифференциального уравнения (13.19) на основании (13.25) и (13.37) получаем искомусо функцию веса 1 — сн си и (с — д, д)-..—, е е з1п [Я(с)-Я(д)[. (13.38) ', 'Г (с) С (д) Критерием медленности изменения функции Р (с) и, следовательно, прнхсеннмости полученного выражения может служить неравенство 402 блс 1з систкмы с пеРеменнымп ПАРАмнтРАмн где а', =- а; (д) — переменный коэффициент, зафиксированный для момента приложения входной величины 1=6. Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде (13.41) а,— „„, +ш — „,„, +... —,'-щ~=~,(~) — у(г), где ~,(г) =б,(г) — ",,„~+... +б„(г) 1, (13.42) (13.43) Поскольку мы предположили, что коэффициенты а; (г) меняются медленно, то функция у (1) мала по сравнению с левой частью (13.41).
Зту функцию можно рассматривать как возмущенно, и тогда к уравнению (13.41) можно применить метод последовательных приближений. В уравнении (13.41) можно перейтн к изображениям по Лапласу. Тогда получим Х (р) = Ф (р) Р, (р) — Ф (р) У (р). (13.44) Здесь введено обозначение Решение уравнения (13.41) или (13.44) можно записать в виде ряда Х(г) =Х1+Хз, Хз+ (13.46) Для получения первого приближения х, зафиксируем переменные коэффициенты а; (Г) =- а; (О).
Тогда первое приближение может быть найдено как решение дифференциального уравнения (13.47) Решение этого уравнения можно получить, используя обычные методы (см. главу 7), в том числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) прн У (р) =. 0: Х, (р) =- Ф (Р) ро (Р). (13.48) Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляется первое приближение х =- х„а в левую часть — х =. х, + х,. Тогда получается уравнение с фиксированными коэффициентами для определения поправки: "'х, г аз — '"' +... +апхз"=- — ( а$ ' —,'-...
+а~х,~. (13 40) ш"' ''' ~ ш'~ Это уравнение также может быть решено с использованием преооразования Лапласа посредством нахождения оригинала изображения Хг (Р) — Ф (Р) ) 1 (Р) где У, (р) — изображение у (г) при подстановке в формулу (13.43) х -= х,. Повторяя этот процесс многократно, можно найти рекуррентное соотношение длн определении й-го члена ряда (13.46): аэ —,„— +... + а„хз '=- — ( аз — а,-,—,= -,'-... + а„хь- ~~~ ° (1:.ъ.о0) Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты а; (1). Рассмотренный метод может использоваться как для нахожде- 4О3 НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ВЕСА с сзл) ния функции веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известном воздействии ~ (С).
Численно-графический метод. Численно-графический метод Д. ст. Башкирова [98) разработан также применительно к системам с переменными во времени параметрами, причем можно вводить любое переменное воамущающее или задающее воздействие и произвольные начальные условия. Неоднородные уравнения первого порядка с и е р е м е н н ы и и к о э ф ф и ц и е н т а м и. Пусть требуется построить решение уравнения ао (С) х + а, (С) х = )с (С) с начальным условием х =- хо при С = О. Разделив его на а, (С), приведем уравнение к виду Т (С) я+ х = 1 (С), (13.51) где Т(С) == — —, аа (С) ас (с) ' Уравнение (13.51) можно решать графически, если считать Т постоян- ным и равным Т (С+ — у внутри каждого интервала времени (С, С+ схС), ССС~ з! но различным для разных интервалов.
Формула для решения в этом случае будет С (С + — ) — а(С) Ф ао (С) х + а, (С) х + а, (С) х =- ~с (С), которое моясно записать также в виде Тс (С) Тс(С) х+ Тс(С)х+х =) (С), (13.52) Т. (С) =- — - . ) (С) = ас (с) 1» (О аа (С) ас (С) Т, (С):= —, ао (С) ас (С) а процесс построения сводится к следующему. Наносим заданные кривые С (С) и Т(С) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
