Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 18
Текст из файла (страница 18)
С помощью прямых уравнений последовательно от основания к охвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие, как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. Обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев.
Наиболее важный результат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов, прямо пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора. Это позволяет реализовать простые законы управления манипулятором в реальном времени. Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа — Эйлера обусловлена в основном тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат.
Уравнения Ньютона — Эйлера обладают болыпей вычислительной эффективностщо, что связано с векторным представлением и нх рекуррентной природой. Холлербахом (122] была сделана попытка повысить вычислительную эффективность уравнений Лагранжа — Эйлера за счет их рекуррснтной природы. Однако полученные им рекуррентные уравнения потеряли «аналитичность», столь полезную при синтезе управления в пространстве состояний.
Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающую динамику движения манипулятора. Кроме того, желательно, чтобы в этих уравнениях можно было легко выделить составляющие, отражающие действие сил инерции различной природы, с тем чтобы выбором закона управления обеспечить их максимальную компенсацию (130). Еще один подход к формированию эффективной в вычислительном плане системы точных уравнений движения основан на применении принципа Д'Аламбера. Этот подход позволяет получить уравнения движения в векторно-матричной форме, удобной для анализа. Помимо того, что эти уравнения обеспечивают снижение по сравнению с уравнениями Лагранжа— Эйлера вычислительных затрат на расчет динамических коэффициентов, они позволяют различать динамические эффекты, обусловленные вращательным и поступательным движением звеньев, что весьма полезно при синтезе управления в пространстве состояний.
Вычислительная эффективность этих уравнений обусловлена использованием для описания кинематики звеньев матриц поворотов и векторов относительного положения. В этой главе уравнения движения манипулятора получены методом Лагранжа — Эйлсра, методом Нщотона — Эйлера, а 102 также с помощью принципа Д'Аламбера. Все три подхода проиллюстрированы на примере простого двухзвенного манипулятора.
Так как динамические коэффициенты уравнений движения необходимо определять и в задачах выбора закона управления, и при моделировании движения манипулятора с помощью ЭВМ, для каждой системы уравнений движения найдено число необ. ходимых для их реализации математических операций сложения и умножения. Затраты на вычисление обобщенных сил и моментов с применением обобщенных уравнений Д'Аламбера имеют порядок 0(и'), с применением уравнений Лагранжа — Эйлера— 0(а4) (при оптимизации — 0(п'), с применением уравнений Ньютона — Эйлера — 0(п), где п — число степеней свободы манипулятора.
3.2. МЕТОД ЛАГРАНЖА — ЭЙЛЕРА Полное описание движения манипулятора можно получить, применяя метод Лагранжа — Эйлера для неконсервативных систем. Описав кинематику манипулятора с помощью матричного представления Денавита — Хартенберга, можно, пользуясь лагранжевым формализмом, получить уравнения динамики. Такое совместное использование Д-Х-представлення и метода Лагранжа приводит к компактной векторно-матричной форме уравнений движения, удобной для аналитического исследочания и допускающей реализацию на ЭВМ. Вывод уравнений динамики движения манипулятор," основан на следующем: !. На описании взаимного пространственного расголожения систем координат Рго и (1 — 1)-го звеньев с помощью матрицы преобразования однородных координат '-'А,.
Эта матрица преобразует координаты произвольной точки относительно 1-й системы координат в координаты этой же точки относительно (1 — 1)-й системы координат. 2. На использовании уравнения Лагранжа — Эйлера гдьч дС щ Гд4, ) дд,. (3.2-1) в котором Т.— функция Лагранжа (Т. = К вЂ” Р), К вЂ” полная кинетическая энергия манипулятора, Р— полная потенциальная энергия манипулятора, д; — обобщенные координаты манипулятора, д,— первая производная по времени обобщенных координат, т; — обобгценные силы (или моменты), создаваемые в 1-м сочленении для реализации заданного движения бго звена.
Для того чтобы воспользоваться уравнением Лагранжа— Эйлера, необходимо выбрать систему обобщенных координат. 1ОЗ следует из равен- а,сов О, ас згп Ос (3.2-5) 1 хс Ус сгс= =(хс, Ун ао 1)г. 1 (3.2-2) Рис. 3.1. Точка со с-го звена, о о гс = Асгс, "А,="АсАз ...
' 'Ас. (3.2-3) (3,2-4) где 104 105 Обобщенные координаты представляют собой набор координат, обеспечивающийс полное описание положения рассматриваемой физической системы в абсолютной системе координат. Существуют различные системы обобщенных координат, пригодные для описания простого манипулятора с вращательными и поступательными сочленениями. Однако поскольку углы поворотов в сочленениях непосредственно доступны измерению с помошью потенциометров или других датчиков, то они составляют наиболее естественную систему обобшенных координат.
В этом случае обобщенные координаты совпадают с присоединенными переменными манипулятора. В частности, если с-е сочленение— вращательное, то дс = — Ои если же 1-е сочленение — поступательное, то дс — = с(с. В излагаемом ниже выводе уравнений движения манипулятора с п степенями свободы используются матрицы преобразования однородных координат, рассмотренные в гл. 2, 3.2.1.
Скорость произвольной точки звена манипулятора Для того чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа— Эйлера, необходимо знать кинетическую энергию рассматриваемой физической системы, а следовательно, и скорости всех ее точек. В этом разделе получены соотношения, определяюшие скорость точки, неподвижной относительно снего звена, с учетом движения всех сочленений манипулятора. Рассмотрим произвольную точку, неподвижную относительно 1-го звена и заданную в системе координат 1-го звена олноподными координатами 'г, (рис. 3.1) Обозначим через огс координаты этой же точки относительно базовой системы координат.
Как и выше, ' — 'А, обозначает матрицу преобразования однородных координат, определяющую пространственное положение системы координат с'-го звена относительно системы координат (! — 1).го звена, а 'Ас — матрицу, определяющую связь между системой координат 1-го звена и базовой системой координат. Тогда связь между 'г; н 'г; определяется соотношением Если с-е сочленение — вращательное, то, как ства (2.2-29), матрица '-'Ас имеет вид созО, — сова,в!пО, япа,япйс в(п О, сов а; сов О, — в!п ас сов О, ' !А,= О в!па; сов ас О О О Если с-е сочленение — поступательное, то в соответствии с равенством (2.2-31) матрица с-'Ас имеет следуюший вид: совО; — сова; в!пО, япа, япО, О япО, сова, созО, — з!па,сов О, О ' 'А„= (3.2-6) О вгп а, сов а, с(с О О О 1 В общем случае все ненулевые элементы матрицы 'А; яв- ляются функциями величин Ос, с(с, ас и а; (! = 1, 2, ..., с), причем в зависимости от типа 1-го сочленения Ос или с!с представляет собой присоединенную переменную этого сочленения, а ос- — в!и О,.
сов 0; 0 — сова; совО! — сова; яп9, 0 яп а! сов 9! в!п а! в!и 9! 0 — а,япВ; аосов9, г(! 0 д! 'А де, 0 0 — 1 0 0 0 1 О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 совВ, — сова, яп9; яп 0; сов а, сов О,. Х 0 яп а! 0 О яп а! яп О! — яп а! сов О, а; сов В, а, в!п О, !)! 1 — Я!-!А сов а, 0 0 — 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 (3.2-8а) (3.2-1 1) 0 0 0 0 (3.2-12) О 0 0 0 0 0 0 1 (3.2-86) 0 0 0 0 д! А! дч, (3.2-9) 107 тальные величины являются известными параметрами, определяемыми кинематической структурой манипулятора. Для вывода уравнений движения, описывающих как вращательные, так и поступательные сочленения, мы будем использовать обобщенные координаты !7!.
Переменная оп совпадает с 9ь если !-с сочленение — вращательное, и с о(ь если !- сочленение — поступательное. В рамках предположения о том, что звенья манипулятора представляют собой твердые тела, точка 'г, так же, как и любая другая точка »его звена, имеет нулевую скорость относительно »хй системы координат, не являющейся в общем случае инерциальной.
Скорость точки !г; относительно базовой системы координат может быть представлена следующим образом: чч ч! (г) (оА!г) ='А!~Ао ... ' 'А,го+ А!Ао... ' А!го+ доА -!-"А, ... 'А, -!-'А» =[г — '»~1',. !327! !=! ~! При выводе этого уравнения использовалось условие 'г, =О. Частные производные матрицы 'А, по переменным д! легко вы- числить с помощью матрицы Я!, которая для вращательного со- членения имеет вид а для поступательного сочленения Используя эту матрицу, можно написать Например, для манипулятора с вращательными сочленениями !7! = Вь Используя равенство (3.2-5), имеем Таким образом, для ! = 1, 2, ..., и у о ! о-в ! †! ' (3.2-10) д'.А; ) А!Ао ...
А»-!(1! А! ... А!, если 1' ( »; дд, ~ О если 1 > !. По смыслу равенство (3.2-10) описывает изменение положения точек ьго звена, вызванное движением в !хм сочленении манипулятора. Для упрощения формул введем обозначение 1!и !-"» доА»/дд!, с учетом которого равенство (3.2-10) можно представить в следующем виде для 1= 1, 2, ..., и: го !' — ! А,-Я, Аь если /(!; О, если 1 > ю', Используя введенное обозначение, формулу для ч, можно представить в форме Следует отметить, что частная производная матрицы '-'А! по переменной о!; уже не является матрнцей преобразования однородных координат.
Если рассматривается вращательное сочленение, то умножение матрицы '-'А; слева на матрицу 01; экви» валентно перестановке первых двух строк матрицы ' — 'А; с по» следующим изменением знака всех элементов первой строки на противоположный и обнулением всех элементов третьей и четвертой строк. Для поступательного сочленения эффект такого Матрица $/1) характеризует изменение положения точки Его звена относительно базовой системы координат, обусловленное изменением координаты дп Данная матрица одинакова для всех точек 1-го звена и не зависит от распределения массы в этом звене.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
