Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(ЗЛ-29) 128 м ° ° + .,Х(,,хр,')+(), „ ы =ы. +ы*, Пользуясь равенством (3.3-13), находим угловое ускорение системы координат (хь уь х;) относительно системы координат (х;ьу; ьх;1): ;= — „, +,,х ',. (3.3-24) В результате равенство (3.3-23) можно представить в следующем виде: Ие, ,=,,+ — „, +,,х;. (3,3-25) Как уже говорилось, системы координат (х~-ь у~-ь г; ~) и (хь уь х;) в соответствии с алгоритмом формирования систем координат звеньев манипулятора связаны с (1 — 1)-м и 1-м звеньями соответственно, Если ~'-е сочленение — поступательное, то бе звено совершает поступательное движение вдоль оси х;, со скоростью д~ относительно (1 — 1)-го звена.
Если ~'-е сочленение — вращательное, то ре звено вращается вокруг оси х;, с угловой скоростью ы',. относительно (1 — 1)-го звена. Таким образом, х, п)ь если пе сочленение — вращательное; л (3.3-26) если 1-с сочленение — поступательное. Здесь д; — величина угловой скорости вращения рго звена относительно системы координат (х; ь у; и х; ~). Аналогично и*~~; ~ х, п)ь если 1-е сочленение — вращательное; (ЗЛ-27) ь О, если 1'-е сочленение — поступательное.
С учетом равенств (3.3-26) и (3.3-27) формулы (3.3-21) и (3.3-25) могут быть представлены в следующем виде: ы,, + х, п)п если 1-е сочленение — вращательное; ы,= если 1-е сочленение — поступательное; (3.3-28) ы,, + х,,д, + ы,, Х (х;,д,), если г-е сочленение— вращательное; С учетом равенства (3.3-8) линейные скорость и ускорение бго звена относительно (1 — 1)-го можно представить в следующем виде: ~р',. ) ы,' Хр,'., если 1'-е сочленение — вращательное; 1 х,,до если 1-е сочленение — поступательное, (З.З-ЗО) Н м~ Х р'. + ы*,. Х (ы', Х р,'.), если 1-е сочленение— вращательное; ЕСЛИ 1'-Е СОЧЛЕНЕНИЕ— д 2 Ж' хю-~Чс поступательное.
(3.3-31) Используя равенства (3.3-30) и (3.3-21), выражение (3.3-20) для линейной скорости 1-го звена относительно базовой системы координат можно представить в виде ~;Хр,".+чп если 1-е сочленение— вращательное; ч = , (3.3-32) х,,д,. + ы,. Х р,". + ч,. „ если 1-е сочленение— поступательное. С учетом следующих свойств векторного произведения: (а ХЬ) Хс=Ь(а с) — а(Ь с), (ЗЛ-33) а Х (Ь Х с) = Ъ (а с) — с (а Ь) (ЗЛ-З4) и равенств (3.3-26) — (3.3-31); выражение (ЗЛ-22) для линейного ускорения звена )относительно базовой системы координат преобразуется к виду ьз; ХР1 + ы~ Х(ы; Хр;) + ч,, если 1-е сочленение— вращательное; ~Ч; + ы; Х р;+ 2ы, Х (х,,д,) + ы, Х (гз, Х р',) + ч, „ если 1-е сочленение — поступательное. (ЗЛ-35) Заметим, что ни = ни ь если ~'-е сочленение — поступательное. Равенства (3.3-28), (ЗЛ-29), (3.3-32) и (3.3-35), описываю1цие кинематику движения ю'-го звена, потребуются нам при выводе уравнений динамики манипулятора. 3.3.4.
Рекуррентные уравнения динамики манипулятора ! Основываясь на полученных выше кинематических соотношениях, в этом разделе мы воспользуемся принципом Д'Аламбера для вывода уравнений динамики движения манипулятора. 129 З к ФуьдР, и, тп) т, и'г т =— оЧ а, = с(ч)/с() Г) (я) )1 и, о' (от)ч)) Г) = ' ' =т)ат, Ж (3,3-3б) е(1 ') (Ч)= в) =1ю +с)) Х(1)ев))ь (3. 3-37) !31 Принцип Д'Аламбера позволяет применить известные условия статического равновесия к задачам динамики за счет рассмотрения (наряду с внешними действующими на механическую систему силами) сил инерции, препятствующих движению. Принцип Д'Аламбера выполняется для механической системы в любой момент времени.
По сути это несколько модифицированный второй закон Ньютона, формулируемый следующим образом: Алгебраическая сумма внешних сил и сил инерции, действую)цих на тело в любол) направлении, равна нулю. Рассмотрим )'-е звено (рис. 3.7). Пусть точка О' совпадает с центром масс этого звена. Устанавливая соответствие между рис. З.б и 3.7, введем следующие обозначения (все векторы заданы в базовой системе координат): масса )'-го звена; положение центра масс )ьго звена в базовой системе координат; положение центра масс )'-го звена относительно начала системы координат (х„ у„ х;); положение начала Вй системы координат относительно начала ()' — 1)-й системы координат; — линейная скорость центра масс рто звена; линейное ускорение центра масс )-го звена; суммарная внешняя сила, приложенная к центру масс )'-го звена; суммарный момент внешних сил, приложенных к )ему звену; матрица инерции )-го звена относительно его центра масс в базовой системе координат (хо, уо, хо); сила, с которой () — 1)-е звено действует на )-е звено в системе координат (х; ),у, ),х; )); момент, вызванный действием () — 1)-го звена на )ье звено в системе координат (х; „ у)-ь х~-)) Пренебрегая силами трения в сочленениях, получаем, применив принцип Д'Лламбера к )'-му звену; Ф м ме тт Рис.
3.6, Взаимосвязь систем коордяяат, имеющих иачалав точиахО, О и О, Рис. 3.7. Силы и моменты, действующие иа йе ввело. Входящие в эти формулы линейные скорость и ускорение цен- тра масс !'-го звена в соответствии с равенствами (3.3-32) и (3.3-35) определяются выражениями '! чр! = шг Х зр + Рь г= 1Хз,+ Х(1Х.)+,'! (3.3-38) (ЗЛ-39) Суммарные сила Р! и момент !)р, приложенные к 1-му звену, обусловлены действием на него силы тяжести, а также сил со стороны соседних (! — 1)-го и (!'+!)-го звеньев.
Таким образом, г ! = ! — т1 (3.3-40) Х1 = п1 — и„, + (р, , — г,) Х 11 — (р, — г,) Х $!+! (ЗЛ-41) =- и, — и,+, + (рр, — г,) Х Р! — р,. Х $1 , (3.3-42) Эти уравнения можно представить в рекуррентной форме, вос- пользовавшись тем, что $, = Е!+ )р+! — — тга!+ 11ь1, (3.3-43) и,. = и,„, + р; Х $ + + (р; + з;) Х Гр + 2чг (3.3-44) " Здесь (хр, ур, г,) — подвижная система координат. 232 Полученными уравнениями, имеющими рекуррентную форму, можно пользоваться для вычисления сил и моментов (1, ) ('=,, ..., л), действующих на звенья и-звенного манипулятора.
Для этого достаточно учесть, что 1,+! и и,+! представляют собой соответственно силу и момент, с которыми объект манипулирования действует на охват манипулятора. Из приведенного в гл. 2 алгоритма формирования систем координат звеньев и кинематических соотношений для соседних звеньев следует, что если Ое сочленение — вращательное, оно реализует поворот на д! радиан в системе координат (х! х ) вок ; !) руг оси х! !. Поэтому момент, создаваемый привод 1-го сочленения, должен быть равен сумме проекции момента и! на ось хг, и момента вязкого трения в !чм сочленении.
Если же !'-е сочленение — поступательное, оно реализует смещение на ру! единиц длины относительно системы координат (х=, хр,) вдоль оси х, !. В этом случае сила ть создаваемая в этом сочленеяии, должна быть равна в системе координат (хг р, у1 1, х,,) сумме проекции силы 1, на ось х,, и силы вязкого трения. .рр ю, .-. ! „,р,, „,р,,а .р. р„;.,,р сочленения, определяется формулой птх,, + Ь,.!)ы если !'-е сочленение — вращательное. к!= $;х! !+ Ь1дг, если !'-е сочленение — поступательное, (3.3-45) где Ь! — коэффициент вязкого трения в 1-и сочленении. Если основание манипулятора закреплено иа платформе и 0-е звено неподвижно, то шо = шо = О, уо = О, и с учетом силы тяжести кх ,, е ! а)=9,8062 м/с~.
ирх (3,3-46) В заключение отметим, что уравнения Ньютона — Эйлера, описываю!цие движение манипулятора, представляют собой сиТаблица 8.2. Рекуррентные уравнении движения в форме Ньютона — Эйлера Прямые уравнения: 1= 1, 2, ..., л ы ~ ~ ы ~ ~ г ю. + х. 4., если 1-е сочленение — врашательное; ! †! р †! ! ю. = если 1-е сочленение — поступательное; ! — !' е + х ф + ы Х (х 4 ), если 1-е сочленение — враша- 1-! р-! 1 1-! 1-! тельное; если 1-е сочленение — поступа- "1-и нательное тельное; ! ер; Х Р + ы Х (ы Х р ) + ф, если р-е сочленение — враша- . 11 Рр,',; 1) тельное; -Рх ( х! !фр+ырХР1+ 2югХ(х! !41)+ 1-(1) если 1-е сочленение — посту- !) 1-! а, = ю1 Х зг + ю! Х (ыр Х ар) + чг ! Обратные уравнения: ! = и, и — 1.
° . 1 Гг шар М! =!,юр+ ю Х(1„е ), '=" +' п! = „, + Р~ Х 1, „, + (Р', +.,) Х и,. + Нь пт!х; 1+ Ьрфи если 1-е сочленение — врашательное, 1! х! ! + Ьрчн если р-е сочленение — поступательное, где Ь' — коэффициент вязкого трения в р-м сочленении. Обычно начальные условия с учетом действия силы тяжести имеют следуюший вид; юе ыр — — чр = О; чр = !ах.
ан, ах), причем ! Х ! = 9,8062 мр'с т стему прямых и обратных рекуррентных уравнений (уравнения (3.3-28), (3,3-29), (3.3-35), (3,3-39) и (3.3-43) — (3.3-45) ). Все они представлены в табл. 3.2. Прямые уравнения позволяют вычислять линейные и угловые скорости и ускорения каждого звена рекуррентным образом в направлении от базовой системы координат к схвату.
Обратные уравнения служат для вычисления сил и моментов, которое производится рекуррентным образом в направлении от схвата к основанию, Таким образом, прямые уравнения обеспечивают последовательное в направлении от основания к схвату вычисление параметров движения звеньев манипулятора, в то время как обратные уравнения позволяют вычислять моменты и силы, которые должны быть реализованы в сочленениях манипулятора, последовательно в направлении от схвата к основанию.
3.3.5. Рекуррентные уравнения движения звена в системе координат, связанной с этим звеном Результаты предыдущего раздела показывают, что динамика движения манипулятора может быть описана системой прямых и обратных рекуррентных уравнений, поочередно применяемой ко всем звеньям манипулятора. Прямые уравнения позволяют последовательно от основания к схвату вычислить кииематические характеристики движения звеньев, такие, как угловые скорость и ускорение, линейное ускорение.
При помощи обратных уравнений последовательно от схвата к основанию вычисляются силы, действующие на звенья, а также моменты, которые должны быть созданы силовыми приводами для реализации заданной траектории движения. Недостаток полученных рекуррентных уравнений движения состоит в том, что матрица )ь а также геометрические параметры (ги зп р,. н Р,*.), будучи выраженными относительно базовой системы координат, меняются в процессе движения манипулятора. Лу и др.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
