Бесекерский В.А., Попов Е.П. - Теория систем автоматического регулирования (963107), страница 101
Текст из файла (страница 101)
о (15. 69) Из (15.69) следует, что при изменении периода в Х раз необходимо в иаображении решетчатой функции 7 [и! заменить з на зг и Х на 7 Т. Так, например, если рассматривается решетчатая функция е-"лг, то прн введении периода ХТ в соответствии с табл. 15.1 а) изображение будет и,, хХ ( г. ) Т) Я(с-гхлгг) = д е "" где з, — з' и дг ==ггх. На рис. 15.8 К "Л 7" построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования 7' (ркс. 15.8, а), растянутым периодом при 1 ) 1(рис. 15.8, б) исжа)л тым периодом при Х ( 1 (рис.
15.8, л). 8. Сумма ординат решетч а т о й ф у и и ц и и. Если абсцисса абсолк>тпой сходимости решетчатой отрицательна (с ~ 0). то, положив з (15.29) р = О, имеем ы ы 4 ы ы гд Ркс. [5.з. функции г (1) -"[ппГ(г):-,~ 7[я[. х- 1 л 5 (15.70) 9. К о и е ч и о е э и а ч е и и е р е ш с т ч а т о й ф у и к ц и и. Составим первую прямулг разность решетчатой функции 7[гг[ и на основании (15.47) найдем ее изображение 2 (Л[ [и)) -= (з — 1) й (.) —:[[О[.
Далее па основании (15.70) найдем сумму ординат Ы17'[гг[: ~ Ых[ [и[ -= [пп (з — 1) Р'(з) — г [0[. л.= 5 х 1 Таким образом, взятие прямой разности н взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору р = с + )ю в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (з — 1), а во втором случае — оператор —. В случае перехода к пределу при Т вЂ” х 0 обе х пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.
7. Изображения решетчатых функций с изме- ленным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет ХТ. где ) =~: 1. Тогда на основании (15.29) можно записать 447 1 !ОО! ИСПОЛЬЗОВАНИК 2-ПРР ОБРАЗОВАНИЯ Кроме того, можно записать У, Л/[и); — — ~~ (/~[и !-1] — /[и]) === !пп/[и] — / [О!. 2.= О ч;;О 22 Ф Из двух последних выражений следует: )!ш/[и) —.=!Пп(г — 1) Г(г). 22- 2 2-21 (15.71) Зависимости (15.72) и (15.73) представляют собой аналоги соответ- ствующих выражений для нахождения конечного и начального значений непрерывной функции /(1) по ее изображению Лапласа: [нп/(1) —.— !!шрг!1 (р), р О )пп/(1) -Ф [!и! РРл (Р).
!. О Р 11. Свертка решетчатых функций. Если г(/1[ [) ФР,(), 2 (/2 [иИ ~г (г)2 то можно показать, что и 22 р!(г) рг(г) =-Я [ ~2 /, [т[/, [и — т]]:ФЕ[ ~~ /![и — м]/О[с]). (15 74) Ф вЂ”.О в=О Зта формула аналогична соответствующему вырая1ению для свертки двух непрерывных функций. 12. 1!! о р м у л а о б р а ще н и я. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее нзобра!кению. Эту операцию запишем в символкческом виде как обратное г-преобразование: /[и[ — г- (р(г)), (15,75) /[и, е[ = — ~,' (г (г, с)).
(15.76) Заметим, что аргумент изображения обладает свойством ОРг — - ОРТ+22222 (15.77) Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то мо!кно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде: !!ш/ [и] == !пп — г'(г). (15.72) Ф- Ф 2 1 10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую пряму1о разность Л/ (и — Ц =- / [и) — / [и — Ц и па осповакни (15.48) найдем ее изображение У2(Л/[и — Ц).=(1 — г 1)Г(г) — /[О]. Рассмотрим теперь предел выран1ения [!ш У.
(б/ [и — Ц) = ]пи ~ /2/ [и — Ц г-" == О. 2 2-2Ф 22=0 Тогда из последних двух формул можно найти /[О] .Ф ]!ш/[и] -= !!1п г (г). (15.73) О О 448 [сп, Ю импульснык систкмы где )Π— произвольное целое число. Вследствие этого изображения и'(2) и Р (х, з) представляют собой периодическую функцию относительно мнимой части аргумента р = 7 + )О> с периодом 2пТ-', что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения О ( О> ( 2лТ '. Удобнее использовать интервал — лТ ' с+— (О> пТ ', так как оя оказывается аналот ут ГИЧНЫМ ИнтЕРВаЛУ ЧаСтОт — оа ( О> ( со, Раосматриваемому обычно для непрерывных функций времени.
Принятый интервал дает на комплексной плоскости р = 7 + )ю область а (рис. 15.9), в которой достаточно рассматривать изображение г" (2) =- и (ерт). Изображение Р (г) может иметь в этой Ю с- -~ области особые точки типа полюсов — р, (где '~т 1 = 1, 2, ..., )О). Полюсы могут быть или веРис. 15.0. щественными или комплексно сопряженными. В случае р„, = у, ~ )лТ-' достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, например, положительной мнимой части (на верхней границе области). Рассмотрим выражение (15.29): с пс Т(2) =- ~ 1'[п[г "= — ~ Г'[п[е — Рпт. п=-О п=с РО Рг с РО г(ерт) епсртс1р = ~ ~ ~ [[п] е-рпт~ етртс>р 'Я у [и] ) и-рт1п-пс>с7р (15 78) Р! рс с=с п=с рс При этом все полюса г'(егт) будут лексать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования Ь.
Это и дает право изменить в (15.78) порядок операций интегрирования и суммирования. Если и чь т, то Рз — Рт[п-пс> >рс с-с<п-пц е-РТ1п- > др-- [Е>П<п-"'> — Е-1П1п- >] -= О, (и — и) с р~ (п — сп) 1 РС Если п--т, то ю с[р = (с + ) лТ ') — (с — )л Т 2) = 72л Т ', Р1 Вследствие этого (15.78) можно представить в виде Рг Яраг) ср'пт сгр — ДлТ 17 [пг] Р! Заменяя т на и, получим окончательно формулу обращения с+>гпТ-г / [П] -,- ~ Р (ОРТ) СрпТ С[р >2л (15.79) С-12ПТ- Умножим левую и правую его части на е Р', где т — целое число, и проинтегрируем его вдоль линии Х (рис.
15.9) в пределах от р, = с — упТ ' до с + )лТ ', где с — произвольная величина, болыпая, чем абсцисса абсолютной сходимостн: 449 г псг) ИСПОЛЬЗОВАНИЕ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Так как г=епг и г(г=Тг1]р, то формула обращения (15.79) могкет быть также представлена в другом виде: 1'[и] = —,(у г'(г) г" гг[г=- ~~" Кезнг" (г)гк '. 1 гн )2л (Лг (15.80) н=1 Интегрирование ведется по окружности с центром в начале координат и радвусом В) [гн]швг, где т= 1, 2, ..., 1 — полюсы функции г' (г).
В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке г — -г, может быть определено из выражения Йезнг'(г) г" 1 = 1(ш (г — г,) г" (г) г" '. (15.81) г гн В случае полюса кратности г значение интегрального вычета в точке г =. г, определяется выражением Вез„г" (г)г" '=, 1пп,„, [г" (г)(г — г,)" г" ']. (15.82) (г 1)1 г Коли функция г" (г) имеет нулевой полюс кратности г, то для функции г" (г) г" ' прн и=О полюс будет иметь кратность г-]-1. В этом случае значение интегрального вычета в точке г=О будет — 11ш — „[г" (г) г'~1], п= О, г), о г(г" 11пг,„„]Г (г) г""" '], гг О.
(г- 1)) , , Аг<е-1> Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции: е+глт-г 7'[и з] '] г (ерт в)ер тг]р Т 12л е — )лт-г 7 ]и, е] — - —. $ г (г, е) г ггг = в~1 Везн г (г, е) г н=1 (15.84) (15.85) А (г) гАо (г) В (г) ' 2) (.) ' причем будем предполагать, что степень числителя не вьппе, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда иаображепие можно представить в виде суммьг 1 г(г)=.
— = гло (г) Ло (гн) г В (г) л ( н=-1 22 В. А. Гееекерокка, Е, П. Попов (15.86) Полученные выражения (15.79), (15.80), (15.84) и (15.85) несколько сложны для практического использования. Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изобрангепию обычно применяются другие методы, которые даны ниже. 13.
Ф о р м у л ы р а з л о ж е н и я. Ксли изображение представляет собой простейшую табличнуго форму (см., например, табл. 15 1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разлонгения. а) Пусть изобрагкение г (г) представляет собой отношение двух много- членов: ггьгпульсньгк систкмы (оо га где В (з) — производная В (з) по з, а з„(у == 1, 2,..., г) — корни знаменателя.
Элементарному слагаемому з (з — з,) ' соответствует оригинал е — "т" т =- = з"„где а, =- Т-г 1п з,' (см. табл. 15.1). В табл. 15.1 единственный корень дроби первой степени обозначен з, == Ы. Поэтому оригинал (15.86) можно записать следующим образом: (15.87) б) Пусть изображение Р (з) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя А (з) меньше степени знаменателя.
Тогда, как следует пз (15.73), начальное значение решетчатой функции 7 (01 == О. Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (15.86) и (15.87), но применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой функции, изобрая ение которой будет зР (з). Для того чтобы получить в результате искомую функцию, следует в правой части (15.87) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить и на п — 1. В результате имеем !( ) '~~г .4(оо) о-г о-.! В(оо) (15.88) причем последнее выражение будет справедливым только для и ) 1, в) Пусть изображение Р (з) не имеет нулевого корня числителя А (з), причем степень А (з) равна степени знаменателя В (з).
Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить Р (з) в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка Ро (з). В соответствии с формулой (15.29) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции 7 (0). Поэтому Р (з) -=. +~(", =1(О)+ Ро (.) —.1(О) -,-'„'<~. Переход от второй составляющей изображения к оригикалу может быть сделан по формуле (15.88), которая справедлива для и )~ 1. г) Если изображение Р (з) можно представить в виде некоторой дробпорациональной функции Ро (з), умноженнои на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции 1!и), которое равно (з — 1) ', т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
