Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(!85) усовершенствовали рассматриваемый метод, перейдя в уравненяях движения к скоростям, ускорениям, матрицам инерции, векторам положения центров масс звеньев, силам и моментам, выраженным относительно систем координат соответствующих звеньев. Это позволило сильно упростить вычисления. Особенно важно, что время вычисления управляющих моментов при использовании указанным образом модифицированных уравнений движения линейно пропорционально числу сочленений и не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это дает возможность реализовать алгоритм управления манипулятором в реальном времени в пространстве присоединенных переменных.
Пусть '-'К~ — матрица поворота, имеющая размерность 3 Х 3 и преобразующая произвольный трехмерный вектор из 134 системы координат (х, уь г;) в систему кооРдинат (х; ь у~ ь ). М грина '-'Й является верхней левой подматрицей матрицы '-'Аь Выше было показано, что т ('-'к,) '='к,, -('-'к,), (3.3-47) где — сова; яп О, яп а, япО; сова,. япО; — яп а, совО; сов О, '-'й, = в(п Оо 0 (3.3-48) сов а; 0 япа, сов О, япО, — сова; япО; сова;совй; в!па, яп а; яп О; — в!п а;созО; сова; Г '!4Г'= (3.3-49) (3.3-50) '(о ~~ 'и го,. -)- год;+ ( $(ого; 1) Х год|1 с-е сочленение — врашательное; с )(ого~ = ~р (' 'и ), если !-е сочленение — поступа 6~1-1 ~ ооо~ — ~ тельное; (3 3-51) (чр,',) Х (ч4т,р',.) + (чц,го,.) Х Г('((оы,) Х ( (~ К)1+ 'р (' 'р .
), если !-е сочленение — враша -т я-~ ь д' — 1 тельное; р, ~,„- + '-'К...,) + ('К,,) Х ('((,ро) + + 2 ( Кого,) Х ('!~~-1гоо)~) + + (с(о, ) Х ~('р со ) Х ('!тор*)1 если бе сочленение — поступательное; (3.3-52) !вв Вместо вычисления гон гоо ч,, ан р*,. *., в., Г, й!, !., п. и т„ заданных в азовой и б с сгеме координат, будем вычислять иые в системе координат !-го звена,хо уь ства (3 3-28), (3,3-29), (3.3-35), (3.3-39), (3,3-36), (3.3-37), ( .
-4 и (3.3-44) и (3.3-45) примут соответственно вид 'К,, (' 'Кого,, + гД;), если ~'-е сочленение —. вращательное; 1а ~о если 4-е сочленение— ого~ — ~ поступательное; 'Конг =(»Ком ) Х (»Коз!)+ (»К,ю;) Х ((»К,о»,) Х ('К,з!))+ К,~„ (3.3-53) Кот! = »уг»Коа! (3.3-54) Ко(Ч» = ( Ко)»К!) ( Кое»!) + ( Кое»!) Х [( Ко)»К!) ( Кою!)[ (3.3 оо) ы+! ! Ко(! = К! а! ( КА+!) + Ко"! (3.3-56) 'К,п, ='К,„['"Конг+!+("'Кар,') Х('"Ко(.„!)1+ +( КоР»+ Коз!)Х('Ко"!)+ Ко(Ч», (33-57) ! ('Конг)г('К! !хо)+Ьгг)! если г-е сочленение— вращательное; т! = ! г ' .
(3 3-58) Ко(!) (»К! »хо)+ Ьгг)г„если г-е сочленение— поступательное. Таблица З.З. Рекуррентные уравненин движения в форме Ньютона — Эйд лера, эффективные с вычислительной точки зрения Прямые уравнения: ! 1, 2, ..., и ! Й,, ( К„ю, + г д ), если г.е сочленение — вращательное; Каа» ! ! м ! кг,, '— к,юг,), если »-е сочленение — поступательное; гк; ,[ 'К,е, , + и ф! + ( Й ю, ,) Х г,фг[ если г-е сочленение — вращательное! Й; »( Й ю,. ), если »-е сочленение — поступательное; ! ( Ко ) Х ( Йор!) + ( Кою ) Х [( Йою!) Х ( Йор!)[ + »и гг-! Й! ! ( Кот ), если г-е сочленение — вращательное; ""г = ' ак! (гой! + ' "о'! ») + ('Йою!) Х ('Кор!) + ! +2 ( Ко"!) Х( Й! !гоб!)+( Йо'»!) Х( Коюг) Х( Йор!)) если г-е сочленение — поступательное; Коа! ( Йою ) Х ( Ко'!) + ( Кою!) Х [( Кою!) Х ( Коз!)1 + Ко" ° Обратные уравнению ! и, и — 1, ..., 1 гк ! — гк !г+!о ! о;= г+г( Ко г+!)+пи Коа! Х (»Кор,) + ('К 1»оК,) (»К ю,) + ('К ю!) Х [( К,1,'К,) (»Кою )) ( К ! ( ) (''.; о !) ( Й; »го) + Ьгфг, если г-е сочленение — вращательное; т = ( Ко !) ! Й,.
!г ) + Ь,О, если»-е сочленение — поступательное. Здесь хс = (О, О, 1)г, а Ь! — коэффициент вязкого трения в 1-и сочленении. Стандартный вид начальных услов!»й с учетом действия силы тяжести следующий: юа = юа = ус = 0; та (рж ра, й,)', причем (2! = 9,8062 и/са. Здесь Хо =(О, О, 1)г;'К,з; — центр масс Ьго звена в системе координат (х,, у„х,); »К,рг — вектор относительного положения начал систем координат (хг, уц г,) и (х, », у; », г! !), выраженный относительно системы координат (хь уь г,) и равный а! Кор! = гуг зп» и! ц»! соз а! (3.3-59) (гКо!гоК») — матрица инерции гцго звена относительно его центра масс, выраженная в системе координат (х«уь 2,).
Итак, нами получены эффективные с вычислительной точка зрения уравнения движения, представляющие собой системы прямых и обратных рекуррентных уравнений, позволяющих вычислить кинематнческие и динамические параметры движения каждого звена в системе координат, связанной с этим звеном. Эти рекуррентные уравнения приведены в табл. 3.3. 3,3.6. Вычислительный алгоритм В настоящее время уравнения движения манипулятора в форме Ньютона — Эйлера являются наиболее эффективным с вычислительной точки зрения описаняем динамики движения манипулятора.
Вычислительные затраты на реализацию этих уравнений приведены в табл. 3.4. Общее число необходимых математических операций (умножений и сложений) пропорционально и — числу степеней свободы манипулятора. Таблица 3,4. Вычислительные затраты на реализацию уравнений движения в форме Ньютона — Эйлера для манипулятора Пума Часас операций сасжсааа Часпс ппсрацай умасжспаа Состаалающас уравнений да«жеана 103 (и — 2!) 117 (и — 24) Общее число операций и ' « †чис степеней сапбсдм ма«апра«тора.
»Й е» ! Йаю! ! Кстг »Кса! »К Р »Ка!! ,Йаы! !Йап! 9« '» 9« 27« !5« зи 9 (и — 1) 24« 21 (и — 15! 7« 9и 22« !4« 0 9 (и — 6) !ви 24 (и — 15! 186 187 Поскольку уравнения движения в такой форме являются рекуррентными по сути, целесообразно представить нх в форме алгоритма вычисления задаваемых воздействий (сил или моментов) для силового привода каждого из сочленений, Ниже представлен такой алгоритм. Алгоритм 3.1.
Метод Ньютона — Эйлера Этот алгоритм вычисляет для и-звенного манипулятора моменты (или силы), которые должны быть созданы силовыми приводами сочленений для реализации заданной траектории движения манипулятора, Вычисления производятся по формулам из табл. 3.3. Начальные условия. и — число звеньев, ь(о = ьюа = уо = О уо=К=(ь., Яа, Я,)', где [я[=9,8062 м,(са, Переменные. Ч( Ч( Ч(, 1'=1, 2, ..., и, (', Г(, 1(, и(, т, Прямая последовательность; Х1. [Установка счетчика.] Присвоить переменной 1' значение 1: — 1. )Ч2.
[Шаг вычисления кинематических параметров.] Вычислить (Йоьа(, (Йоьн, 'Йоу( и (йюа( по формулам табл. 3,3, ХЗ. [Проверка (=(2?] Если (=и, перейти к выполнению шага Х4, в противном случае увеличить на единицу значение переменной ( ((' -1 + 1) и вернуться на !Ч2. Обратная последовательность )44. [Установка 1 а( и и,+1.] Присвоить 1„+1 и п.ь( значения соответственно силы и момента, необходимых для поднятия груза, Если груз отсутствует, присвоить этим переменным нулевые значения. Хб, [Вычисление заданных сил (моментов),] Вычислить (КоГь 'йо1Ч(, 'Но1,(йоп„ т, при известных 1„„1 и и„+1. Хб, [Обратная итерация.] Если ( = 1, закончить счет; в противном случае уменьшить значение счетчика ( на единицу и перейти к выполнению ?45, 3.3.7, Пример: двухзвенный манипулятор Для иллюстрации применения уравнений Ньютона — Эйлера в этом разделе рассматривается двухзвенный манипулятор с вращательными сочленениями (рис, 3.2).
Оси вращения всех сочленений параллельны оси г, перпендикулярной плоскости 188 рисунка. Физические параметры манипулятора приведены в равд. 3.2,6, Сначала, пользуясь рис. 3.2 и равенствами (3,3-48), (3.3-49), сформируем матрицы поворота ] о] В соответствии с табл. 3.3 зададим следующие начальные условия: о(о=а(о — — уо = 0; уо =(О, а, 0) т, где а =9,8062 м/сю, Прямые уравнения.
Пользуясь равенством (3.3-50), вычислим угловые скорости 1-го и 2-го звеньев. Для 1-го звена при ь(о — — 0 имеем 5, О О О 11...,= Н,(ы,+х,6,)= — 5, С, О О 6,= О Оо 0 0 1 0 1 Для 2-го звена Маь(2 = 2121 (1!хаю(1+ га62) = 5,с,о о 6+ о 62= о(6,+6~; Пользуясь равенством (3.3-51), вычислим угловые ускорения 1-го и 2-го звеньев. Для 1-го звена, учитывая, что ь(а =вою= О, имеем 'Коь(1 = Ко(ь(о+ хо61+ ь(о)(хо6,) =(О, О, 1) 61. Для 2 го звена юр,ы, =2Н, [(р,ыо, -[- х,62-+ (111,ьа,) >С во6,] = (О, О, 1)т(6, + 6,). 186 аР( = 5, С, 0 ф— 5,2 О 0 0 1 юй,= — 5, С, О 0 0 1 с, ~К2 52 С2 0 0 С, 5, 'К,= -5, С, 0 0 С 12 512 '14,= — 5,2 си 0 0 П ользуясь равенством (3.3-52), вычислим линейные ускорения точек, являющихся началамя систем координат 1-го и 2-го звеньев.
Для 1-го звена, учитывая, что тч — — (О, д, 0)2, имеем 'К2т1 = ('К,е21) Х ('14,Р,) + ('К,е21) Х 1('Й,211) Х (~1х,Р,)1 + '1222 = Таким образом, жа,=ОбХ О + ОХ 0 Х О + 0 О,Х О + О,Х О + — -021+ 951 2 — в,+ас, 0 Для 2 го звена 0 20 а2- ('14оы2) Х ('й а2) + ('Маых) Х (('Коых) Х ('Каа2)) + ')хот2, где Для 2-го звена 1М ( ~ое22) Х Жрг) + ( ~2212) Х 1( 1 2) Х ( 1 р*)1+ — — С 1 1 2 Сы змоз2 = 312 0 +'К,('К,т,)= 0 Х 0 + 0 0 Х вЂ” — 5 12 — — 52 2 0 0 Таким образом С З, О ~уча — 0 Х 0 + 0 Х в, -)- б, О О, + 82 Х О ~2 С2 0 0 ! 0 1 (8291 — С281 — 81 — 8 — 28182) + д512 1(91 + 82+ С201 + 5201) + лс12 Пользуясь равенством (3.3-53), найдем линейные ускорения центров масс 1-го и 2-го звеньев.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
