Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Для этой цели могут использоваться существу!ощне таолицы изображений Лапласа функций времени. Так, например, пусть изображение выходной величины равно Х (Р, () = И' (Р, !) г" (Р) —.— Полаган в этом выражении время ! фиксированным параметром, по таблице (см., например, табл. 7.2) находим х(() ==,, (1 — е-!"""-"). а Мс- е!з Коли изобрангение представляет собой сложную дробно-рациональную функцию, то можно использовать теорему разложения (см. з 7 1).
При отсутствии нулевых корней знаменателя изображения Х (Р) —. —.—— Х! (р) д; (р) аналогично формуле (7.37) получаем (13.77) 'Р - ~~ '(Р" ) е'А А,.! ~ — Х! (Р, !) 1 При наличии одного нулевого корня знаменателя изображения Х(Р, «)-:= рх,(р, 0 (13.78) (13.79) Таким образом, последующий член ряда (13.72) получается посредством дифференцирования предыдущего члена в соответствии с (13.71) и подстановки его в (13.75). Ряд (13.72) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты исходного дифференциального уравнения (13Л).
По найденной функции И'(р, !) может быть получена параметрическая частотная передаточная функция И' (Ую, !) подстановкой р — !ы. Использование параметрических передаточных функций. В соответствии с формулой (13.61) изображение Лапласа выходной величины системы с переменными параметрами можно найти как произведение изображения воздействия на параметрическую передаточную функцию: 400 у 1з.М УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ аналогично формуле (7.39) получаем х (г)- —. ~ — ' ' рю ) е~"~ (13.80) '--' г (о) А 1рз[ — х,(р,б[ Б формулах (13.78) и (13.80) корни знаменателя предполагаются некратными. Для построения переходного процесса может также использоваться вещественная частотная характеристика (см.
$ 7.5). Для общего случая воздействия произвольной формы из (13.57), аналогично проделанному в $7.5, можно получить расчетную формулу, являющуюся обобщением формулы (7.52): 2 Г Рч(в, 0ыпвг ав, (13.81) где Рг (в, 1) — вещественная часть частотного изображения искомой функции х (0, полученного подстановкой в преобразование Карсена — Хевнсайда Р =!в. Б частном случае, когда входное воздействие представляет собой единичную ступенчатую функцию, из (13.57), аналогично проделанному в $7.5 получается расчетная формула, яв- ляющаяся обобщением формулы(7.53) для переходной функции рассматриваемой динамической системы: Р (в, 0 з)в вй (13.82) где р (в, Г) — вещественная часть параметрической частотной переда- 6 ~г ~+ ~ю ~в 4 13.4.
Устойчивость и качество регулирования Для систем с переменными параметрами понятие устойчивости имеет некоторую специфику. Если система работает ограниченный интервал времени, то понятие асимптотической устойчивости (см. $ 0.1) практически теряет свой смысл. Однако длн квазистационарных систем при сравнительно медленном изменении коэффициентов уравнения (13.1) представляется возможным сформулировать понятие устойчивости следующим образом.
Будем считать систему с переменными параметрамн устойчивой на заданном интервале времени Т, если ее нормальная функция веса (13.4) или (13.5) точной функции (13.58). Построение переходного процесса проводится, аналогично изложенному в 4 7.5, по й-функциям. Разница будет заключаться в том, что построение переходного процесса будет справедливым только для того момента времени à —.— сопз1, который вошел в качестве параметра в параметрическую передаточную функцию. Поэтому необходимо построить серию кривых (рис.
13.7) для различных фиксированных моментов времени Гв Гв гз и т. д., а затем через точки, соответствующие этим значениям времени, провести плавную кривую. Указанное обстоятельство значительно увеличивает объем вычислительной работы по сравпекию с построением кривой переходного процесса в системе с постоянными параметрами.
систгмы с неРеменными нАРАметРАмп ьо 13 затухает во времони для всех фиксированных значений О, лежащих внутри этого интервала. Это условие можно записать следующим образом: Т1=- ) /и1(С вЂ” д, д)(о(Г= ~ /и1(т, д)/1(т(оо, О~д с Т. (13.83) е о Если для системы получена нормальная функция веса, то вид ее и опре- деляет устойчивость системы. Однако в пекоторозх случаях имеется сопрнженнан функция веса (13,6) или (13.7), которая связана преобразованием Лапласа с параметрической передаточной функцией (13,62) и преобразованием Фурье с параметрической частотной передаточной функцией (13.58) или (13.59).
Поэтому более просто можно исследовать вопрос затухания функции веса вдоль аргументов д (смещение) или 0 (реверс-смещение). Условие затухания вдоль этих аргу- ментов можно записать следующим образом: ! О Те=- ~ (и1(1 — д, д) !Ю--. ~ )и>(0, 1 — 0)(д0~оо, 0 с о~Т. (13 84) о Однако затухание сопряженной функции васа н выполнение условия (13.84) еще пе означает затухания нормальной функции веса и выполнения условия (13.83).
Заметим, что в системах с постоянными параметрами не на- блюдается такой неопределенности, так как для них совпадают оба разреза рельефа функции веса: и (т) =-. 1Р (О), и оба интеграла: 11--- !о, определяемые форму11ами (13.83) и (13.84). Можно показать (118), что для систем, описываемых дифференциальным уравнением вида д"х а,(1) -„;;, +... +а„(1) х---1(1), выполнение условия (13,84) практически обеспечивает вь1полнение условия (13.83). В этих системах исследование устойчивости может быть проведено па базе параметрической передаточной функции.
Исследование затухания сопряженпои функции веса может производить- ся как по ее виду, если она известна для рассматриваемой системы, так и на основании отсутствия полюсов параметрической передаточной функции замкнутой системы в правой полуплоскости и на мнимой оси. Для этой цели могут привлекаться известные критерии устойчивости, например критерий Михайлова, критерии Найквиста и др. Формулы главы 5, дающие связь между передаточными функциями замкнутой системы Ф (р), разомкнутой системы )Р (р) и передаточной функ- цией по ошибке Фх (р), сохраняют свою силу и для параметрических передаточных функции.
Качество регулирования может быть оценено по виду переходного про- цесса (переходной функции или функции веса) в соотвотствии с з 8.4. Для этой цели должны использоваться нормальная функция веса и нормальная переходная функция, определяемые для фиксированного момента времени 0 6 -Т. Рассмотрим теперь точность воспроизведения задающего воздействия в следящих системах. Составим дифференпиальное уравнение (13.1) так, чтобы в левой части находилась ошибка х (~), а в правой — задающео воздействие д (т): а,(1), +...
+а„(1)х(1) =Ьо(1) ~ ) -(-... +5м(Од(1). (13.85) Реакция системы на дельта-функцию в правой части а (1) = б (1 — О, д) представляет собой функцию веса ошибки 1Р„(1 — д, 0). о синтезе систем с пеРеменными плРлметРлми 411 5 13л1 В соответствии с формулой (13,11) ошибку системы мон1но представить в виде *(г) = ~ „(О, г — О) д(5 — О) (О. (13.86) 5 Разлагая задающее воздействие в ряд Тейлора около точки 1 и подставляя его в (13.86), получаем (5) = д (1) 1 ю„(О, à — О) дΠ— Г (1) 1 к1„(0, à — 0) 0 5(0+ о 0 + ~~) ~ п1„(О, 5 — 0)051(0+ ... (13.87) 'О ОгРаничимсЯ слУчаем, когДа Г ~ гя, гДе 1„— вРемЯ затУханиЯ фУнкЦии веса.
Тогда верхний предел интегрирования в (13.87) можно положить равным бесконечности. В результате (13.87) можно представить в виде х (1) = с, (1) Р (Г) + с, (Г) я (г) + †'.'," д (г) + ... (13.88) Здесь введено понятие коэффициентов ошибок, определяемых выражением ( — 1)" сд (Ф) = ( ш„(0, à — 0) О" а10 (13.89) о В отличие от коэффициентов ошибок системы с постоянными параметрами здесь они получаются зависящими от времени. Коэффициенты ошибок можно вычислить с помощью параметрической передаточной функции по ошибке И'„(р, г). Из (13,62) следует (И'„(р.
1))Р 5.=-~ ) и„(0, à — 0) е РЕНО~ = ~ шк(0, à — О)дО=-с (1). (13 90) я=э о 'о Дифференцируя И'„(р, Г) по р и положив затем р= О, получаем формулу д;1я определения Й-го коэффициента: ~ ЛМРк(,, 0 ~ (13.91) Коэффициенты ошибок могут быть также получены делением числителя И"т (р, 1) на знаменатель так, чтобы получить ряд по возрастающим степеням р. Коэффициенты ошибок могут также определяться для возмущающего воздействия по соответствующей функции веса или по параметрической передаточной функции относительно возмущак>щего воздействия. $13.6. О синтезе систем с переменными параметрами Ввиду сложности математического решения синтез систом регулирования с переменными параметрами, как правило„должен осуществляться при помощи вычислительных машин непрерывного нли дискретного действия, а также посредством реального моделирования.
Вычислительные машины позволяют просмотреть все наиболее важные режимы работы системы, оценить ее качественные показатели и подобрать необходимые корректирующие средства. 412 (ге 13 Гнсткмы с пкгвмгнными плахметгхми Однако во многих случаях, особенно для квазистациокарных систем. можно провести синтез расчетным путом. Это позволяет более сознательно подойтп к определению структуры проектируемой системы и параметров корректирующих средств, что значительно сокращает объем последующих. исследований и проверок на вычислительных машинах и моделях. Метод замороженных коэффициентов.
Одним из наиболее простых способов является замораживание переменных во времени параметров в какойто фиксированный момент времени е:= б, что ведет к замораживанию коэффициентов дифференциального уравнения (13.1). В этом случае система с перемекпымя параметрами сводится к системе с постоянными параметрами„что позволяет применять для нее известные методы синтеза (см. главу 12). Разинца по сравнению с системами, име1опщмн постоянные коэффициенты, закл1очается в том, что исследование системы с замороя<енными коэффициентами должно быть последовательно проведоно для различных моментов времени ~ =- д, лежащих в интервале 0 «б ( Т, где Т вЂ” время работы системы.
Кслн во всем рабочем инзервале времени от 0 до Т качество системы регулирования оказывается приемлемым, то ее считакет работоспособной и при изменении коэффициентов уравнения в исследованных пределах. Этот метод будет давать правильные результаты, если в течение времени переходного процесса (пока функция веса не затухнет практически до нуля) коэффициенты уравнения (13.1) успеют мало изменить свое значение. Следует заметить, что эффективность рассматриваемого метода может зависеть от правильного выбора фиксированных моментов времени, для которых производится замораживание коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
