Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Таким образом, =Е „':,".1- 1/Зпг,Р + 4/Зт. Р+ т,РС, !/ЗтоР + 1/2пьгСяР 1/ЗтоР + 1/2т,С,Р =[ 1/ЗтоР Для вычисления й,"""(О, О) и пг~""(О, О) воспользуемся равенствами (3.4-26) и (3.4-27), оставив в них только те слагаемые, которые в нашем примере отличны от нуля; ~1 и ! !О!го Х (О!го Х Р!)! ' (го Х го) + + т! (О!го Х (О!го Х сг)) ' (го Х г!) + + т,((О.г. + О...) Х ((О.го+ О.г.) Х с,,)+ + (О,г, Х Оог,) Х с ) . (го Х го) = 1/2т„1 320!— — !/2!погЗоО! — 1/2тг('Згб" — то( 52О!Оь А1 =('Йохо ХО,'Йохо)'1,(0,'Йохо)+('Й хо)'1,(0,'Йохо ХО.'Йох)+ + [ Йохо Х(О~ Йохо+ От Йох~)~ 1о(0~ Йохо+ Оо Йох~) =О.
Таким образом, /г! = А~~""+ /г!~ ~ = — !/2то/оЗоОг — то1 ЗоО~Ом Аналогично находим /з, =т,[ОхоХ(ОроХР)~ ' [х~ Х(го Р!)) + + т ((О,хо+ О х,) Х [(О,х, + О~х,) Х с~] + + (О,х, Х О,х,) Х со] [х~ Х (го — р )] = 1/2т~/'5~0~, /г!р'™=('Й,х,) !о(0~ Йохо Х О 'Йо*,) + + [ой„х, Х (О,'Й„х, + ОРЙ,х,)]'1,(ОРЙ„х, + О,'Й,,) = О. Заметим, что й[Р' =Ьоо' =О, что облегчает выбор закона управления с обратной связью. Итак, / пост + / воощ !/2 12о 02 Таким образом, А, З Г вЂ” 1/2тоЫ'0, '— тоЗо1'0,0о !з = -[ '1=! 1/2то5о1 О~ С помощью равенства (3.4-28) находим компоненты вектора с: с, = — й ° [х, Х (т, г, + т,г,)] = (1/2т, + т,) 81С, + !/2т,п(С,о, с,= — а [х, Хт,(г,— р,)] =!/2т,дСир где и = (О, — а, О)'.
В результате приходим к следующему виду вектора с с, ! (1/2т, + т ) а1С, + 1/2т д1См с,з =[ ')-~ 1/2топ(См где д = 9,8062 и/со. Найденные значения матрицы 0 и векторов (з и с приводят к следующей системе обобщенных уравнений Д'Аламбера, описывающих динамику движения рассматривае. мого двухзвенного манипулятора: т, (1)[ ! 1/Зт,(о+4/Зто(о+тоС(о 1/Зто(о+1/2т,Со(о[ ['0,(1) ! [' ,"=[ '' . ' .'' ' .'рч[ ,(1)1 [. 1/Зто('+1/2тс(' !/3 1' .] [.0,(1).[ — 1/2тоЗо1'О~о — тоЫ 0~Во~! ~(1/2т, + то)п/С~ + 1/2тод1Сп 1/2тоЗо1"О~ 1/2тоФСм 3.5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В этой главе рассмотрены трн различных подхода к описанию динамики манипулятора.
Уравнения Лагранжа — Эйлера позволяют получить удобную для анализа форму уравнений движения, однако без некоторых упрощений непригодны для реализации управления манипулятором в реальном времени, Метод Ньютона — Эйлера позволяет получить чрезвычайно эффективную с вычислительной точки зрения систему рекуррентных уравнений, описывающих динамику движения манипулятора, однако такая форма малопригодна для анализа, связанного с выбором законов управления манипулятором. Обобщенные уравнения Д'Аламбера значительно более удобны для анализа, хотя и требуют более высоких вычислительных затрат. Будучи более эффективными, чем уравнения Лагранжа — Эйлера в вычислительном плане, обобщенные уравнения Д'Аламбера вместе с тем в явном виде отражают эффекты влияния вращательного и поступательного движения звеньев на динамику манипулятора.
Это обусловливает целесообразность их применения при построении приближенных динамических моделей, а также при разработке манипуляторов. Говоря кратко, для исследователя существует возможность выбора одной из трех следующих форм представления уравнений движения манипулятора: удобной для анализа, но неэффективной в вычислительном плане (форма Лагранжа— Эйлера); эффективной с вычислительной точки зрения, ио малопригодной для анализа (форма Ньютона — Эйлера); достаточно удобной для анализа при умеренных вычислительных затратах (обобщенные уравнения Д'Аламбера). Литература Более подробно основные вопросы динамики изложены в книгах по механике [275, 50].
Вывод уравнений движения методом Лагранжа — Эйлера с применением матриц преобразования однородных координат впервые был приведен Уикером [293]. Работа [169] содержит ряд подробностей относительно вывода уравнений Лагранжа — Эйлера для шестизвенного манипулятора, В работе [16] рассмотрены вопросы динамики и управления станфордовским манипулятором (31'!.-манипулятором).
В этой же работе описан способ построения упрощенной модели динамики движения. Используя рекуррентиую природу уравнений Лагранжа, Холлербах [122] предложил способ сокращения времени вычисления обобщенных моментов методом Лагранжа — Эйлера. Упрощения уравнений движения, полученных методом Лагранжа — Эйлера, можно достичь с помощью дифференциальных гао 'рг о 16! преобразований [229], методом усеченных моделей [!9], а также методом эквивалентных композиций [182]. С помощью аппарата дифференциальных преобразований можно представить частную производную однородной матрицы в виде произведения матрицы преобразования пространства и матрицы операции дифференцирования. Это позволяет существенно упростить вид матрицы О.
Однако кориолисовы и центробежные составляюшие гг„, СОДЕРжащИЕ ЧаетНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРяДКа, таКИМ способом упростить не удается. Бьецци и Ли [19) разработали метод усеченных моделей, основанный на однородных преобразованиях и соотношениях лагранжевой динамики, а для упрощения кориолисовых и центробежных составляюшнх воспользовались численными методами матричного анализа. Лу и Лин [182), пользуясь уравнениями движения в форме Ньютона— Эйлера, провели численное сравнение составляющих сил и моментов, а затем, отбросив несущественные члены, перегруппировали оставшиеся составляющие таким образом, чтобы добиться «аналитичности» уравнений. Альтернативным способом построения более эффективной с вычислительной точки зрения системы уравнений для определения обобщенных сил и моментов является использование уравнений Ньютона — Эйлера.
Среди первых исследователей, воспользовавшихся рекуррентной природой уравнений Ньютона— Эйлера, были гзрмстронг [6), Орин н др. [223]. Лу и др. [185] усовершенствовали этот подход, перейдя к использованию скоростей, ускорений, матриц инерции, векторов положения центров масс звеньев, сил и моментов, выраженных в системах координат, связанных со звеньями. Уолкер и Орин [299] воспользовались уравнениями движения в форме Ньютона — Эйлера для моделирования движения манипулятора с помощью Э ВМ. Хотя структуры уравнений Лагранжа — Эйлера и Ньютона— Эйлера различны, было показано ]291], что уравнения в форме Лагранжа — Эйлера можно получить из уравнений в форме Ньютона — Эйлера.
Силвер [268) показал эквивалентность этих двух форм с помощью тензорного анализа. Хастон и Келли [130] разработали алгоритмический способ вывода уравнений движения, удобных для реализации на ЭВМ. Ли и др. ]166], основываясь на обобщенном принципе Д*Лламбера, получили уравнения движения в матрично-векторном представлении в форме, удобной для разработки алгоритмов управления. Ньюман и Тоурасис [214] и Мьюррей и Ньюман [202] разработали программное обеспечение, позволяющее формировать уравнения движения манипулятора при помощи ЭВМ.
Ньюман и Тоурасис [213] построили дискретную модель динамики манипулятора. Упражнения 3.1. а) каков смысл обобщенных координат маиипулнтораз б) принедите пример двух различных систем обобщенных координат длн мапипулнтора, показанного на рис. 3.12. Изобразите выбранные вами системы обобщенных координат на двух отдельных рисун. ках. 3.2. На рис. 3.13 изображена точка, нмеющан в некоторой промежуточной системе координат (хь уь х~) коорди- 1, наты ( — 1, 1, 2).
Система координат (хь уь х~) движетсн поступательно относительно абсолютной системы ко- гч ! ординат (хм ум хч) со скоростью, равной ЗП + 21) + 4(г, гдс 1, 1, й — единичные векторы в направлении осеи хч, уч и га соответственно. Найти ускорение указанной точки относительно абсолютной системы координат, агх 3.3. Положение точки, неподвижной относительно системы координат р 312 О'Х'У*2' (равд. 3.3.1 и 3.3.2), задается в системе координат ОХУХ вектором г(1) = ЗП+ 2г) + 42, где 1, ), К вЂ” единичные векторы в направлении основных осей а бсолютной системы координат ОХУЕ. Система О*Х*У*Х* вра- ы= О, О, 1'..
щаетсн относительно системы ОХУХ с угловой скоростью ы = (,, ),. Найти кориолнсово и центростремительное ускорения. гл«лтх Г (-1, 1. 2) Уг — — ь Г Г Рнс 3.! 3. 3.4. Чем различаются равенства (3.3-13) и (3.3-17), если а) Ь = б и б) г(Ь(ги = а, т. е. Ь вЂ” постоянный вектор. З.о. На рис. 3!4 изображен куб массой й(, длина стороны которого равна 2а. (хм ум хь) — абсолютная система координат, (н, ю тч) — система координат, связанная с кубом, (х„, у„, хч,,) — другая связанная с кубом система координат, начало которой совпадает с центром масс куба. 133 тс Уй Ум .~ йр Рис.
3.15. Рнс. 3.14. 165 164 а) Найти тензор инерции куба в системе координат (хм уо, кэ). б) Найти тензор инерции куба относительно центра масса в системе коОрдинвл (хч, учю Хьи). 3.6. Рассмотрите упр. 3.5 для прямоугольного параллелепипеда. показанного нэ рчс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
