Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 27
Текст из файла (страница 27)
3.15. 3.7. Предположим, что куб из упр. 3.5 был повернут на угол а вокруг осн к„ а за|ем на угол О вокруг оси и. Определите тензор инерции в системе координат (хм ум зо). 3.8. Рассмотрите упр. 3.7 для прямоугольного параллелепипеда иэ упр. 3.6. 3.0. Мы выяснили, что уравнения Ньютона — Эйлера в применении к за. даче описания динамики движения манипулятора значительно более эффективны э вычислительном плане, чем уравнения Лагранжа — Эйлера. Тем не менее некоторые исследователи все-таки пользуются уравнениями Лагранжа — Эйлера.
Почему? (Приведите дне причини.) 3.10. Специалист в области робототехники утверждает, что если манипулятор движется очень медленно, то слагаемые, учнтываюшие в уравнениях Лагранжа — Эйлера кориолисовы и центробежные силы и моменты, можно опустить Будут лн такие упрошенвые уравнения более эффективны с вычислительной гочки зрения, чем уравнения Ньютона — Эйлера? Обоснуйте свой ответ.
3.11. В этой главе нами рассмотрены два различных способа описания динамики движения манипулятора, а именно уравнения Лагранжа — Эйлера и уравнения Ньютона — Эйлера. Поскольку и те и другие описывают одну и ту же физическую систему, они должны быть эквивалентны. С помощью уравнений Лагранжа — Эйлера в заданной точке (6" ((г), г)'((г), йа((г)) траектории манипулятора, соответствующей моменту времени Гь мозкно определить матрицу 0(6'(Л)) и векторы Ь(6'(Л), с)" ((г)), с(6'(П)).
Попытайтесь сформулировать алгоритм нахождения этих же характеристик в этой хге самой точке траектории с помощью уравнений Ньютона — Эйлера, не используюпшй )равнений Лагранжа — Эйлера. 3.12. Решением упр, 3,11 является метод зондирования. Предположим, что для вычнсленкя управляюших моментов некоторого манипулятора требуется выполнить М операций умножения и М операпий сложения. Зная М, Ф и и, определите минимальное число сложений и умножений, необходимых для вычисления матрицы )у(д). Здесь и — число звеньев манипулятора. 3.13. В уравнениях движения манипулятора, полученных методом Лагранжа — Эйлера, вектор силы тяжести 6 представляет собой вектор-строку нида (О, О, — )6), О), где отрицательный знак соответствует земной системе координат. В уравнениях Ньютона — Эйлера в соотнетствии с табл.
3.2 алия. ние силы тяжести учитывается в земной системе вектором (О, О, )д))г, н здесь знак « — э отсутствует Объясните это противоречие 3.!4. В рекуррентные уравнения Ньютона — Эйлера входит матрица (г(1, 1,'(1,), представляющая собой тензор инерции Ого звена в (-й системе координат. Найлите связь между этой матрипей н лгатрипей инерции йь входящей в уравнения Лагранжа — Эйлера 3.15.
Сравните отличия между представлениями тепгвой скорости и кинетической энэргин в уравнениях Лагранжа — Эйлера н Ньютона — Эйлера, заполнив следуюшую таблицу: ! Метод Лагранжа — Эйлера Метод Ньютона-Эйлера Угловая скорость Кинетическая энергия Хй жа Рис.
3.16 Рис. 3.17. 163 3.16. Двукзвенный манипулятор, показанный на рис. 3.)6, прикреплен к потолку н находится под дейсгвием силы тяжести (и = 9,8062 м/са); (ха, уэ хо) — абсолютная система координат; 0ь Оа — обобщенные координаты; а(ь г!а — длины звеньев; и„ ща — массы звеньев. Будем считать, что масса каждого из звеньев сосредоточена в крайней точке звена. а) Найдите матрицы '-'Аь 1 = 1,2.
б) Найдите матрицу инерции Л для каждого звена. в) Получите уравнения Лагранжа — Эйлера для этого манипулятора, предварительно определив элементы матриц 0(0), Ь(0, О) н с(0). 3.17. Рассматривая манипулятор из упр. 3.16, проделайте следующие шаги вывода уравнений Ньютона — Эйлера а) Укажите начальные )словия для рекуррснтных уравнений Ньютона— Эйлера. б) Найдите тензор инерции г)ее1,еК для каждого звена.
в) Найдите остальные параметры, такие, как г)(ез и гй р;, используемые в уравнениях Ньютона — Эйлера, г) Получите уравнения Ньютона — Эйлера для рассматриваемого манапулятора, полагая, что !не, и и,, имеют нулевые значения. 3.18. Воспользуйтесь уравнениями Лагранжа — Эйлера для описания ди. наыики движения двухзаснпого манипулятора, показанного на рис 3.17.
Здесь (хо, уо, хо) — абсолютная система координат; 0 и д — обобщенные координаты; тп та — массы звеньев. Предполагаешься, что масса т, 1-го звена расположена в точке, находящейся на постоянном расстоянии га от оси вращения 1-го сочленения, а масса лга 2.го знепа сосредоточена в крайней точке 2-го звена. Глава 4. ПЛАНИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ МАНИПУЛЯТОРА Какая путаница! Но как она спланн. ролана~ Александр Поп 4.1. ВВЕДЕНИЕ Препятствия па пути манипулятора атсутствуют присутствуют Аатономное планироаанне траектории плюс регулирование хан.
жсния вдоль выбранной траектории а процессе работы мани- пулятора Автономное планирование траектории, обеспечиааююее обход препятстанй, плюс регулнроаа пне аанження вдоль выбранной траектории и процессе работы манипулятора Прису тст- аупут Ограниче. ния на траекторию манипу- лятора Отсутст- пуют Поаипнонноп упраалвнне плюс обнаружвннв и обход прспятстанй а процессе дан- жсння Поанцнонное упранле- нне Рассмотрев в предыдущих главах вопросы кинематики и динамики манипулятора, обратимся теперь к задаче выбора закона управления, обеспечивающего движение манипулятора вдоль некоторой заданной траектории. Перед началом движения манипулятора важно знать, во-первых, существуют ли на его пути какие-либо препятствия, и, во-вторых, накладываются ли какие- либо ограничения на траекторию схвата.
В зависимости от ответов на эти два вопроса закон управления манипулятором принадлежит к одному из четырех типов, указанных в табл, 4.1. Из таблицы видно, что задача управления манипулятором распадается на две взаимосвязанные подзадачи — выбор (планирование) траектории и осуществление движения манипулятора вдоль выбранной траектории. В этой главе рассмотрены различные способы планирования траекторий манипулятора при отсутствии Таблица и',7. Типы управления манипулятором препятствий на пути движения.
Введен формализм описания заданной траектории манипулятора в виде последовательности точек пространства, в которых заданы положение и ориентация манипулятора, и пространственной кривой, соединяющей эти точки. Кривую, вдоль которой схват манипулятора движется из начального положения в конечное, будем называть траекторией схаата Наша задача состоит в разработке математического аппарата для выбора и описания желаемого движения манипулятора между начальной и конечной точками траектории.
Суть различных способов планирования траекторий манипулятора сводится к аппроксимации или интерполяции выбранной траектории полиномами некоторого класса и к выбору некоторой последовательности опорных точек, в которых производится коррекция параметров движения манипулятора на пути от начальной к конечной точке траектории. Начальная и конечная точки траектории могут быть заданы как в присоединенных, так и в декартовых координатах. Более часто, однако, используют для этого декартовы координаты, поскольку в них удобнее задавать правильное положение охвата. Кроме того, присоединенные координаты непригодны в качестве рабочей системы координат еще и потому, что оси сочленений большинства манипуляторов не ортогональны, вследствие чего невозможно независимое описание положения и ориентации охвата. Если же в начальной и конечной точках траектории требуется знание присоединенных координат, их значения можно получить с помощью программы решения обратной задачи кинематики.
Как правило, траектория, соединяющая начальное и конечное положения охвата, не единственна. Возможно, например, перемещение манипулятора как вдоль прямой, соединяющей начальную и конечную точки (прямолинейная траектория), так и вдоль некоторой гладкой кривой, удовлетворяющей ряду ограничений на положение и ориентацию схвата на начальном и конечном участках траектории (сглажеиная траектория). В этой главе рассмотрен аппарат планирования как прямолинейных, так и сглаженных траекторий, Сначала мы рассмотрим наиболее простой случай планирования траекторий, удовлетворяющих некоторым ограничениям на характер движения схвата, а затем полученный способ обобщим с целью учета ограничений динамики движения манипулятора. По смыслу планировщик траекторий можно рассматривать как «черный ящик» (рис, 4.1), На вход планировщика траекторий подаются некоторые переменные, характеризующие накладываемые иа траекторию ограничения.
Выходом является заданная во времени последовательность промежуточных точек, в которых определены в декартовых или присоединенных координатах положение, ориентация, скорость и ускорение схвата и через которые манипулятор должен пройти на пути от начальной к 169 конечной точке траектории.
При планировании траектории обычно применяется один из двух следующих подходов. Первый состоит в том, что исследователь задает точный набор ограничений (например, непрерывность и гладкость) на положение, скорость и ускорение обобщенных координат манипулятора в некоторых (называемых узловыми) точках траектории. Планировщик траекторий после этого выбирает из некоторого класса функций (как правило, среди многочленов, степень которых не стееакиеекиа еа теаектелиее чений, заданных в декартовых координатах, к ограничениям, заданным в присоединенных координатах, и только после этого отыскивают среди функций заданно~о класса траекторию, удовлетворяющую ограничениям, выраженным в присоединенных координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
