Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В частности, при !'=й коэффициент Р„связывает момент ть действующий в »-м сочленении, с ускорением !' й присоединенной переменной. Если 1Ф й, то Ры определяет момент (или силу), возникающий в 1-м сочленении под действием ускорения в й-м сочленении. Поскольку матрица инерции симметрична и 7г(А) = Тг(А'), можно показать, что Рм = Р» 3.
Коэффициенты йм„„определяемые равенствами (3.2-32) н (3.2-33), устанавливают связь действующих в сочленениях сил и моментов со скоростями изменения присоединенных переменных. Коэффициент йм определяет связь момента, возникающего в йм сочленении в результате движения в й-м и т-м сочленениях, са скоростями изменения й-й и т-й присоединенных переменных. В частности, при й = т коэффициент й,»» связывает угловую скорость в й-м сочленении с порождаемой ею центробежной силой, «ощущаемой» в »-м сочленении. Если й= т, то йм свЯзывает коРиалисовУ силУ, возника1оЩУю в Ьм сочленении, со скоростями изменения й-й и т-й присоединенных переменных, в результате каторога зта сила возникает.
Отметим, что в соответствии с физическим смыслом й,»,„= й„„,. При вычислении рассмотренных коэффициентов полезно знать, что некоторые из них могут иметь нулевые значения по одной из следующих причин; 1. Конкретная кинематическая схема манипулятора может исключать динамическое взаимовлияние движений в некоторых парах сочленений (коэффициенты Р;„й,» ). 2. Некоторые из коэффициентов й,» присутствуют в формулах (2.2-32) и (3.2-33) чисто фиктивно, будучи нулевыми в соответствии с физическим смыслом.
Так, например, коэффициент й;„всегда равен О, поскольку центробежная сила, порождаемая движением в З-бл сочленении, на само »-е сочленение влияния не оказывает, хотя и влияет на другие сочленения, т, е. йЗоФО при 1Ф! 3. Некоторые из динамических коэффициентов могут принимать пулевые значения в отдельные моменты врсмсии при реализации определенных конфигураций манипулятора. Уравнения движения манипулятора (3.2-26) — (3.2-34) представляют собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения учитывают все действующие на звенья манипулятора силы и моменты: кнерциальные, центробежные, кориолисовы и гравитационные.
При заданных в виде функций времени моментах (силах) т (! = 1, 2, ..., и) одновременным интегрированием всех входящих в (3.2-26) уравнений можно получить описание реального дви- састаеляюж44е уравнений Паиженпя '(исто операций сложения Число операций умножения 32п (и — 1) 4п (9п — 7) 24п (и — 1) 5! п — 45 2 1/2п (и — 1) (65/2) и (п + 1) (и + 2) (1/6) и (п — 1)(п + 1) (65/2)па(п + 1)(п+ 2) (1/6) пт (и — 1)(п + 1) (128/3) п(п+ 1) (и+ 2) (128/3) па (и + 1 ) (и+ 2) Рнс. 3.2.
Двухзвенный манипулятор. и ' о †чис степеней саобоцм манипулятора. !16 жения манипулятора в форме зависимостей от времени присоединенных переменных ()(/). Далее, используя соответствующие матрицы преобразования однородных координат, по известной вектор-функции ()(/) можно определить зависимость от времени положения охвата манипулятора (траекторию схвата). Или если с помощью программы выбора траектории получены в форме заданных функций времени законы изменения присоединенных переменных, их скоростей и ускорений, то с помощью равенств (3 2-26) — (3.2-34) можно определить зависимость от времени т(/) моментов, которые должны быть созданы в сочленениях для реализации выбранной траектории движения манипулятора. В этом случае мы будем иметь дело с задачей программного управления. Однако для автономных робототехнических систем более предпочтительным является управление с обратной связью.
Этот вопрос рассмотрен в гл. 5. Вследствие матричной структуры уравнения Лагранжа— Эйлера в задачах управления с обратной связью, где они использу(отся для описания состояния управляемой системы, применяются в формс (3.2-26). Такая форма допускает выбор закона управления, устраняющего все нелинейные эффекты, Достаточно часто при разработке замкнутой системы управления манипулятора динамические коэффициенты выбираются таким обТаблица 3./.
Вычислительные затраты на реализацию уравнений движения в форме Лагранжа — Эйлера ') /А( — тки /у / /(/ и ,йип/у, т, (иа ий (иы)т) т. (им/, (иа()г! а=п4а ((, у) т,(и /й/ (и,)г) а т,(и м/ (и )г) ж тая((. (, Ь т = 0 (я) 4+ /( (ц, 4) + с (д) (128)3) и)+(512/3) и'+ (98/3) и" + (781/6) па-1- + (844/3) и'+ (76/3) и + (637/3) па+ (107/6) л разом, чтобы минимизировать нелинейные эффекты, связанные в кориолисовыми и центробежными силами (!88]. Представляют интерес оцеяки вычислительных затрат на определение коэффициентов по формулам (3.2-31) — (3.2-34). В табл. 3.1 приведены данные о вычислительной сложности уравнений движения в форме Лагранжа — Эйлера.
В ней приведено число математических операций (умножений и сложений), необходимое на каждом шаге интегрирования уравнений (3.2-26). С вычислительной точки зрения эти уравнения чрезвычайно неэффективны по сравнению с другими способами описания динамики манипулятора, один из которых рассмотрен в следующем разделе. 3.2.6. Пример: двухзвенный манипулятор Применение уравнений Лагранжа — Эйлера в форме (3.2-26) — (3.2-34) для описания динамики движения манипулятора проиллюстрируем в этом разделе на примера двухзвенного манипулятора с вращательными сочленениями (рис. 3.2).
Все оси сочленений рассматриваемого манипулятора параллельны оси а, перпендикулярной плоскости рисунка. Физические характеристики, такие, как положение центра масс, масса каждого звена и выбранные системы координат, указаны ниже. Требуется получить уравнения движения рассматриваемого двухзвенного манипулятора, основываясь на равенствах (3.2-26) — (3.2-34).
117 Относительно рассматриваемого манипулятора будем предполагать следующее: ° присоединенными переменными являются углы Оь О,; ° первое и второе звенья имеют соответственно массы пг, и тг; ° параметры звеньев имеют значения сгг = ах = О, г(1 = г(г = = О, а, =аг — — (. В соответствии с рис. 3.2 и полученными в предыдущих разделах соотношениями для матрицы '-'А; (1= 1, 2) имеем 0 — 100 1 000 О 000 С12 5ы 0 дааг о и21 = — =с! А = д8~ 0 000 0 — 5ы — Сы 0 1(5ы+ 51) Сы — 5,г 0 ((Сы+ Сг) О 0 0 0 0 0 0 оА, = дег 0 — ! 00 1 000 С, — 5, О !С, 5, С, О !51 0 0 ! Π— !(С„+ С,) оА оА1А 12 12 о ! (512 + 51) 1 2 0 0 1 0 0 000 0 000 О 0 0 ! О 0 0 ! !5ы !С12 О где С, = соз О;; 5, = ебп О,; С, = соз (Ог + О ); 511 — — з(п (О, -1- О ), В соответствии с определением матрицы („11 для вращательного сочленення имеем 0 0 0 0 О 0 С, 5, О !С, 51 С, 0 !5, 0 0 1 0 0 0 0 1 С,— 52О!С, 5 Сг О (52 0 0 1 0 0 0 ! Аналогично для 1)21 и !)22 получаем — 5„0 !(С„+ С,) С„О 1(5„+ 5,) 0 ! 0 0 0 1 С, — 520/С2 5, С, О !52 0 0 1 0 0 0 0 0 — 100 Из равенства (3.2-18) в предположении о равенстве нулю всех центробежных моментов инерции получаем формулу для матри- цы псевдоинерции !1: 1 000 О 000 0 000 — 1/2т, ! 0 Используя выражение (3.2-11), получаем т, даА !.(11 — — — 01А1 дв, Используя формулу (3.2-31), получаем 0 000 0 Тг(!)21Л2()21) = — 1/2т,! О !/Зт,Р 0 0 0 0 0 О 0 0 — 1/2т,! 0 0 0 0 0 0 0 О 118 — 5, — С, С, — 5, 0 0 0 — 100 С, 1 000 5, 0 000 0 Π— !51— 0 +!С1 0 0 0 0 — 5, О !С,— С, О !5, 0 1 0 0 О ! 1/Зт,Р 0 0 0 0 0 0 0 Π— 1/2т,( 0 0 Вп = т (оп,) и ) + — 5, — С С, — 5, 0 0 Π— (5, О !С1 0 0 1/Зт Р 0 0 — 1/2тгГ 0 0 0 0 0 0 0 0 — 1/21пг! 0 0 тг 5м См О О 0 0 1 (512 + 51) 1(С,",+С,') 0 0 +т, 0 0 0 1/Зп22Р 0 Π— 1/2т1 0 0 0 0 0 О 0 0 = 1/Зт,Р+ 4/Зт Р+ щ,С2Р; — 1/2т21 0 0 т 2212 = 22 1 =тг (и2222и21) = г — 5 ° — С О С вЂ” 5, О 0 0 0 0 О 0 — 1512 1С12 О 1/Зт2Р 0 0 — 1/2т,1 0 0 0 0 0 О 0 0 — 1/2т21 0 0 гн, ~Тг т и, 0 = т,!' ( — 1/6 -1- 1/2 + 1/2С2) = 1/Зт21'+ 1/)2т212С ° 022 = Тг ( и 22.12 ил) = — фΠ— 15, — 5м О 1С, 0 0 0 ЦЗтаР 0 0 — 1/2т21 0 0 0 0 0 0 0 Π— !/2т,( 0 0 та — 51 См 0 =Тг 0 0 0 = 1/Зт,('5;2+ (Зт,/'См = 1)/Зтз!'.
Для определения слагаемых, описывавших центробежное и кориолисово ускорение, воспользуемся равенством (3.2-32), Для 1= 1 оно дает Ь,= ~ ~: Ь„„В,Е.=Ь,пв',+Ьи,В,02+Ь„,В,Е2+Ьмав!. 2 =1 т=. 1 С помощью (3.2-33) можно получить значения коэффициентов Ьм . Подставляя их в предыдущее выражение, имеем ь1 = — 1/2т2521 в. — т2521 01В2.
Аналогично для 1= 2 2 '2 '2 ь,= Х 2". ь„.в,е.=ь„,е,+ь„20,02+ ь,е,в, +ь„,ва 2=1 2=1 = 1/2т2521 021. Таким образом, — 1/2т2521 02 — т2521'0102 12(0, 0) = ~~ ~ 2 ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 1/2т2521 01 120 1 2 с, = — (т,дипг1 + т2ниг1г2) = — 1/2 0 0 — 5, — С, Π— 15, С, — 5, О 1С, 0 0 0 0 = — т(0, — и, О,О) 0 0 0 0 1(5 +51) 1(С12 + С,) 0 — 1/2 — 5е — С,2 0— С,-5мО 0 0 0 — т (О, — и, О, О) 0 0 0 1/2т1п/С1 + 1/2тзп(С12+ л22п(С1; гнаеи 22г1 = — 5м с„ 0 — 1/2 0 — с„о — 5„О 0 0 0 0 1512 1С12 0 —,(о, - д, о, о) 0 — т (1/2п/С12 — П(С12). Таким образом, нами получен вектор, определяющий влияние силы тяжести: с, 1 Г 1/2т1п(С1 + Ц2т201С12+ тзп(С1 с(0) = с, 1 т 1/2тзе(С12 Окончательно имеем следующие уравнения, описывающие дина- мику движения рассмотренного двухзвенного манипулятора: т (1) = 22 (О) 0 (1) + Ь (О, 0) -$- с (0), [.'1=! т, т Г 1/Зт,Р+ 4(Зт2Р+ т2С,Р !/Зт2Р+ 1/2т2РС21 ~ В, т т2 ~ 1.
1/Зт,.Р + 1/2т2РС2 !/Згн2Р .1 ~ Е, .) — 1/2т2521 02 — т2521 01В2 1 1/2т2521 01 [ 1/2т1п(С1 + 1/2н2201С12+ т2п/С1 + 1/2п22п(см 121 Запишем теперь слагаемые, определяюшие влияние гравитацион ных сил с =(сь с,)г. На основании равенства (3.2-34) имеем 3.3. УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА — ЭИЛЕРА В прелыдушем разделе с помощью уравнений Лагранжа— Эйлера мы получили систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающую динамику движения манипулятора. Применение полученных уравнений для расчета сил и моментов, которые должны быть созданы силовыми приводами в сочленениях манипулятора лля реализации заданной траектории движенил, с вычислительной точки зрения представляет большие трудности при решении залачи управления в реальном времени.
Они обусловлены в основном неэффективностью в вычислительном плане уравнений Лагранжа — Эйлера, используюших матрицы преобразования однородных координат размерностью 4 к', 4. Для обеспечения управления в реальном времени была разработана упрощенная модель линамики движения манипулятора, не учитывающая кориолисовы и центробежные силы. Это позволило сократить время, необходимое для вычисления требуемых сил и моментов на каждом шаге интегрирования уравнений движения до допустимых пределов (менее 1О мс счета с применением компьютера РОР1!/45). Однако при быстром движении манипулятора кориолисовы и центробежные силы оказывают существенное влияние на динамику движения.
Б связи с этим применение упрощенной модели динамики накладывает ограничения на скорость движения манипулятора, что нежелательно в большинстве производственных процессов. Кроме того, при быстром движении манипулятора ошибки в реализуемых силах и моментах, обусловленные неучетом центробежных и кориолисовых сил, не удается скомпенсировать за счет управления с обратной связью из-за слишком больших величин требующихся для этого корректирующих моментов. В качестве альтернативного более эффективного в вычислительном плане способа описания динамики манипулятора некоторые исследователи воспользовались подходом, основанным на применении второго закона Ньютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
