Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Запишем теперь все уравнения системы регулирования в символической операторной форме, заметив предварительно, что согласно $14.1 равенство (14.53) в операторной форме имеет вид 426 систвмы с зьпаздывлннзм и глспгкдвлкнными пагзмитглми Ел. 14 Исключив отсюда переменные з и ц, приходим к одному дифференциальному уравнению данной системы автоматического регулирования: ((Т1р'+ Т,р+ 1) (Т,р+ 1) [(1+ Ье-™) —, — (1 — Ье-ч~)]+Ь, (1+ Ье-ж)) Ф' = О, которое преобразуется к виду (~т,рз+т„+1) (т,„+ 1)+ — "', ~+ : ~(т',р'-)-тзр-(-1) (Тр-(-1)+ — '1 1 е-тг~Ф'= О. (1459) Это уравнение имеет в основном тот к<е вид, что и уравнение системы с за- паздыванием (например, (14.19) и (14.20)).
Здесь оно определяет величину Ф', через которую затем находятся из вышенаписанных соотношений регулируе- мая величина ~р, и другие. Параметр т в этом уравнении согласно (14.54) и (14.30) вычисляется по формуле 7, т=2 —, а ' т. е. т есть удвоенное время прохождения звука в газе по данному трубопроводу. Уравнение системы регулирования без учета волновых процессов. Интересно сравнить полученное дифференциально-разностное уравнение (14.59) с тем, которое получилось бы, если не учитывать волновых явлений в трубопроводе. Будем считать, что весь газ в трубопроводе движется, как единая масса с единой скоростшо и давлением,при этом учтем, конечно, сжимаемость газа.
Будем считать, что приток и потребление газа в единицу времени в этом случае будут 6, = 6, (х), 6, =- 6з (р). Изменение количества газа, находящегося в трубопроводе, в единицу времени будет 6, — 6,; но 61 62 (61 6) (62 — 6)=-Л61 Л62 ( ) ЛХ ( ) Лр~ используя (14.35), (14.35) и (14.27), получим (14.61) С другой стороны, количество газа (по весу) равно браг', так как Рг' есть объем трубопровода. Поэтому изменение количества газа в единицу времени, го используя (14.24) и соотношение — 1, запишем в виде Р 6, — 6,.= — (дрРТ,) =— д хр~ лр и аз ~п или, с учетом (14.25), (14,27) и (14.37), (14.62) Сравнивая (14.91) и (14,62), получаем искомое уравнение регулируемого объекта (трубопровода) без учета волновых процессов: т,'р+ (кр= ъ, (14.63) где (14.64) $14.3) исследОВАние УстоичиВОсти и ИАчестВА РВРУлиРОВАния 427 (Тор+6)»р=$ (Т*,р +Тай+1)ц= — ~,Р, (Тай+1) з=ц (14.65) или ((Т,р + 6) (Т',р' + Т,р + 1) (Т,р + 1) + й»)»р = О.
(14.66) Следовательно, в этом случае вместо дифференциального уравнения третьего порядка с запаздываюп(им аргументом (14.59) получается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка. 4 14.3. Исследование устойчивости и качества регулирования В з 14.1 были приведены уравнения линейных систем с запаздыванием, которые для разомкнутой цепи имели вид 9 (р) х = В (р) е 'рх», (14.67) а для замкнутой системы Р ( ) ' = )(( (р) 1 (14.68) где Р (р) = ()(р) + В (р) е 'р, )(» ( )»» (Р)»»1 (Р) О» (Р) (14.69) В $ 14.2 при выводе уравнений для одной линейной системы автоматического регулирования с распределенными параметрами было показано, что они сводятся к тому же самому виду во всех тех случаях, когда распределенное звено системы описывается волновым уравнением в частных производных типа (14.31) или (14.29). Характеристическое уравнение для таких систем с распределенными параметрами и систем с запаздыванием имеет согласно (14.69) трансцендентный вид () (р) + В (р) е-'р = О, (14.70) где () (р) и В (р) — обыкновенные многочлены, причем степень В (р) обычно меныпе или в крайнем случае равна степени () (р).
Уравнение (14.70) записывается иногда и в другом виде, например: () (р) етр + В (р) е-'р =- 0 или »') (р) СЬ тр + В (р) зЬ тр = О. Могут встретиться уравнения и более сложного вида: (7 (р) + В» (р) е '»" + Вз (р) е '»р = 0 (;) (р) езр + В» (р) е 'р + В, (р) = 0 и т. п. Здесь Т, — прежняя постоянная объекта (14,30), а 6 — новый постоянный параметр объекта, в выражении которого значение частной производной определяется для заданного обьектз графически, аналогично рис. 14.8, или же расчетным путем.
К этому же уравнению объекта присоединяются прежние уравнения регулятора (14.47) — (14.51), где»)»» заменяется на»Р. Следовательно, в символической операторной форме уравнения данной системы регулирования давления беа учета волновых явлений будут; 428 системы с САпАздывАнием и РАспРеделкннымп пАРА11ГТРА11и [сг. 11 Рассмотрим характеристическое уравнение вида (14.70). Известно, что решение дифференциально-разностных уравнений (14.68) можно записать в виде некоторых рядов и что для затухания этого решения, т. е.
для устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни трансцендентного характеристического уравнения (14.70) имели отрицательные вещественные части. Но в отличие от обьпгновенного алгебраического уравнения здесь вследствие наличия множителя е-'Р уравнение может иметь бескопечиое количество корней.
К указанным системам применимы критерий устойчивости Михайлова и критерий устойчивости Найквнста в их прежних формулировках (см. гла- ву 6). Однако здесь вследствие а~ наличия множителя е" ™ сущестгг х Р венно изменяется очертание как кривой Михайлова замкнутой системы Л (уа) =- (У (ую) лг )7 (ую) е '™, (14.71) б) так и амплнтудно-фазовой )характеристики разомкнутой цепи, построенной по частотной передаточной функции И'(ую) = У ) е-1ггг, (14.72) 0 Ом) причем размыкание системы проб,) изводится по определенному пра- вилу, которое дается ниже.
~г Из кривой Михайлова не по- Я х у лучается таких простых алгеl + Ф, браических выражений, как в Укг гг 5 6.3. Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается. уже недостаРяс. 1гьз. точно только положительности коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица. Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой цели оказывается наиболее простым.
Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости по критерию Найквиста лучше всего производить. если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (14.72). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы. Для случая, изображенного на рис. 14.9, а, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет ьрг (Р) (Р) = И 1(Р) 1 уу ( ) Иг (,) е Игг(Р) что совпадает по форме с (14.72). 1 >з 3) псследОВАнив устОЙчиВОсти и кАчистВА РвгулиРОВАния 429 Для случая, изображенного на рис. 14.9, б, размыкание главной цепи дает выражение передаточной функции разомкнутой системы, неудобное для дальнейших исследований: 1+>У (Р) >Уз(Р)е Р' В этом случае удобнее разомкнуть систему по цепи местной обратной связи. Тогда передаточная функция разомкнутой системы приобретает вид, совпадающий с (14.72): И'з (Р) (Р) 1 И (,))у (,) >1. (,) >уз(Р)е Наконец, в случае, изображенном на рис. 14.9, е, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (14.72): )Уз (Р) > (Р) )~'(Р) =- ~'з (Р) -", . )У, (у>„У, („) ~ (,) .
Заметим, что прн наличии характеристического уравнения, записанного в виде (14.70), передаточная функция разомкнутой системы может бытьзаписана сразу в виде (14.72), без нахождения места размыкания на структурной схеме. Записанное в таком виде выражение может быть использовано далее для исследования устойчивости, Частотную передаточную функцию (14.72) можно представить в виде )Р (у'в) = б'0 (уе>) е-)вз.
(14.73) Кроме того )Уо (уо>) = Ао (в) е>Ими), (14.74) где А, (в) — модуль и фс (е>) — фаза (аргумент) системы без запаздывания. Модуль второго сомножителя (14.73) равен единице, а его аргумент равен Л>(> =" вт. Поэтому, представив выраВ<ение (14.72) в виде И' (ув) =- А (сс) е)тоз), получаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции ) И' (ув) ) =- А (в) =- Аз (в) (14 75) и фазы ф (в) = ~>о (в) — вт. (14.76) Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля и вно- Рис. 14.10.
сит только дополнительный фазовый сдвиг. На рис. 14.10 изобра>кена амплитудно-фазовая характеристика,гьсоответствующая (14.74). Сплошной линией показана исходная характеристика при т =:= О, а пунктиром — характеристика, которая получается при наличии постоянного запаздывания т Ф О. Из этих характеристик видно, что наличие дополнительного фазового сдвига Л>)> = вт «закручивает» годограф, особенно в высокочастотной части, по часовой стрелке. Это, вообще говоря, ухудшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке ( — 1, уО).
Иногда в особых случаях, при сложной форме годографа )4'с (ув), введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости. 430 системы с зАпАздыВАнием и РАспределенными пАРАметРАми 1еь 1« По имеющемуся годографу И~«()в) можно определить критическое значение времени запаздывания т = т„р, при котором система оказывается на границе колебательной устойчивости.
Для этой цели на годографе 1»'«(у'в) отыскивается точка, для которой модуль равен единице (рис. 14.10). Частоту, соответствующую этой точке, обозначим в„ а фазу — 1р1. При введении постоянного запаздывания т = т„ условие совпадения этой точки с точкой ( — 1, 10) запишется следующим образом: »р1 — 1о»тлр. = откуда критическое значение запаздывания и ' ф1 кр— (14.77) К 14'с ()в) = 1+в»Т (14.78) Приравняем модуль единице: К вЂ” =1. )/1+в»Т» Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке: '~/К« — 1 1 Т Фазовый сдвиг на этой частоте 1~11 = — агс1К в,Т = — агс«К )ГК' — 1. По формуле (14.77) находим критическое аапаздывание: и — агс«К (/К» — 1 и — аг«1И )/К~ — 1 тлр— В1 р'К» — 1 По этому выражению на рис. 14.11 построена область устойчивости в координатах «общий коэффициент усиления — относительное запаздыванием Рассмотрим более сложный случай астатической системы с одной постоянной времени, когда частотная передаточная функция разомкнутой (14.79Т Если подобных «опасных» точек будет несколько, то необходимо сделать расчеты для всех точек и взять наименыпее значение т„р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
