Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ими были получены различные формы уравнений Ньютона — Эйлера для описания движения разомкнутой кинематической цепи [6, 223, 185, 299]. Такой подход приводит к системе прямых и обратных рекуррентных уравнений, позволяюших сократить затраты времени на вычисление зачанных моментов до пределов, допускаюших реализацию управления в реальном времени. Бывал этих уравнений основывается на принципе Д'Аламбера и ряде соотношений, описывающих кинематику звеньев манипулятора в базовой системе коорлинат. Прежле чем обратиться к выводу уравнений динамики движения манипулятора, мы напомним некоторые сведения относительно подвижных систем координат.
122 3.3.!. Вращающиеся системы координат В этом разделе получены соотношения, устанавливающие связь между врашаю1цейся и неподвижной инерциальной системами коорлинат. Затем полученные соотношения распространены на подвижную систему координат, участвуюшую одновременно в поступательном и вращательном движениях относительно инерциальной системы. Рассмотрим две системы координат (рис. З,З): неподвижную инерциальную систему координат ОХИ и "$Ч вращающуюся систему координат ОХ*У*Х*. Начала этих систем совпадают и расположены в точке О, а оси ОХ", ОУ', ОХ* вращаются относительно Ъ' осей ОХ, ОУ, ОХ.
Пусть (1, ), 1с) и (1*, 1', 1с )— тройки единичных векто- l х ров, направленных вдоль основных осей систем ОХИ ОХ" У*х соот рис за врашаюшаиси система координат и ветственно. Положение точки г, неподвижной относительно системы координат ОХ"У*2', можно описать следующими двумя способами; г = х1+ у1 + г)с, Г=х1*+У1 +2)с ° (3.3-2) Найдем скорость точки г. Поскольку рассматриваемые системы координат врац(аются относительно друг друга, скорости точки г(1) будут различны в этих системах. В дальнейшем будем различать скорости произвольной точки в системах координат ОХУХ и ОХ*У'Х', используя следующие обозначения; — — скорость в неподвижной системе координат ОХУХ; и'( 1 ш (3.3-3) — — скорость в подвижной вращающейся системе (3.3-4) И'( 1 ш координат ОХ*У Х*.
Из выражения (3.3-1) получаем скорость точки г(1) в системе ОХИ: — „, = х(+ у1 + Ж + х — + у — + з — = х! + у1 + гй. (3 3 5) ос ..... д( и! и'(с 12З С учетом равенств (3.3-2) и (3.3-6) можно получить следующее выражение для скорости точки г(У) в системе координат ОХУХ: — „, =х'1'+ у*у'+ г'(с + х' — „, +у" — „, + г' — (3.3-7) гг .гп* .лу .ай* = — +х* — +у +х сц Ж И( Ж Здесь мы сталкиваемся с 4У!"/д(У, г(у'/г(У и г((с*/гУУ, об трудностью вычисления производных условленной тем, что векторы !', у', ус' врашаются относительно векторов у,у, !с. Чтобы найти соотношение между скоростями точки и в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система ОХ*У*3* вращается вокруг некоторой оси ОЯ, проходящей через точку О, с угловой скоростью «т (рис.
3.4). Угловая скорость врашения системы координат ОХ*У*В* представляет собой по определению вектор длины «а, направленный вдоль оси ОЯ в соответствии с правилом правой руки. Рассмотрим вектор з, неподвижный относительно системы ОХ*У*У". Покажем, что скорость точки, положение которой задается вектором з, в системе координат ОХУХ равна —,( =«т Х з. (3,3-8) Рис. 3.4.
Скорость ио аращам щейся системе координат. Поскольку производная вектора определяется равенством оа ° а ((+ ог) а (г) (3,3-9) 1г->е справедливость выражения (3.3-8) можно доказать, убедившпис, что а(Г+ дг) а (т) (3.3-10) дг-ье 124 Дифференцируя равенство (3.3-2), получаем скорость точки г(У) в системе координат ОХ" У*У': Л*г,, ...,,, ° Ф'1', д'У' . ИЪ' — =х! +у!*+21 +х — +у — =х и( гй Ж А = х'!" + у")'+ з'(1'.
(3.3-6) Учитывая, что равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, покажем, что векторы в левой и правой частях равенства (3.3-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора «т Х и равна 1«ахз(=«> з гнпО (3.3-1 1) Если величина /зУ достаточно мала, то из рис. 3.4 очевидно, что ~ Лз ~ = (з и!и О) (го Ж). (3.3-12) Тем самым доказано равенство длин векторов в левон и правои частях равенства (3.3-10) В соответствии с определением векторного произведения вектор «т Х з перпендикулярен вектору з и лежит в плоскости окружности, изображенной на рис.
3.4. Применив формулу (3.3-8) к единичным векторам 1», у*, й*, из равенства (3.3-7) получаем с(г и" г и'г — „, = —,т + х" (ы Х 1*) + у (ы Х у*) + х" (га Х й) = — „, + ы Х г. (3.3-1 3) Это основное соотношение, определяющее связь между скоростями одной н той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продпфференцировав левую и правую части равенства (3.3-13), имеем наг л гл*гч Иг г(га — = — („" — !+ х — + — х.= Л( ~ Д( .1 г(( сн и'аг и'*г г д*г 3 ые = — „, + го Х вЂ” „+ «т Х ) — „+ со Х г ) + д Х г = л(' ьи ( Л( Л( с(*аг о'г и'га = —,, + 2«а Х вЂ”,+ г«Х(«т Х г)+ ( Хг.
(3.3-14) Равенство (3.3-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части этого равенства представляет собой ускорение рассматриваемой точки в системе ОХ'УеЛ*. Второе слагаемое описывает кориолнсово ускорение. Третье слагаемое есть центростремительное ускорение, направленное к оси вращения и перпендикулярное ей, Четвертое слагаемое исче. зает при постоянной угчовой скорости. 3.3.2.
Подвижные системы координат В этом разделе мы рассмотрим подвижные системы координат, которые могут участвовать как во врашательном, так и в поступательном движениях относительно некоторой неподвижной инерцнальной системы координат. На рис. 3.5 изображена подвижная системз координат О'Х'Уя_#_', которая совершает вра)цательное и поступательное движения относительно инерциальной системы координат ОХУХ. Положение материальной (йз г = г" + Ь.
(З.З-! 57 З,З.З. Кинематика звеньев г! р, .,= „,'+еаг,Хр,+.. и (3.3-20) (3.3-2!1 ву. = гв,, + оу'., 127 126 точки р, обладающей массой гп, относительно систем координат ОХИ и О'Х" У"Я' задается векторами г и г' соответственно. Положение точки О' в системе координат ОХИ определяется вектором п. Соотношение между векторами г и г' дается выражением (см. рис. 3.5) Если система координат О*Х'У'Хь движется относительно системы ОХИ, то (3.3-16) где в' и ч — скорости точки р в системах координат О'Х' У*У* и ОХИ соответственно, а ма — скорость подвижной системы ко- Рис. 3.5.
Подвижиая система координат. ординат и О"Х'У*У' в инерциальной системе ОХИ. С учетом равенства (3.3-!3) выражение (3,3-!6) можно представить в виде тг (1) = — + — = — „+ ву Х г' + †. (3.3-17) и'г' е Л гу*г* ггл Аналогично ускорение точки р относительно системы координат ОХУк, можно представить в виде а (() = —, = — „,д + — д — — а" + а„, 3.3-18) гГч (Г) гГег' ФЬ где а' и а — ускорения точки р в системах координат О'Х'У*2" и ОХИ соответственно, а аь — ускорение системы координат и Имеется в виду скорость точки О", — Прим, верее О'Х*У'л' в инерциальной системе координат ОХУХ.
С учетом (3.3-14) равенство (3.3-18) можно представить в виде д "г' и'"г' Лев . ать а(7)= — „, +2вУХ вЂ” +вУХ(вУХг*)+ и Хг*+ (3.3-!9) Полученные соотношения для подвижных систем координат мы в дальнейшем применим к системам координат звеньев манипулятора, определенным нами в главе, посвященной кинематике манипулятора. Уравнения движения выведем, применяя к таким подвижным системам координат принцип Д'Аламбера. В этом разделе мы выведем уравнения, основывающиеся на полученных выше соотношениях для подвижной системы координат и описывающие кинематику звеньев манипулятора в базовой системе координат. Напомним, что ортонормированиая система координат (х, ь у; ь г,,) связана с осью рго сочленения (рис, 3.6). Системы координат (х, ь у, ь х, 1) и (хь у„х,) связаны с (1 — 1)- и г-м звеньями и имеют начала в точках О' и О' соответственно.
Положение точек О' ц О' в базовой системе координат опреде. ляется векторами р, н р, 1 соответственно. Относительное положение точек О' и О' характеризуется в базовой системе координат вектором р,. =р, — р, Предположим, что система координат (х; ь у, ь вч ~) имеет относительно базовой системы координат (х,, уо, хо) линейную скорость тг,, и угловую скорость «т,, Пусть ы, и «т", — угловые скорости точки О' в системах координат (хе, ув, ав) и (х, ь у, ь г, ~) соответственно.
Тогда линейная скорость ю и угловая скорость еь системы координат (х„ у„ г,) относительно базовой системы координат с учетом равенства (3.3-17) определяются выражениями где с!'( )/Ж означает скорость в движущейся системе координат (х, ь у,, г,,). Линейное ускорение то и угловое ускорение ви системы координат (х,, у„х,) относительно базовой системы координат с учетом равенства (3 3-19) определяются выраже- ниями (3.3-22) (3.3-23) если 1-е сочленение— поступательное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
