Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 92
Текст из файла (страница 92)
13.5). Из точки Е кривой ~ (С), взятой в середине первого интервала 5(, отклады- СВИСС заем по горизонтали отрезок ЕМ = Т с — ) 12) величина которого берется равной ординате точки Н заданной кривой Т (С), т. е. тоже в середине первого интервала ЛС. Полученная точка М соединяется прямой линией Ряс. 13.5. с заданной начальной точкой процесса Л. В результате получается новая точка хс искомой кривой х (С).
Затем аналогично берется ордината точки 1, откладывается в виде отрезка Есс( и проводится прямая ЖВ, дающая новую точку С решения х (С), и т. д. Неоднородные уравяения второго порядка с и е р е и е н н ы м и к о э ф ф н ц н е н т а и и. Требуется построить решение уравнения 404 СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ )гл. 1з с начальными условиями х =-.
хз, х = — хз при г = О. Если в правой части (13.52) имеется операторное выражение, то предварительно производим вычисление правой части и сводим ее к ( (з). Если обозначить х, = — Т, (() х, то уравнение (13.52) разобьется на два: Т,(Г) х +х, = 7 (() — ф((), Тз(8) х= х,, (13.53) где ф(1) =х — Тз(г) х, Тз(г) =.Тз(г) а начальные условия будут (13.54) х = хз, х, .= х„= Тз (0) хз прн г = О. Формулы для решения уравнений (13,53) согласно [64, 78] будут лз лз ~ (' ~ ) (' ~ Р ) '<9 1 Т (з+ — )+— ал л, (з+ аз) гз (з-)-аз) ' (13.55) где ф(+ 2) (+2) з( 2) б) х, причем во второй из формул (13.55) значения Ьх берутся со сдвигом на Ь1/2 вправо по сравнению с Ьх,. Отсюда вытекает следующее построеа ние.
Наносим ааданные кривые Т, (г) и Тз (1), а также кривую Тз(1), ординаты которой определяются по второй из формул (13.54). Они показаны на графике (рис. 13.6, а). ~ ~На другом графике наносим заданное 7' (~) (рис. 13.6, б). На основании заданных начальных условий (см. выше) наносим на последнем графине точки хз, х,з и в середине первого интервала Ь( (как в $ 7.6) еще точку А с ординатой (7.76), т. е.
аз би х ( — ) — хз+ — х,, Из точки Е, в середине первого интервала Ьг на кривой Д~) откладь|- ваем вниз отрезок 'с', Ез = ф ( — ) = х ( —,) — 7 з ( — ) хз (вниз, когда он положителен, и вверх, когда он отрицателен). При этом 2Лзз величина х ( — ) берется как ордината уже имеющейся точки А, величина (2) Лзз Тз( — ) берется из графика Т, ((), а величина хз — из заданных начальных 405 з гз.з] пвэвдАточныв Функции условий. Из полученной точки Е, откладываем горизонтальный отрезок ЕгМ.=Т, ( ~ ), размер которого берется из графика Т, (г).
Точку М соединяем прямой линией с точкой хцо что дает новую точку Н, кривой х, (г) при г' = Лг. Из точки Н, откладываем вниз отрезок Н,Н, .х( ~'), равный ординате точки А. Из точки Нг проводим гориаонтальный отреаок НгК =- Тг (Лз) размер которого берется из графика Тг (г).
Точку К соединяем с точкой А, что дает новую точку В искомой кривой х (г) в середине второго интервала Лг. Опишем еще второй шаг интегрирования. Из точки Р, кривой 1 (З) в середине второго интервала Лг откладывается вниз отрезок Р,Рг=-Ч>(ЛГ+ ~ ) = — х — Т (Лг+ — о — ) геао аг Лг где хз — ордината точки В, полученной выше; 1дгг, — тангенс угла наклона прямой КА, проведенной ранее (он дает требуемое значение х). Откладываем отрезок РгХ-.:= Т, (Лг+ — ) и проводим прямую ХН„получая при этом новую точку 1, кривой х, (г). Иа точки 1, откладываем вниз 1г1г =- хз, а затем вправо 1гЬ = — Тг (2ЛЗ), после чего проводим прямую ЕВ. Это дает новую точку С искомой кривой х (г) и т. д.
Псе описанные построения можно заменить числовыми расчетами. и 13.3. Передаточные функции Связь между входной и выходной величинами в системе с переменными' параметрами определяется интегральной аависимостью (43.9): г х(г)= 1 ш(з — 6, 6)1(6) И. о Предполоязвм, что к входному сигналу ((О можно применить преобразование Фурье (7А5). Тогда его можно представить в виде (7А6): + 1(г)--- —, ( Р(Во) ег"'йо. 2я Объединяя записанные выше две формулы, получаем (13.56) 406 «гл. 13 СИСТЕМЫ С ПКРЕМКННЫМИ ПАРАМКТРАМИ Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным — со. Это отражает тот факт, что входное воздействие может начаться в любой момент времени при « -' О, в том числе и при « — — оо.
Меняя в (13.56) порядок интегрирования и умножая правую часть на е) ' е ) '=- 1, получаем +ю л х(«) =- —, ) Р(уо))е«"'Йо ~ )Р(« — О, 0)е — «эп-о) Ю= $ зл Ф + — — ~ И'(ую, «) Р(ую) е«щ йо. (13.57) Здесь введена частотная передаточная функция системы с переменными параметрами И)(уо) «) ~ и,(«0 0) е-)вы-о) г(0 (13.58) Ее можно представить также в следующем виде: х(«)=- ~ ~ И (Р «)Р(Р)е" йр, (13.61) где параметрическая передаточная функция И'(Р, «) =- ~ и (« — д, О)е — Рк — ю«(О=- ) й(0, « — О)е Ро «(О. (13.62) — Ю о Отыскание параметрической передаточной функции. Использование интегральной связи (13.62) для нахождения параметрической передаточной функции является нерациональным, так как требует знания функции веса, что усложняет задачу.
Более удобно находить параметрическую передаточную функцию непосредственно из исходного дифференциального уравнения (13.1). Положим в нем у' («) = б (« — О). Тогда решение этого уравнения будет соответствовать функции веса )Р=)Р (« — О, О). Подставим эти значения И (у, «) =-~ю(0, «-О) -'. а, (13.59) о где О =- « — 0 — реверс-смещение, а )Р (О, « — О) — сопряженная функция веса (13.7).
Величина, находя)цаяся в правой части (13.57) под знаком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времени х («), Поэтому вместо (13,57) мо)кно записать Х (ую, «) -- И'(Ую, «) Р (уто). (13.60) Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с переменными параметрами можно представить как изображение Фурье входяой величины, умноженное на частотную передаточную функцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключается в том, что выражение (13.60) записано для некоторого фиксированного момента времени «:: — совал.
В связи с этим в частотную передаточную функцию И' (уо), «) входит параметр «, вследствие чего она называется яарамеллричеекой частотной передаточной функцией. Переходя в формуле (13.57) к преобразованию Лапласа, получим 407 пегедАточные Функции (13.70) (13.71) А (р, «) И'(р, «) = В(р, «)+ Л'(И'(р, «)), Будем искать решение в виде ряда И'(р, «) И'е (Р, «) + И'~ (Р, «) + Первое приближение мол«но получить, положив Х = 0 в (13.70): ' в (р, 0 з (Р1 ) «(р с) (13.72) (13.73) в (13.1): ~а„(«) —,„+... +а„(«)1 и(« — д, д) =- = ~Ь„(«) — „',„+... + Ь„(«)1 Ь (« — 6). (13.63) Умножим левую и правую части (13.63) на ег~ и проинтегрируем по 6 в пределах от — оо до «: с с ае(«) — ес„( ~ ас(« — 6, 6)егес«61+...
+а„(«) ~ ~ се(« — 6, 6)езос]0~ = =- [Ь («) р [-... + Ь («)] ер'. (13.64) На основании (13.62) величины, находящиеся в квадратных скобках, мо,кно представить в следующем виде: ас(« — д, О) егес«6 = И (р, «) ег'. В результате вместо (13.64) можно записать а,(«) — „, [И'(р, «)егс]+ -]-аз(«)!И'(р «)е"]= = [Ьо(«)р + . +Ь («)] езс (13 65) Продифференцнровав леву«о часть и сократив на ер', получим А(р, «)И'(р, «)-с- — „' — „, +...+ —,— „„—,„=В(р, «).
(13.66) аЛ с«Ш 1 аоА Ной' .Здесь введены обозначения: А(р «)=аз («) р" +. +а («) В(р «) = Ь, «) р-+... + Ь„(«). (13.67) Таким образом, параметрическая передаточная функция может быть полу сена в результате решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (13.66).
Заметим, что в системах с постоянными параметрами передаточная функция не зависит от времени и уравнение (13.66) приобретает вид А (Р) И' (Р) =- В (р). (13.68) Передаточная функция в случае постоянства параметров будет (13.69) В случае переменных параметров уравнение (13.66) может быть решено методом последовательных приближений [118]. Для этого представим его в виде 408 СИСТЕМЫ С ПБРЕМЕННЫМН ПАРАМЕТРАМП [ьс !3 Это будет передаточная функция системы с «замороженными» коэффициентами.
Для вычисления первой поправки )Р! (р, !) подставим полученное из (13.73) первое приближение в правую часть (13.70). Тогда получим для первой поправки л (и',(р, сП ! (Р Формула для й-й поправки будет иметь внд !У(ц),(, 0) (13.74) (13.7,!) Х (Р, г) — - И'(р, !) р' (Р). (13.76> Это дает возможность находить переходные процессы в системе с переменнылги параметрами посредством использования преобразования Лапласа (или Карсена — Хевисайда). Для этой цели по формуле (13.76) отыскивается изображение выходной величины, а затем делается переход к оригиналу х (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
