Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(2,3-61) (2.3-62) Г 2!я Езт О =агс(и[ ~, — л~(82(л, з ( ° Е,,! (2.3-63) ор 84 Таблица 2З. угол Ез при различиык конфигурациях манипулятора операция умножения индикаторов. Геометрия манипулятора, от- раженная в схеме на рис. 2.21, позволяет записать следующие соотношения: а — ига! О Г,з и- Г, — и'„— ЗГГ,* и- Г'„— 4', П З 441 з!п а= — — '=— Ра РукА. гака ззчзг -ц сов а —— (2.3-51) п2+ ~з (иа+ пз) Ра+ Рр + Р + п2 412 (б,з+ цз) сов бв 2пзй Из равенств (2.3-48) — (2.3-53) можно определить значение функций синуса и косинуса угла О,: яп 8, = яп (а+ К 6) = з!п асов (К . 6) + соз а з(п (К 5) = з!п асовб+(РУКА ЛОКОТЬ)сова з(п !2, (2.3 54) сов О,= сов(а+ К ° 6)=сов асов!з — (РУКА ° ЛОКОТЬ) з!п а яп 8.
(2.3-55) Равенства (2.3-54), (2.3-55) позволяют найти значение О,: О,=агсгй~ —,",",е'~ — л(8,( . (2,356) Решение для третьего сочленения. Для определения О, спроецируем вектор р на плоскость хзуз (рис. 2.22). В соотнетствии с рис. 2.22, как и в предыдущем случае, возможны четыре различные конфигурации манипулятора. Как показано и табл. 2.4„ каждой конфигурации соответствует свое выражение для Оз.
Па- раметр ('ра)„представляет собой у-ю компоненту вектора, выхо- дящего из начала системы координат (хз, уз, гз) и заканчиваю- щегося в точке пересечения осей последних трех сочленений. Таблица 24. Угол Е при различных конфигурациях манипулятора 3 Из рис. 2.22 получаем следующие равенства, позволяющие определить Оз' (2.3-57) й = ~~К+ Р', + Р! — (~ 2 ! (Л2+ 2) 1.,2 СОЗ ГР = 2 2 2пуозугуз+ пз яп 1р = РУКА ЛОКОТЬ |/1 — соззф, з!п 6=, сов 8= 414 1пз1 йз 1 „2 ' - /оЗ 1 2 В соответствии с табл. 2.4 значение О, можно представить формулой, единой для всех конфигураций манипулятора: 8з=ф — 6. (2.3-60) Из равенства (2.3-60) получаем следующие выражения для функций синуса н косинуса угла Оз.
з!п 83 = з!п (ф — Р) = 81п ф соз Р— соз ф 21п Соз Оз СОз (ф Р) Соз гр Соз Р + 81П ф з!П Из равенств (2.3-61) и (2.3-62) с использованием равенств (2.3-57) — (2.2-59) находим решение для 8,: Решение обратной задачи кинематики для последних трех сочленений. Зная первьге три присоединенных угла, можно сфор- мировать матрицу аТ„часто используемую при решении обратной задачи кинематики для последних трех сочленений.
Для манипулятора Пума это решение можно получить, приводя сочленения в соответствие со следующими требованиями; лл аз=4-й .зхнаая ттагзтааяя рука лебая ттиэтгттлл руки Рис. 2.Ю. Реигение дла 3-го сочлеиеззии. 1. Сочленение 4 должно быть установлено так, чтобы вращением в сочленении 5 можно было совместить ось вращения сочленения 6 с заданным вектором подхода (вектором а матрицы Т). 2. Сочленение 5 должно быть установлено так, чтобы ось враще- ния сочленения 6 совпадала с вектором подхода.
3, Сочленение 6 должно быть установлено так, чтобы ось у, со- впала с заданным касательным вектором схвата, определяю. а=х, при заданном а=(а„а„, а,), т (2.3-65) т т в =у при заданных в=(з„, э„, эа) и п=(п», и„, ла) . (2.3-66) В равенстве (2.3-64) векторное произведение может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому возможны два решения для О,. При равенстве векторного произведения нулю (т, е. ось х, параллельна а) имеет место вырожденный случай. Это происходит, когда оси вращения 4-го и 6-го сочленений параллельны, и означает, что при данной конкретной конфигурации был бы достаточен пятиосный, а не шестиосный манипулятор.
Решение для четвертого сочленения. Обе возможные ориентации запястья (ВВЕ(зХ и ВНИЗ) определяются ориентацией системы координат схвата (и, в, а) относительно системы координат (хз, уа, хз). Знак векторного произведения в равенстве (2,3-64) должен быть определен с учетом ориентации и илн в по отношению к единичным векторам хз или уэ соответственно, которые в свою очередь ориентированы определенным образом относительно единичного вектора х4 в соответствии с пранилами выбора систем координат звеньев, (Из рис. 2.11 видно, что единичный вектор хз соиаправлен с единичным вектором у,.) Предположим сначала, что векторное произведение в равенстве (2.3-64) имеет положительный знак. Признаком этого может служить индикатор ориентации 1), определяемый следующим образом; 0 в вырожденном случае; Р.= в у;, если в.узФО* з 1 и.
уз, если в ° уз=О. (2.3-67) В соответствии с рис. 2,11 уз — — х4, и, используя равенство (2.3-64),''можно представить индикатор ориентации в следующем виде: 0 в вырожденном случае в — если в (х, Х а) Ф 0; (аз Х а) 1аз Ха) и *' '( если в ° (хаХа)=О 1аз Х а ~ (2.3-68) Если наше предположение о знаке векторного произведения в равенстве (2.3-64) не верно, то позже оно будет скорректировано щим его ориентацию. Перечисленные условия соответственно записываются в следующем виде: х,= (а'Ха) при заданном в=(а„аа, аа) „ (2.3-64) 1гз Х а1~ Таблица 25.
Различные ориентации запястья м.запястье ззяп си) Ориентация запястья П=зу илину Кисть Вниз Кисть Вниз КИСТЬ ВВЕРХ КИСТЬ ВВЕРХ )О <О ~~О <О +1 +1 — 1 — 1 +1 -1 -1 +1 с помощью индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации ьз. Индикатор ь) служит признаком начальной ориентации единичного вектора х', обусловленной правилами выбора систем координат звеньев. Индикатор звена ЗАПЯСТЬЕ характеризует выбранную исследователем ориентацию узла запястья в соответствии с определением, содержащимся в равенстве (2.3-33).
Если зти индикаторы одного знака, то предположение о знаке векторного произведения в равенстве (2.3-64) верно. Табл. 2,5 устанавливает соответствие между ориентацией запястья и различными комбинациями значений индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации. Таким образом, с помощью индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации решение для 04 может быть представлено в следующем виде: М (С,ар — 5~ах) = агс16' ~,, 1, — я (04 (я. (2.3-7!) Е М(С~Сззах+ 5|Сезар — 5ззпх) 3' В вырожденном случае переменной О, может быть присвоено любое значение, согласующееся с ориентацией запястья (КИСТЬ ВВЕРХ/ВНИЗ). Это условие всегда удовлетворяется, если положить 04 равным текущему значению 04. Кроме того, сменив значение ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЯ, можно получить другое решение для 04; 04 = 04+ 180 .
Решение для пятого сочленения. Для определения О, воспользуемся условием, состоящим в том, что ось шестого сочленения должна совпадать с заданным вектором подхода (а = гз). Прое- ям рз = я ° хз спад» = -(а ° уз) ЕШ ра еа -(яЗ яа) Спз дз Яз ° У, Рнс. 2.23. Решение для 4-го сочленения. между ориентацией запястья и различными комбинациями значений индикатора ЗАПЯСТЬЕ и индикатора ориентации. Проецируя систему координат (х4, у,, 84) на плоскость хзу, (рис, 2.23) и используя табл. 2.5, можно получить следующие соотношения: з(пО,= — М(хз хз), созО,=М(х, уз), (2.3-60) где хз и уз — соответственно первый и второй столбцы матрицы оТз, М = ЗАПЯСТЬЕ с!дп((2), а функция а|пи определяется следующим образом; ( +1, если х) О; з ап (х) — ~ О . (2.3.76) 88 Рис.
2,24, Решение для 5-го сочленения. цируя систему координат (хз, у„хз) на плоскость х,у,, можно показать, что справедливы следующие соотношения (рис. 2.24): 81П Оз = а Хз, соз Оз = — (а у4) (2.3-72) где х4 и у4 — соответственно первый и второй столбцы матрицы еТ4, а а — вектор подхода. Таким образом, получено решение для О,: Оз = агс1ц ~ „, (СзСззС» — 5|54) ах + (5~СззС4 + С~54) ад — С45ззаа ~ = агс(я С~5ззах + 5~5ззар + Сззая — и~О~ . (2.3-73) Если Оз -- О, имеет место вырожденный случай.
Решение для шестого сочленения. Мы получили такие решения 04, О, для 4-го и 5-го сочленений, что ось шестого сочленения сонаправлена с заданным вектором подхода а. Теперь мы хотим получить такую ориентацию схвата, которая бы позволила поднять объект манипулирования. Для этого надо так располо- 89 жить схват, чтобы з = уь.
Проецируя систему координат охвата (и, з, а) на плоскость хьуь, можно показать, что справедливы следующие равенства (рис. 2.25): 51п Вь = и уь соз Вь = 3 ° уь, (2. 3-74) где уь — второй столбец матрицы 'Тм а п и з — соответственно нормальный и касательный векторы матрицы 'Т,. Таким образом, для В, имеем Вь — агс1я ~ ]— = агс1я ( — 5~С» С~С»»5») ьз + (С~С» — 5~С»»5»)»зд — (5»5зз) дз ( 5~С» — С~Се»5») зз+ (С~С» 5~С»»5») зд+ (5»5»з) зг — п<6,<п. (2. 3-75) Рассмотренный метод решения обратной задачи кинематики оснонан на геометрической интерпретации условий, накладываемых на положехь ние конечной точки 3-го звеьеььб=а зз на и на положение и ориентацию схвата плп инструменз та.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
