Зенкевич_Упр.манип_03 (962916), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ее можно реализовать с помощью тахогенератора, установленного на валу двигателя н измеряющего его угловую скорость, пропорциональную х . Обозначим х, — координату неподвижного объекта. Тогда, пренебрегая динамикой двигателя, можно записать следующее дифференциальное уравнение для рассматриваемой системы: Мха+ Р; = Е, илн М х + С,(х — хо)+ 1с~х+ lс,(С,(х — хо) )го) = О (8-65) где М вЂ” масса базовой конструкции манипулятора. Характеристическое уравнение имеет вид М)'+1с,)+С„(1+1с,) =О, откуда следу'ет„что система всегда асимптотически устойчива, а коэффициенты А,, сс, влияют только на время переходного процесса н на его характер. Уточним теперь описание датчика„положив в соответствии с (8.62) ~, = С, (х — ) - 1с, (х - х) . В этом случае вместо (8.65) получим (8.66) ' 1с! / ( — ' — 1 (8.69) о т.е.
коэффициент обратной связи по силе в выражении (8.64) не должен превышать некоторое критическое значение, которое положительно, если коэффициент демпфирования А, в (8.64) больше, чем собственный коэффициент демпфирования датчика /с, . Рассмотрим теперь случай свободного движения, полагая по- прежнему Р'„в виде (8.66). В этом случае к уравнению (8.65) необходимо добавить уравнение схвата с нагрузкой.
Обозначая массу эсого объекта т, получаем Мх+С,(х — х,) — 1с„х+ 1с,х+ 1,~С,(х — х„) — 1с,х — Ро1= О. (8 67) Теперь характеристическое уравнение запишем в виде М)'+Ц1с, — Iс, -Р,К„)+С,(1+1с,) =О, (8.68) откуда следует, что система аснмптотически устойчива только при ус- ловии или тх+С,(х — х) — /с„(х-х) = тя. (8.70) Целью движения теперь является перемещение схвата в соответствии с законом, определенным движущей силой го. Управляющую силу Г в соответствии с соотношением (8.64 ) выберем в виде АР + 1ст(~0 ~л) Уравнение же базовой конструкции руки при этом запишем в виде, аналогичном (8.67): М х + С, (х — х) — 1с, (х — х) + 1с, х + /сДС„(х - х) — lс, (х — х) — Р01 = О, (8.71) Обратим внимание на то, что порядок системы дифференциальных уравнений возрастает по сравнению с тем случаем, когда рассматривается абсолютно жесткая конструкция.
Система однородных дифференциальных уравнений, соответствующих (8.70) и (8.71), теперь имеет вид (тр' — Ф,р+ С, )х+ (1с,р — С„)х = О, [А,(1 — А,)р — С'„(1+ А,))х+(Мр' + С,(1+ 1с,)+ А, р — 1с,(1+ /с,)р)х = О, а ее характеристическое уравнение— Йе1 ст)~.х -1с 1+С А„Х вЂ” С„ (1+1с )~ С (1+1 . М)г Р 1 (1+7 )Р+С (1+1с т.е. а,Х +а,Х +а,Х'+а,1+а, =О, где а, = Мт; а, = — Е„М вЂ” К,(1+К,)т+1с,т; а, =тС,(1+1с,)+С„М-2)с,'(1+1,) — Е,К,; а, = /с,С„; а, =Сд(1 — Ус,) — Сд(1 — И,) =О Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид а03.'+ а,Х'+ а2Х+ аз =О. Устойчивость системы определяется вторым определителем Гур- вица 333 Л, =а а, — а а, >О. (8.72) В зависимости от сочетания параметров это уравнение позволяет определить интервал значений lс,, й,, в котором обеспечивается устойчивость системы.
Заметим, что если пренебречь вязким трением датчика и положить 1с, = О, то получим а, =тМ, а, = ИЫ, а, =С,т(1+1с,)+С,М, а, =)с,С,, а4 -— О, следовасельно, условие устойчивости примет вид Л, = й,М(С,т+С„М) — 1с,С„тМ = С,/с,М' ) О; (8.73) эсо условие соблюдается, т.е. система всегда асимптотически устойчива. Таким образом, вид условий, при которых происходит потеря устойчивости, зависит от уровня точности математической модели.
Еще более точную модель можно получить, если учесть подагливость манипулятора на участке от вала двигателя до упругого датчика. Этот случай подробно проанализирован в [151. 8.4. Динамическое планирование В задачах планирования движения манипуляционного робота (см. гл. 4) мы пользовались только кинематическими соотношениями, связывающими координаты, скорости и ускорения схвата манипулятора с его обобщенными координатами и их производными.
Таким образом, не принималась в расчет динамика манипулятора. Именно это и может быть причиной, требующей применения методов динамической коррекции, рассмотренных ранее в 8 8.1 и 8.2. Другой путь, позволяющий управлять манипулятором с учетом его динамики, состоит в том, чтобы учесть его динамические свойства на стадии выбора самого движения.
При этом используются различные подходы в зависимости от решаемой задачи. Если траектория движения определена условиями задачи, то, используя уравнения динамики, можно выбрать распределение скоростей и ускорений вдоль траектории с учетом энергетических ограничений исполнительной системы. В задачах терминального управления, когда заданы только условия на правом конце траектории движения, применяются методы оптимизации траектории с учетом динамики манипулятора.
Весьма интересным, в частности„ является подход, обеспечивающий движение манипулятора по собственным траекториям. 334 8.4.1. Планирование движения вдоль заданной траектории с учетом динамических ограничений Рассмотрим задачу о планировании движения схвата манипулятора вдоль траектории, заданной в пространстве рабочей сцены. С учетом ориентации охвата, эта траектория задана как последовательность г„, 1=1, 2, ..., М, в шестимерном пространстве векторов положения и ориентации схвата. Будем считать, что заданы ограничения на моменты или силы р„развиваемые двигателями сгепеней подвижности: ~Н,~<С„1=1, 2, ..., Ю.
Согласно уравнению (8.1), ускорения в степенях подвижности манипулятора равны д =.М '(д)зб(д, д)д+,4 '(д)В;,(д)С+,я '(д)р. (8.74) Отсюда следует, что при построении интсрполяционных полиномов (см. п. 3.4.2) необходимо, задав д и д, учесть дополнительное ограничение на ускорение вида )д,( <~Б,(д, д))+~ )а„(д))С, =д,", (8.75) у вам где ди кратности обозначены а„(д) — компоненты магрицы,Я '(д); Ь,(д, д) — составляющая, обусловленная остальными слагаемыми в правой части (8.74).
Целесообразно решать эту задачу методом последовательных приближений, выбрав в качестве первого приближения траекторию, полученную при кинематическом планировании. Для этой траектории решается обратная задача динамики, проверяются условия (8.75) и, если они не выполняются, проводится коррекция по ускорению. Ее можно обеспечить за счет изменения временных интервалов Лг„=㄄— г„, увеличивая их при необходимости уменьшения ускорения. Тем самым изменяется «расписание» движения по той же программной траекгории. Рассмо~рим этот вопрос подробнее для случая, когда используется сплайн третьего порядка (см. гл.
4): д(~)=Р (г)=а„+а„г+а„г'+а„~', гЯ„г„,1, 1=1,2, ..., М. 335 Выберем этот сплайн в виде (см. 145, с. 2261) (, - )-', ( — »,)-', 6Ь ' 6Ь » .» + ц,,— ц,,— ' — '+ ц,— М, — ' ' „(876) где Ь,=Лг,=г,-~, „ц,=ц(р,), (=1,2,...,М. Полипом (8.76) удовлетворяет условиям непрерывности Рз(г )=Рэ (г ) '=1 2 М вЂ” 1 Р(~) ц, Р(г) ц, » 1,2,,М, и условиям непрерывности ускорений Р; (г,) = Р „(г»), » = 1„2, ..., М вЂ” 1, причем ~Ё(~) ц. + ц а, ' Ь, а из условия непрерывности скоростей Р,'(г,) =Р,',(г,), »'=1, 2, ..., М вЂ” 1, получим »»»»»»-з -.
»»»» .. ц»и ц» цт ц» з б '-' 3 ' б "' Ь Ь вЂ” ц ~+ — ц + — — цо= — —— »и »'=1,2, ..., М вЂ” 1, Вместе с граничными условиями (см. п. 4.1.2 ) эти соотношения позволяют получить необходимое количество уравнений для определения неизвестных ц,, г'= 1, 2, ..., М. Эти уравнения имеют вид Ац'=И, (8.77) где ц=(цо % " цм1. г1=1По г(~ " г(м1 г(„=б(ц, -ц,)~Ь,'', Н, =б(ц,, — ц, )~Ьм, Ы,. =6((ц»„— ц,)»й,.„— (ц, -ц,,)БД(Ь,, — Ь,), 7 = 1, г, ..., М вЂ” 1; 336 2 Х, О и! 2 Х! О О О О О О О О О рм, 2 Х О О О О рм )!Π— — Рм — — 1, Р! —— 1!У/(1!! — й/„)„) / =1 — Рз. Проверка ограничений (8.75) и их учет может быть выполнен последовательно для уравнений этой системы; для первого уравнения 2Чо + 7"0Ч = с!о г7о = б(Ч! — Чо'~~я! В частности, при Ч, =О ограничение вида (8.75) ~Ч!~<Ч, можно обеспечить за счет а!„: А — <Ч, )" о или поскольку ограничения на Ч, уже выполнены и Ч, мы положили рав- ным нулю, то нужно выполнить условие вида ~Чг~ — Ч» а,-щ) отсюда Ь, б(Ч, — Ч,) ..
1 (8.79) ~! + 1!2 ~! Ч2 Из последнего соотношения видно, что оно может быть вьпюлнено за счет выбора Ь„л„поэтому, если увеличить только интервал А„ 337 22. — !488 (8.78) 3.0Ч! таким образом, если ограничение (8.75 ) не удовлетворяется, то увеличивается г!. Далее, для второго уравнения системы (8.77) Р!Чо+2Ч!+М =А' окажется недостаточным, то нужно вернуться на предыдущий шаг и увеличить интервал Ь, так, чтобы неравенства (8.78) и (8.79) удовле- творялись одновременно. Продолжая эту процедуру, можно в конечном счете скорректиро- вать и все остальные моменты времени Г„определяющие «расписа- ние» движения схвата, таким образом, чтобы динамические ограниче- ния (8.75) были выполнены на всей траектории. Аналогично может быть решена задача динамического планирова- ния в том случае, когда заданы ограничения по мгновенной мощности, развиваемой каждым приводом: ~1з,Ч,~ <С,, 1=1, 2, ..., М, (8.80) или же по суммарной мгновенной мощности исполнительной системы !р'ч! < с'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
