Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В предложенном решении для углов 0,, Вь и Вь необходимо обратить особое внимание на следующее. Дело в «5 том, что требование совпадеРяс. 2.26. Решение для 6-го сочленение. ния осн 5-го сочлеНения с векторным произведением хз и а может не иметь смысла, если з!и Вь — 0 (т. е. Вь = О). В этом случае манипулятор становится вырожденным; оси его 4-го и б-го сочленений совпадают. В таком состоянии важна только сумма углов В„и В,. Угол В, можно выбрать произвольным образом (обычно выбирают 8» равным его текущему значению), а О»+В» выбирается так, чтобы требуемым образом расположить оси з и п.
Если ПЕРЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ «включен» (т. е. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ = 1), то В =В +н, В = — Вь, В =В»+и. Итак, для шестизвенного манипулятора Пума существует восемь решений обратной задачи кинематики. Решения для первых трех присоединенных углов Вь В,, В, обеспечивают требуемое расположение руки (первых трех звеньев), а выбором углов 6,, 6,, Вь обеспечивается заданная ориентация схвата. Для первых трех присоединенных углов существуют четыре решения: два — для манипулятора с левосторонней конфигурацией и два — с правосторонней. Для каждой конкретной конфигурации манипулятора равенства (2.3-47), (2.3-56), (2.3-63), (2.3-71), 90 1 ! й — з!п В, соя В, 0 р, р, 0 1 рд ь!и 61 — рз сеь 6, !!з» Х Р )( !!»1 Х 9'!! =хе.
где р' =(р, рзь О)' — проекция вектора р (равенство (2.2-36)) на плоскость хьуь, х, =( — з!п Вь соз Вь0) ' — третий столбец матрицы 'Т, и хь =(0,0,!)'. Возможны следующие варианты; 1. Если д(0, р) » О, реализована конфигурация ПРАВОЙ руки. 2, Если д(0, р) < О, реализована конфигурация ЛЕВОЙ руки, 3. Если д(В,Р) =О, конфигурация манипулятора одновременно соответствует определению как ПРАВОЙ, таки ЛЕВОИ' руки: манипулятор находится внутри цилиндра радиусом (рис.
2.18). В этом случае принимается для определенности, что реализована конфигурация правой руки (РУКА =+1) Поскольку знаменатель выражения (2.3-76) всегда положителен, определение ЛЕВОИ/ПРАВОЙ конфигурации сводится к определению знака числителя д(6, р): РУКА = з!яп [я (В, р)) = ь!яп ( — р„соь В, — рд ь!и В,), (2.3-77) где функция ь!((п определена равенством (2,3-70). Подстановкой первой и второй компонент вектора р из равенства (2.3-36) в равенство (2,3-77) получаем РУКА = з!йп [й(0, р)) = з!йп[й(0)! = з!йп(»1»5зз»зззСзз а»Сз). (2.3-78) Следовательно, из уравнения (2.3-78) значение индикатора РУКА для ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ конфигурации манипулятора уста- Э! (2.3-73), (2.3-75) дают решение (Вь Вь Вз, 0», Вь,бь) обратной задачи кинематики, причем (Вь Вз, Вз, О» + и, — Вь, Вь + и) также является решением этой задачи (если ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬ «включен») Уравнения вида конфигурации для определения индикаторов конфигурации манипулятора.
Полученное в предыдущем разделе решение обратной задачи кинематики для манипулятора типа Пума не единственно и зависит от индикаторон конфигурации, задаваемых исследователем. Эти индикаторы можно также определить, зная присоединенные углы. В этом разделе получены соответствующие уравнения конфигурации для каждого из рассмотренных индикаторов. Решение уравнения дает значение соответствующего индикатора в соответствии с определениями (2.3-31) — (2.3-33).
Для индикатора РУКА, следуя определению ПРАВОЙ/ЛЕВОЙ руки, уравнение конфигурации можно записать в виде ю Х р' я (В, р) = хь . !!»1 Х 9'!! иавливается следующим образом: Р У КА = з)дп ( — йены — азСаз — азСа) = 4 Г +1=«ПРАВАЯ рука еч — 1 =«ЛЕВАЯ рука. (2.3-79) При выводе уравнения конфигурации для индикатора ЛО- КОТЬ используем определение ВЕРХНЕЙ/НИеКНЕГ1 руки.
Взяв (зре)„и индикатор РУКА из табл. 2.4, получим уравнение' конфигурации для индикатора ЛОКОТЬ, использующее знак второй компоненты вектора положения матрицы зА,'А, и инди- катор РУКА: ЛОКОТЬ = РУКА з!дп (е(,Сз — азиз) = +1 =«ЛОКОТЬ выше запястья, — ! =«ЛОКОТЬ ниже запястья. (2,3-80) Для индикатора ЗАПЯСТЬЕ, следуя определению возможных конфигураций запястья (КИСТЬ ВВЕРХ/ВНИЗ), сформируем скалярное произведение единичных векторов з и уз (или 2,). (+1, если з хе>0 ЗАПЯСТЬЕ = ~ = з)пп(з х ).
(2.3-81) — 1, если з.24<0 Если з 24 = О, значение индикатора ЗАПЯСТЬЕ можно опреде- лить из следующего выражения: +1, если п хе) 0 ЗАПЯСТЬЕ = ~ ~ = 61дп(п ° х ). 12.3-82) ( — 1, если и хе<0) Объединяя равенства (2.3-81) и (2.3-82), получим ЗАПЯСТЬЕ = (з!ип(п.х,), если з х,=О ) +1=«КИСТЬ ВНИЗ, — КИСТЬ ВВЕРХ Полученные уравнения конфигурации позволяют проверить решение обратной задачи кинематики. С их помощью прн реше- нии прямой задачи кинематики вычисляются значения индика.
торов конфигурации, которые затем используются для решения обратной задачи кинематики (рис. 2.26), Машинное моделирование. Для проверки правильности решения обратной задачи кинематики манипулятора Пума, изображен- ного на рис. 2.11, может быть составлена программа для ЭБМ. Первоначально в программе задается положение манипулятора в пределах допустимых значений присоединенных углов. При- 92 соединенные углы являются входами в программу решения прямой задачи кинематики, которая формирует матрицу манипулятора Т. Присоединенные углы используются также в уравнениях конфигурации, из которых определяются значения трех индикаторов конфигурации манипулятора.
Значения индикаторов совместно с матрицей Т являются входами в программу решения обратной задачи кинематики, вычисляющую присоединенные Покоиееиие и Приеоеоикеккые окиектачии е ар1 Рис, 2.26. Моделирование решении обра гной задачи кинематики на ЭВМ. углы, которые должны совпасть с присоединенными углами, являющимися входами в программу решения прямой задачи кинематики. Блок-схема такой модели представлена на рис.
2.26. 2.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В этой главе мы рассмотрели прямую и обратную задачи кинематики манипулятора. Были определены параметры звеньев и сочленений манипулятора, а для описания положения звеньев относительно фиксированной системы координат было введено понятие однородной матрицы преобразования размерностью 4 )4 4. Для шестизвенного манипулятора типа Пума получены соотношения, решающие прямую задачу кинематики. Сформулирована обратная задача кинематики. С помощью метода обратных преобразований получено решение обратной задачи в эйлеровых координатах. Метод обратных преобразований позволяет решать обратную задачу кинематики простых манипуляторов, однако он ие дает возможности раскрыть геометрический смысл задачи.
В связи с этим иа примере решения обратной задачи кинематики шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями рассмотрен геометрический подход. В решении использовались три индикатора конфигурации манипулятора (РУКА, ЛОКОТЬ, ЗАПЯСТЬЕ). Для шестизвенного манипулятора типа Пума существует восемь различных решений обратной задачи кинематики: четыре — для первых трех сочленений, и каждому из этих четырех соответствуют еще два воз- 93 Литература Упражнения 0 1 0 1 1 0 0 !ΠΠ— 1О О 0 — 1 О 20 0 0 — 1 1О О 0 0 1 0 Π— ! 9 0 0 0 1 94 можных решения для трех последних сочленений.
Правильность решений прямой и обратной задач кинематики может быть проверена с помощью моделирования на ЭВМ. При соответствующих изменениях и дополнениях геометрический подход может быть обобщен для других простых промышленных манипуляторов с вращательными сочленениями. Рассмотренные в этой главе понятия, связанные с кинематикой манипуляторов, будут широко использоваться в третьей главе для вывода уравнений движения, описывающих динамику манипулятора. Дополнительный материал по теории матриц можно найти в книгах Беллмана [21], Фрезера [82] и Гантмахера [92], О применении матриц для описания положения в пространстве твердого механического объекта можно прочесть в статье Дена- вита и Хартенберга [57], а также в книге этих авторов [!16].
Дополнительный материал об однородных координатах имеется в работах таких авторов, как Дуда и Харт [66] и Ньюмен и Спрулл [212]. Основные вопросы кинематики рассмотрены в статье Ли [154]. Более подробно этот раздел освещен в работах Хартенберга и Денавита [1!6], Зуха и Радклифа [273]. Хотя матричное описание взаимного расположения звеньев дает способ последовательного решения прямой задачи кинематики, векторный подход к этой задаче позволяет получить решение в более компактной форме. Это обсуждается в работе Чейза [41]. К числу других книг по кинематике роботов можно отнести работы Пола [229], Ли, Гонсалеса и Фу [163], Снайдера [270].
В докторской диссертации Пайпера [235] обратная задача кинематики решается алгебраическими методами. Решение этой задачи методом обратных преобразований рассмотрено в работе Пола и др. [231]. Геометрический подход к решению обратной задачи кинематики шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями основан на работе Ли и Цайглера [168]. Решение этой задачи для станфордского манипулятора можно найти в работе Левиса [169]. Другие способы решения обратной задачи кинематики можно найти в следующих работах: [56, 69, 149, 284, 318, 319, 321]. Наконец, последние работы по робототехнике содержатся в учебном пособии Ли, Гонсалеса и Фу [163].
2.1, Найдите матрицу поворота, являющегося результатом последователь- наго выполнения поворотов сначала на угол 30' вокруг оси 02, на 60' вокруг оси ОК и затем на 90 вокруг оси ОУ. 2 2. Найдите матрицу новоро>а, являющегося результатом последователь. наго выполнения поворотаа сначала на угол Ч> вокруг оси ОК, иа угол ф во. круг оси О]уг и затем на угол 6 вокруг оси ОУ, 2.3. Найдите последовательность поворотов, отличную от описанной в задаче 2.2, но имеющую ту же лгатрицу результирующего поворота. 2.4. Выведите формулы для з!п(ф+ 6) и соз(ф+ 6), раскрывая выражение, представляющее матрицу суммарного поворота в виде произведения л>ат.
риц элементарных поворотов. 2.3. Определите матрицу Т, описывающую результат последовательного выполнения следующих преобразований: поворот на угол сс вокруг оси ОК, сдвиг на 3 единиц длины вдоль оси 02 и затем поворот угол Ч> вокруг оси О)>. 2.6. Определите в соответствии с рис. 2.27 однородные матрицы преобра вований ' 'А> и 'А; для > = 1, 2, 3, 4. 3. Рис 227. Схема систем координат для упражнения (2.6) нахождения одно- родной матрицы преобразования, 2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
