Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если рФс/, это кориолисова сила, действующая в (-м сочленении. Второе и четвертое слагаемые в выражении (3.4-26) описывают силы кориолиса, обусловленные соответственно поступательным движением всех звеньев с номерами, меньшими з, и поступательным движением з-го звена. ° Слагаемое /!",""((О, 9) также связано с постоянной скоростью изменения присоединенных переменных. Аналогично равенству 3.4-26 равенство (3.4-27) описывает суммарный момент центробежной и кориолисовой сил, возникающий в 1-м сочленении как следствие движения в р-м и с/-м сочленениях, ио в отличие от и,""'(9, 0) обусловленный вращательным движением р-го и (/-го звеньев.
Первое слагаемое в равенстве (3.4-27) описывает чисто кориолисовы силы инерции, действующие в 1-м сочленении вследствие поступательного движения р-го и (/-го звеньев. Второе слагаемое описывает сумму центробежной и кориолисовой сил инерции, действующих в (-м сочленении. Если р =с/, это центробежная сила, действующая в /-м сочленении; если р ~ (/, это кориолисова сила, вызванная вращательным движением р-го и (/-го звеньев. ° Коэффициент с( характеризует силу, с которой звенья с номерами, большими (', воздействуют на Ре сочленения под действием силы тяжести.
Таб тано З.у. Сравнение вычислительной сложности различных форм уравнений динамики движения манипулятора !) Обобщенные уравнения Д'Алзмбсрз Урввнснии Ньютона Эй- лера Урнвисаия Лагранжа — Эйлера )З2 п Число операций умножения Число операций сложения Кипематическое описа- ние ! 28/Зп' + 512/Зп' + + 739/Зпз + 160/Зп 98/Зп4 + 78!/бпз + + 559/Зп' + 245/бп 18/бп' + 105/2пз + + 268/Зп+ 69 4/Зпз + 44пз +!46/Зп+ 45 111 и — 4 Однородные матрицы размерностью 4 ух 4 Матрицы поворотов и векторы положения Рекуррентные уравнения Матрицы поворотов и векторы положе- ния Замкнутая система дифференциальных уравнений форма уравнений движе- ния Замкнутая система дифференциальных уравнение 151 )) н †чис сгспснсй свободы манипулятора. Расчет числа исобходиммх опсрвиий ПРОИЗВОДИЛСИ бев ПРСДВВРИРЕЛЬНОй Оитниивяднн УРВВНСНИй.
На первый взгляд для решения уравнений (3.4-25) — (3.4-28) требуется большое количество вычислений. Однако большинство входящих в них векторных произведений вычисляются очень быстро. Вычислительная сложность полученных уравнений видна из блок-схемы (рис. 3.9), подробно описывающей процедуру вычисления динамических коэффициентов в каждой расчетной точке траектории манипулятора с указанием числа необходимых операций сложения и умножения.
Табл. 3,5 позволяет провести сравнение вычислительных трудоемкостей трех полученных нами форм представления уравнений динамики движения манипулятора. о Ф с' 3 Х Е о о Х М Ф о Ф Х «. с "г" ° г« Ф с Ф~«Ф>« о сс х м с ! в1«с "с «„ 1' и + 1 ° Фгсс % «>сс Х Х сг Х Х 2 аи Х '/> Ф Х* о гг Ф о 3 с с с ° Ф к и Ф" й !« и + г. й э й1« + Фг « Х а о « й о Х ! а Ф о Х Р с о Х Ф Ф О к ач о о'о Х л> оо ой «>я' г о о Х гл з сс Л + Л сг В Ю Ф~ с Ф с с ~ ~« 3.4.1. Эмпирический подход к формированию упрощенной динамической модели Полученные нами обобщенные уравнения Д'Аламбера (3.4- 24) — (3.4-28) упрощают, в частности, решение задачи построения приближенной динамической модели манипулятора, необходимой для выбора закона управления манипулятором в пространстве пеоеменных состояния.
Аналогично уравнениям Лагран>ка — Эйлера обобщенные уравнения Д'Аламбера содержат в явной форме слагаемые, характеризующие по отдельности влияние сил инерции, обусловленных ускоренным движением звеньев, кориолисовой и центробежной силами инерции. Более того, эти уравнения позволяют вычислить по отдельности и сравнить влияние сил инерции, обусловленных вращательным и поступательным движением звеньев в каждой точке траектории манипулятора. На основе такого сравнения при построении уп« рощенной динамической модели слагаемыми, мало влияющими на возникающие в процессе движения манипулятора силы и молгеиты, можно пренебречь.
В качестве примера рассмотрим динамику движения робота Пума 560 вдоль заданной траектории. На рис. 3.10 и 3.11 приведены графики зависимости от времени динамических коэффитории. Число расчетных точек траектории равно 31. Графики, приведенные на рис. 3.10, соответствуют коэффнпиентам Огг'"" н г!!г". которые характеризуют силы инерции, обусловленные ускоренным движением звеньев. На рис. 3.11 показано поведение слагаемых йг"' и )гг"" связанных с центробежной и корчолисовой силами.
На каждом нз рисунков представлены трн кривые, отражающие отдельно влияние сил инерции, обусловленных поступательным и вращательным движениями звеньев, а также их суммарное влияние. Из анализа графиков, приведенных на рис. 3.10, можно сделать следующие выводы, позволяющие сформировать упрощенную модель динамики манипулятора: 1зз — Результат братиательного ббимсения Результат поступательного дбимсения а — а суммарный мрреят браи4апмльного и пббтугагВЮЭЕЕнгЮО Яраэааащф ОлЯ7 00077 угрб "Рггг 5Ю7 габВЮ Рдгб 7В7В Р бОО ааа 1ВОО ВООО ОООО О ВОО 1гоо 1ВОО ОООО Зоаа Вреая, мс Время, мс -Вбуг Рл71ВВ ОЗВВ РРО РОР1б "г ВО Р ВОО 1гао 1ВОО гсба гррр ' О РРР 1гРО 1ВОР ВВОР ВРРФ Врслея, лсо Время, мс 4О1 Рис.
ЗВО. коэффициенты Ро, опРеделиюшие Реакпню на ускоРенное движе- ние знсньев. По осн ординат отложены числоаые аиачеииа элеиентоа натрии, 155 454 .РВ7Я -озгрг О ВОО ггбо 1баз геао яжю О Время, лтс О о ВОО 1гоо 1ВОО гмдлме О Время, мс -В,В7О Р ВОР 1гРО 1ВОР ВВРО гю и Время..ес фас 7 Роглг О ВОО ггоо 1еоо гббо зало О Время, мс ВРР 1гао 1ьаг грсЮ гкЫ Время, мс ВОО 1гао 1мю глсо заар Время, мс ВОО аи 1ВОО гею ВОРУ Время, мс ВОО 1гоо 1ВОО глоб ббсву Время, мс "ф 11О Р ВОО ггю рбю ВВОО ОООО Врсмяэ мс ВВВР Р РРО 1гОО 1ВОО гООР РРРР бремя, мс -ООО1 О бОО 1ВОО 1ВОО гООО ВОР4р Время, мс 1270 -О ОР1З -о 00000 о -1аг о в12070 000 1гоо 1200 гьоо оооо Времна мс 000 1200 1000 2000 Зобо ВрЕМН, Мо 21 аз07 707 г 772 21070 о доо ггоо 1000 2000 ЗООО Времла мо 01110 0 боо 1200 1000 гооо 20010 брема, мс 2200 дгг1 $11З Я,бб -бозу Продолжение рис, 3.10.
Збб -0000 Вау о аю 7200 1000 гддд а00 Вродгзг, ж 1) Влияние сил инерции, обусловленных поступательным движением звеньев, преобладает в коэффициентах Рзз, Озь Рзз, 0зз и Рым 2) Влияние сил инерции, обусловленных вращательным движением звеньев, преобладает в коэффициентах Ваа, Р, Раз И Реа. 3) В остальных элементах матрицы 0 составляющие, обусловленные вращательным н поступательным движением, равноценны. На рис.
3.10 графики, показывающие поведение коэффициентов 0 в" и 0"„-"' имеют разрывы. Это связано с ошибками округления, возникающими при моделировании на ком- ° — м Результат бра и1ательнаеа дбижвнил резульгпат наступа птельнаеа 01иженил ь — а суммарный ьзарент драиеательнсеа ипсступательнат аеижепий зубго О 01г77 0 боо 1200 юоо гол оооо о ~ж 1200 1200 гьоо яю ,фахми, ис' Време, .ис а1170 3002 -ож Ооб О бато ПОО 1доо гйоо Ладо О 000 12ОО 1200 геоб Лж Врсмл, лтс Зрелое, мс 1702 -ооой О 000 1200 1000 горо ЗООО ' О Ооо 1гОО 1200 гьоа ЗООО Вы.аат, мс Време, мс 1зис, 3,11. Слагаемые Ьо обусловленные иориолисовым н центробежным уско- рениями. По осн ординат отложены числовые аначенна алементов матрац. пьютере ЧАХ-11/780.
Величины этих коэффициентов очень малы по сравнению с коэффициентами, характеризующими влияние сил инерции, обусловленных вращательным движением звеньев. Анализ графиков, приведенных на рис. 3.11, позволяет сделать следующие выводы: 1) Вращательные составляющие преобладают в коэффициентах иь утз, Ьз. 2) Поступательная составляющая вносит определяющий вклад в коэффициент 7за. 3.4.2. Пример! двухзвенный манипулятор Запишем для двухзвенного манипулятора (рис. 3.2) обобщенные уравнения Д'Лламбера. Полагая массы звеньев равными т! и то и считая, что каждое из звеньев имеет длину 1, находим тензоры инерции этих звеньев О О О 1,= О 1/12тоР О О О 1/12то1о О О О О 1/12!п Р О О О 1/12т, Р Требуемые матрицы поворота имеют следующий вид: С,— З,О За С, О О О 1 С,— Я,О ! С! О О 1 йг= С,о — Я!о О 'йа ='й1'йа = 5!о См О О О !й (ой )т гй (ой )т где С, = сов йо 8, = з(п Оп Сп — — сов (О, + О,), 8! = з!п (Ог + О,), Такие характеристики манипулятора, как р"„сп г, и р„ определяются следующими выражениями: 1см 131,, Ро = О 1(С, + С„) 1(о + о!о) О Рг=рг= 131 О Рг = — С 2 !о 1С, + — С„ '+ 2 О с,=г, = со —— — 5! 2 О 3) Вклады вращательной и поступательной составляющих в коэффициенты 1го и йо равноценны.
Сделанные выводы справедливы для конкретной рассмотренной траектории движения. Упро!ценная модель, получаемая в результате отбрасывания слагаемых, оказывающих несущественное влияние на динамику движения манипулятора, учитывает основные действующие на звенья силы н моменты и при этом требует значительно меньших вычислительных затрат, чем полная модель. Это существенно упрощает разработку законов управления манипулятором. Пользуясь равенством (3.4-25), находим элементы матрицы 01! = ('йога)" 1, (' його) + (' його)' 1о (' його) + + т (го Х с!) (го Х г!) + !по !!га Х (Р! + со)~ ' (го Х го) +(О, О, 1)1, О + (О, О, 1)1, Π— С1 2 — С, 2 Я. +т! — Я! 2 О + —,С„ + — о!о 2 1С,+ 2Сы ! Ях О =1/Згп!1о+ 4/Зт,Р+ Сот,Р, 1'!о=/22! = ('його)'1о('йог!)+ то(г, Хс,) (г, Х г,) = — 1/Згп,Р + 1/2т,С,Р, /Зоо = ('й,г,) 1, ('й,г,) + т, (г, Х с,) (г! Х (г, — р,)) = = 1/12п!о(о+ 1/4тоР = 1/Зт,(о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
