Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Не зависят от распределения массы также и величины д!. Таким образом, 1 '! 1 [) ) Р. () )Р. (Р ) Р',2,1,1. !2.2.26! р 11=1 Интегральный член в скобках представляет собой матрицу инер- ции 3! 1-го звена Л =- ) )г)гг г(т = 1 ! 2 (3,2-1 7) Если воспрльзоваться тензором инерции 1;), по определению равным где индексы О /, й принимают значение хь у; или аь обозначая оси 1'-й системы координат, а бп — так называемый символ Кро- некера, то матрицу Л! можно представить в следующей форме: — ~хх+ !уу+ !' хг ~уг т,у) ~хх ~уу + Лгг /ху Ухх+ ! уу — ~., т,г, /хг /уг т)х, т)у! (3.2-1 8) здесь 'г) =(хь уь г1,!) г — однородные координаты центра масс 1-го звена в 1-й системе координат.
Формулу (3.2-18) можно р Тр АЛВ ~ а.1 1 )09 )08 умножения состоит в перестановке третьей и четвертой строк матрицы 1-'А, и последующем обнулении элементов всех строк, кроме третьей. Смысл использования матрицы ()1 состоит в том, чтобы сохранить в формулах матрицы 1-'А; и все операции производить только с ними. Определим величину, характеризующу)о эффект взаимодействия сочленений, следующим образом: дп . 'А1- 1()( 'Ау 1Яу ~Ао если 1~ай„р/; д, ~'И!1я 'Ау 1Яу 'А; 1)?[ А1, если 1~~/)й; (3,2-13) О, если 1 < / или 1' ( й. Например, для манипулятора е вращатальными сочленениями при) / /1=1 и 01 О)имеем А,) ..(,1( а)А1 дв, дв! 3.2.2.
Кинетическая энергия манипулятоа Зная скорость произвольной точки каждого звена манипулятора, найдем кинетическую энергию )1хго звена. Обозначим через К) кинетическую энергию 1-го звена (1'=1, 2, ..., и). Пусть 2(К1 обозначает кинетическую энергию элемента массы )(т 1'-го звена. Тогда 2(К 1/ (22+ уу+ х2),(т 1,! след (!1 (/г) ~(т — /2Тг(и!(/1) ( . (3.2-1 4) Здесь вместо скалярного произведения используется оператор Тг (след матрицы)'>, что в дальнейшем позволит перейти к матрице инерции 3, )его звена. Подставляя в выражение (3.2-14) значение у1 из равенства (3.2-12), получаем следующее выражение для кинетической энергии элемента массой 2(т! ! 2(К)= '/,Тг ~ ~ р 1 1 1/уТг [ ~ р 1 — 1,1 [К ) х,у.
р(т ~ х)у,р(т ~ х г,. 2(т ~х, ( ~ х,у,. 1(т ~у,,( ~ у,.г,. 2(т ~ у,)(т ~ х)г,. Йи ~ у г,. г/!и ~ г2; 2(т ~ г,. р(т ~ х, Йи ~ у,. р(т ~ г,. р(т ~ р(!и также записать в виде з 2 2 зй ~ + Ьмз + Ьззз 2 азиз Вм! 1з122 + Ьззз 3 2 з 3 Кзз ~'и + Ьыз л зз з 3 3 2 2 Фыз лйз л л К ХК,=Ч ХТ ~Х ~ и 3!) Чд1= еа ' заалев л ='1з ~~' ~, ~~(Тг((), 3,!)г) д Ч,з(.
(3.2-20) Отметим, что величины 3, (1= 1, 2, ..., и) зависят только от распределения массы 1-го звена в ззй системе координат и не зависят ни от положения, ни от скорости звеньев. Это позволяет, однажды вычислив матрицы 3ь использовать полученные значения в дальнейшем для вычисления кинетической энергии манипулятора. 3.2.3. Потенциальная энергия манипулятора Обозначим полную потенциальную энергию ыаиипулягора через Р, а потенциальную энерппо 1-го звена — через Рь Тогда Р.= — т,пзг.= — т,п(зА,'.г,), 1=1, 2, ..., п, (32-21) Суммируя потенциальные энергии всех звеньев, получаем Р = ~~' Р, = ~~' — т и ("А'г,), з=! (3.2-22) Здесь к = (лл, йа, к„О) — всктор-строка, описывающая гравитационное ускорение в базовой системе координат.
В земной системе координат я = (О, О, †)й(, 0), а ч †-ускорение свободного падения на поверхности Земли (и = 9,8062 м/сз), 110 Здесь Кла = Тга1т; и 1, й = 1, диус-вектор центра масс 1-го звена. Таким образом, полная тора равна (3.2-1 9 2, 3, а 'г;= (хь уь г !)' — развена в системе координат ~'-го кинетическая энергия манипуля- 3.2.4. Уравнения движения манипулятора Используя равенства (3.2-20) и (3.2-22), запишем выражение для функции Лагранжа л л Е. = '!з ~ ~ ~~' 1(Тг (1),,3,1)!„') д.дД + ~ т,.ц ("А,'г,.) (3.2-23) Подставив это выражение в уравнение Лагранжа, получим выражение для обобщенной силы ть которую должен развить силовой привод 1-го сочленения, чтобы реализовать заданное движение 1-го звена манипулятора л 1 т;= д ~д; ~ — д =~~ ~ Тг(з! яцг)д + дд дд, 1=з а=з л 1 1 л + ~ ~~ ~ ~~Тг(!),.
3,!)г,) д д' — ) т,.п()г,г,. 1=1, 2, ..., п. 1 за=1т! 1=з (3.2-24) Выражение (3.2-24) можно представить в следующей более простой форме: л л л т;= ~'„Рмда+ ~~'„~~'„Ьм,„дзд +со 1=1, 2, ..., п, (3.2-25) а=~ ж=~ или в матричном виде т(1) = Р (г((1)) з)(1) +)з(з)(1), 9(1))+ с(з!(1)), (3.2-26) где т(1) — вектор (размерностью иХ 1) обобщенных сил, создаваемых силовыми приводами в сочленениях манипулятора: т (1) (т1 (1) тз (1) ° т (1))г (3.2-27) 9 (1) — вектор (размерностью п Х 1) присоединенных переменных манипулятора й(1) =(Ч (1), Чз(1), ", Ч.(1))г; (32-28) з!(1) — вектор (размерностью и Р,'1) обобщенных скоростей 9(~)=(Ч (1), Чз(), ., Ч.())' (3.2-29) 11(1) — вектор (размерностью и К!) обобщенных ускорений '! (1) (Ч~ (1) Чз (1) ' ' ' Чл (1)) 1 (3.2-30) Р (9) — симметрическая матрица размерностью и Х и, элементы которой даются выражением л Оза= ~ Тг(4) 311)т), 1, 1г= 1, 2, ..., кч (3,2-31) 1-тал11, Ц 13(п, и) — вектор (размерностью иХ 1) кориолисовых и центро- бежных сил 13(п, и) =(Ьь Ьь ..., Ь„)т, Ь! — — Х Х Ь13тт)3Чт 1=1.
2 (3.2-32) 3-! 64-1 6 тг(и, З.итп) 1, Ь, Ги=1, 2, ..., и; (3.2-33) 1- аХ!1,3,34! с(41) — вектор (размерностью и Х!) гравитационных сил с(о) =(с„с„..., с„)", 4 с,.= ~ ( — и31ди!чг), 1=1, 2, ..., и. (3.2-34) ! ! 3.2.3. Уравнения движения манипулятора с вращательными сочленениями Конкретизация равенств (3.2-26) †(3.2-34) для шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями приводит к следующему виду членов уравнений, определяющих динамику движения манипулятора. Матрица 0(6). Исходя из равенства (3.2-31), имеем (3,2-33) Р (О) = где 0 = 7Г(и 1 ип) + 7Г(и 1 и4!) + ТГ(и3! IзиЯ) + тг (и44Л и41)+ + Тг (изз)зиз!)' 0п 0м 01з 012 0,2 023 0!з 0м 0зз 014 0м 034 0м 0м 0тв О!6 026 036 014 015 024 05 0!34 0~35 044 045 045 0м 0, 0 016 0 036 0„ 056 066 0,=7Г(и,,3 ит)+ тг(и.„.)зи,)+ Тг(и,.) ит)+ т (и,1 ит)+ + т!' (и62')6и62) 0 =0 =т,(и 3 и;)+т (идит,)+тг(и ~.ит,)+ 1 у (и 16ит) 0, — 7,(и,)зи23) 1- тг(и .),и~~)+ Тг(и„Л,изз)+ Тг(и„д,и~,), 0 =0 =Тг(и...)„изт)+Тг(и..) изт4) 0 =т.(из„~.и').
Ьп, Ь!26 Ь136 Ь146 Ь!56 Ь. 166 Ь!15 Ь!25 Ь зз Ь!45 Ь!55 Ь!56 Ь1!3 Ьн4 Ь!23 Ь124 Ь!зз Ь!з4 Ь134 К!4 Ь!35 Ь!45 Ь136 Ь446 Ьгя Ьцз Ь1„Ьги Ьпз Ь!ю Ь1 14 Ь!24 Ь115 Ь125 Ь!!6 Ь!26 1'=1,2,...,6, (3.2-36) Пусть скорости изменения всех шести присоединенных переменных манипулятора характеризуются вектором О: 6(е) =(О (г), 62(!), ..., О (г)). ' (3.2-3?) 113 Вектор 13(6, О).
Коэффициенты при обобщенных скоростях в выражениях (3.2-32), (3.2-33) для центробежных н кориолисовых сил можно сгруппировать в матрицы Н,, следующего вида: С учетом (3.2-36) и (3.2-37) равенство (2.2-32) можно представить в виде следующего произведения матриц и векторов; йЗ=О НЗ,О (3.2-38) ОтН ОСН,,О о н,,о ОгН,,О ОСНЗ,О о н,о й, йз (3.2-30г 1 (Е, О) = Вектор гравитационных сил с(0). Из равенства (3.2-34) имеем с (О) = (с!, см сз, с», сб сб) (3.2-40) где (т,о()!,г, -1- твом()'-',г + т оЦз,г + т 0()4,г„+ т дЦ,ГЗ+ т 01)бб!г ), (тли 13-',»гз + тзо))~з.,гз + т $;«)»»г» + тбк 1)бзгб + тбв()бзгб)' (тзк()ззГ + т!в()»зГ + т~ф()бз б + тбй бз б), ,п()»,г, + т,й1)б,г, + т,дЦ,г ), (тд()'г +т цЦг), т,д0'бг,.
с =— 1 с =— З с =— б Коэффициенты с„Рм и й„в выражениях (3.2-31) — (3.2-34) являются функциями как присоединенных переменных, так и динамических параметров манипулятора. Их часто называют динамическими коэффициентами манипулятора. Физический смысл динамических коэффициентов легко понять из уравнений (3.2-26) — (3.2-34), описывающих динамику движения манипулятора.
1. Коэффициенты с„определяемые равенством (3.2-34), учитывают силу тяжести, действующую на каждое из звеньев манипулятора. !!4 Здесь индекс с' указывает номер сочленения (! = 1, 2, ... 6), в котором измеряются моменты и силы центробежного и кориолисового типа. Рассматривая (3.2-38) как выражение для компоненты шестимерного вектора п(0, О), мажем написать 2. Коэффициенты Р;„определяемые равенством (3.2-31), устанавливают связь действующих в сочленениях сил и моментов с ускорениями присоединенных переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
