Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Этот вопрос приобретает практическое значение чаще всего в некоторых системах регулирования, включающих в себя водяные, масляные или газовые трубопроводы (либо в об"ьекте, либо в регуляторе), реже — в некоторых системах течерегулирования (телеуправления) и т. и. Известно, например, что водяной трубопровод гидротурбины описывается без учета потерь уравнениями дз да да аь др дь дх ' дь д дх ' где и — скорость явив<ения воды, й — напор в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль трубопровода, а — скорость звука в воде. Уравнения длинной электрической линии без потерь имеют вид ди дь дь дк дх дз ' дх дь Я 14.1).
тде и — напряжение, ь — ток в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль линии, 1н с — индуктивность и емкость единицы длины линии. После решения указанных уравнений в частных производных с учетом граничных условий, определяемых смежными звеньями данной системы автоматического регулирования, для системы в целом получаются дифференциально-раююстные уравнения того же типа, как и для систем с запаздыванием 1 11.2] УРАВнения линейных систем с РАспРеделенными ЛАРАметРАми 421 Рассмотрим вывод уравнений системы автоматического регулирования давления газа в трубопроводе, схема которой изображена на рис. 14 7.
В данном случае сам регулируемый объект (трубопровод) является звеном с распределенными параметрами. Для простоты будем считать его (о' прямолинейным, а всех потре- сс бителей — сосредоточенными на д конце трубопровода. (у Регулятор состоит из чув- 2 ствительного элемента 2 (мембранный измеритерь давления), 0адочо д усилителей 8 и 4 (струйная трубка и пневматический дви- — — г гатель) с жесткой обратной связью Б и из регулирующего органа 6 (клапан).
Возмущающее воздействие ~ (С) на объект выражается в изменении по произволу потребителей некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода. Уравнение регулируемого объекта. Движение газа в трубопроводе подчиняется уравнению Фс Ркс. 14.7. дм дм 1 др — +ю — = — — —. дс дС р дС (14.21) Учтем такхсе условие постоянства массы — -(-р — +сд — =О др д др дс дС д! и адиабатическое уравнение состояния газа (14.22) (14.23) В этих уравнениях ю, р, р — соответственно скорость, давление и плотность газа в текущем сечении трубопровода с координатой 1 в момент времени С (вся длина трубопровода обозначается через Ь); й — показатель степени в уравнении адиабатического состояния газа; индексы О вверху (р', р') означают, что данные величины относятся к установившемуся состоянию системы.
Продифференцировав (14.23), получаем откуда (12.25) где а †скорос звука в газе, определяемая формулой Г дро 1г ~Р ро Обычно не учитывают сопротивления движения газа в трубопроводе, дм др пренебрегая сравнительно малыми членами сд — и ю — . Кроме того, ввиду малости величины отклонения давления р в процессе регулирования от его установивпсегося значения можно считать, что — ж 1, а следовательно, Р согласно (14.23) Ро ж 1. В результате из уравнений (14.21), (14.22) и (14.24) ро 422 СнотЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1ол.
~О получаем ш до ш ' д! Роао до ' (14.26) Введем обозначения для относительного отклонения ~р регулируемой величины от ее установившегося значения и для относительной координаты Л вдоль трубопровода: (14. 27) а также для относительного отклонения ф скорости движения газа в трубопроводе: Ч'=)о цро о о (14.28) где юо — скорость газа в трубопроводе при установившемся процессе, )о— показатель степени в адиабатическом уравнении состояния газа (14.23). Переходя в уравнениях (14.26) к атим относительным безразмерным переменным и бесконечно малым приращениям, получаем искомые уравнения регулируемого объекта (трубопровода) в виде где введены дза постоянных параметра регулируемого объекта: Ь мо т = —, (14.30) о — о,о ° а ' м Первый из них (То) представляет собой, очевидно, время прохождения гааа по данному трубопроводу в установившемся процессе, а второй (у) — отношение установившейся скорости газа к скорости авука в нем.
Заметим, что уравнения (14.29) эквивалентны так называемому волновому уравнению оды дХо' (14.31) которое легко получается, если первое из уравнений (14.29) продифференцировать по Л, а второе — по Г и сравнить результаты дифференцирования. Для системы уравнений в частных производных (14.29) надо написать граничные условия. Для этого запишем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода и уравнение потребления газа в конце его. Используем выражение для скорости газа через его расход, а именно: ю=— 6 (14.32) дФ' ' где 6 — расход газа по весу в секунду, г" — площадь сечения трубопровода, А — ускорение силы тяжести.
Условимся значения всех переменных, относящихся к началу и к концу трубопровода, обозначать индексами 1 и 2 соответственно. Расход газа в начале трубопровода С будем считать функцией координаты перемещения регулирующего клапана х, т. е. б, = б, (х), (14.33) Эта функция (рис. 14.8) определяется либо аналитическим расчетом, либо из опытных данных. о <4.2) УРАВнения линейных систем с РАспРеделенными НАРАметРАми 423 На основании уравнений (14.32), (14.33), а такя<е формул главы 3 малое отклонение <ъ<д< величины скорости в начале трубопровода от ее установившегося значения и<о будет <дм<<о < д<о< <о 1 до — ~о=А<о = ( — ') <ъ6 -~- ( — ) Лр,= — <ъ6- — Ьр = (установившиеся аначения <до, 6о, ро пишутся без индекса 1, так как они <дс<<о одинаковы вдоль всего трубопровода).
Величина ( — ) есть тангенс угла наклон» касательной в точке С (рис. 14.8), соответствующей установившемуся процессу в трубопроводе. На основании (14.23) и (14.25) Введем безразмерную величину относительного отклонения регулирующего клапана: х — хо Л.х (14. 35) в хв где х„— условное номинальное значение, равное <<о хв да„о "( —..') (14.36) Кроме того, заметим, что согласно (14.32) шо (14.37) дрог ' Подставляя все это в (14.34), с учетом (14.28) и (14.27) получаем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в начале трубопровода." р<+Ф< = $ (14.38) которое является первым граничным условием для уравнений объекта (14.29).
Расход газа в конце трубопровода у потребителей можно ааписать согласно (14.32) в виде 6з = горо<до. (14.39) С другой стороны, известно, что прн выходе газа из трубопровода (в случае критического истечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет 6о=(<~I 2у Ро, (14.40) где Ч вЂ” площадь некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода у потребителей (это величина, которая может меняться как угодно по произволу потребителя; она выражает собой, следовательно, внешнее возмущающее воздействие на данную систему регулирования), р, — давление в конце трубопровода перед выходом к потребителям, из — удельный объем гааа там же. Уравнение для отклонения величины расхода в процессе регулирования от его установившегося значения в липеаризованном виде на основании (14.39), (14.23), (14.37) и (14.27) будет "=( ) '"+( ) (У)" = Ад<во Со Рдро<)дд,-(- —, Ьрз = — (<Рз+ <рз) (14 41) 424 СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И РАСПРГдЕЛЕНПЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1гл.
14 Выразим Л272 также из (14.40), т. е. через изменение выходного сечения у потребителей, считая для простоты Рз=сопз1=У2: Ла,—. (ф)'ЛЕ+( —,' )'Л .=-),''. — '„'а+О 7/ — '... аз. Учитывая, что из (14.40) 0=Е Р'Й вЂ” ", (14.42) и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, т. е. внешнего возмущающего воздействия 1(1)= ~. Ь0 (14.43) получим 2 11+ з ф2) ' (14.44) Сравнение выран;ений (14.41) и (14.44) дает искомос уравнение потребления газа в конце трубопровода: Фз=й7'(1)-(1- —,) ф ° (14.45) которое является вторым граничным условием для уравнения объекта (14.29). Уравнение потребления (14.45) записано для общего случая процесса регулирования с переменным внешним возмущающим воздействием, выраженным через относительную величину выходного сечения 1 у потребителей.
При исследовании же переходного процесса в системе, когда после некоторого возмущения потребление установилось (() — — сопз1 =- ()', 7' —.— О), уравнение (14 45) будет иметь вид Ф2 (1 ) р А (14.46) Уравнения регулятора. Уравнение чувствительного элемента 7 61 + Т2Ч+ Ч = — 91ф1' (14.47) здесь Т„ Т, и 721 †постоянн времени и коэффициент передачи, а ЛУ Ч=— Ун (14.48) где ун — некоторое номинальное перемещение. Индекс 1 при переменной ф в уравнении (14.47) означает, что чувствительный элемент измеряет давление газа в начале трубопровода.
Уравнение управляющего элемента со струйной трубкой (14.49) Ун Уравнение пневматического двигателя на основании (5.137) будет Т,— =Т,$ = с, нн (14.50) где Т, — время двигателя. Уравнение жесткой обратной связи согласно рис. 14.7 будет (14.51) Уравнение всей системы регулирования. Итак, для данной системы автоматического регулирования имеем уравнения объекта (14.29) с граничными о !ЕМ уРАВнения линеиных систем с РАспРеделенными пАРАметРАми 425 условиями (14.38) и(14,45) или (14.46) и уравнения регулятора (14.47), (14.49), (14.50) и (14.51).
Решение уравнений в частных производных (14.29), как известно, можно ааписать в виде следуюхцей суммы некоторых двух функций от аргументов (о — утех) и (о + уто))." ф = Ф'(~ — 7Т,).)+ Ф" ~~+7+ Т,).), (14.52) ф=- — (Ф'(~ — уто).) — Ф" (г+7Тоь)) 1 7 (легко проверить, что при подстановке этих выражений уравнения (14.29) удовлетворяются тонсдественно).
Для определения функций Ф и Ф" используются граничные условия. При исследовании переходного процесса уравнение потребления газа в конце трубопровода (т. е. второе граничное условие) возьмем в виде (14.46). Это соответствует значению 1 = Т„т. е. А = 1. Поэтому из условия (14.46) с под- становкой (14.52) получаем ~-) 7 ~»- — ,') Ф" (г+7То) =- о Ф (" 7То)~ 1-7(1 -",) 2 откуда где обозначено Ф" (1) = ЬФ' (1 — т), (14.53) ~+7 (~ — — ) Ь =- т =- 27Т . — ( —",) (14.54) Ф" = Ье '"Ф'. (14.56) В результате все указанные уравнения системы регулирования будут: ф,=(1+Ье оэ) Ф', ф.
-(1 — Ь )Ф, ~ 1 7 ф!+$о=$ (Т1Р + Тир+1) д= — Ь,ф„ а =- Ч вЂ” ь, Т,р е= а, ь =- $ (14.57). илн, после объединения некоторых уравнений, ~(1+Ье-'Р)+ — (1 — Ье-ТР) ) Ф' — $ 7 (Т1ро+ Тай+1) Ч = — Ь, (1+ Ье-' ) Ф', (Т.,+1)~=Ч. ' (14.58) Для начала трубопровода, где Х = О, из (14.52) с учетом (14.53) получаем: ф, = Ф' (~) + Ф" (г):= Ф' (~) + ЬФ' (~ — т), р, =- — (Ф'(~) — Ф" (г)) = — (Ф'р) — ЬФ'(с — т)). ) (14. 55) 7 7 К этим уравнениям надо присоединить первое граничное условие (14.38) и уравнения регулятора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
