Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эта подматрица поворота совпадает с матрицей бааз. Существуют и другие способы описания положения схвата. Описание ориентации с помощью углов Эйлера. Как говорилось в разде. 2.2.4, описание вращения твердого тела с помощью матриц поворота упрощает многие операции, однако не дает полной системы обобщенных координат. Такой полной системой обобщенных координат являются углы Эйлера Ф, О, Ф. С помощью матрицы поворота, записанной как в равенстве (2.2-!7) через углы Эйлера, матрицу манипулятора 'Т, можно представить в следующем виде: где р =(11, 10, 1) ', как следует из решения первой части задачи. В соответствии с условием задачи и видом матрицы б'"Т„б надо, чтобы вектор подхода а был направлен в сторону противоположную направлению оси 07 базовой системы координат, т.
е. а =(О, О, — 1)', вектор з должен быть параллелен оси у базовой системы, т. е. з = (+ 1, О, 0) г; вектор п можно сформировать как векторное произведение векторов з и а: П= ба бб ГЧ = +.1 0 0 = ~1 Таким образом, для матрицы ориентации схвата [и, з, а1 мОМв[и записать два выражения: 0 ! 0 Π— 1 0 [п, з, а)= -1-1 0 0 или [и, з, а)= — ! 0 0 О 0 — ! 0 0 — 1 Преимущество описания ориентации с использованием углов Эйлера состоит в том, что вся информация о положении и ориентации объекта в пространстве содержится в шестимерном векторе ХУЯФЕФ. Зная этот вектор и используя равенство (2,2-44), легко сформировать матрицу 'Т,.
Описание ориентации с помощью углов крена, тангажа и рысканья. Еше одной системой углов Эйлера для описания вращения являются углы крена, тангажа и рысканья (КТР). С использованием равенства (2.2-19), описывающего вращение тела в координатах КТ!', получаем матрицу манипулятора 'Та в видс (2.2-45) бт,= Как уже говорилось в гл. 1, випуляторов (в зависимости от существуют различные типы маиспользуемгях типов сочленений, З к Фз а зь СФСО СФ505м — 5ФС4з 5ФСО 5Ф505з)з + СФСФ вЂ” 50 С05Ф 0 0 СФ50СФ + 5Ф5з)з ра 5Ф50СФ вЂ” СФ5Ф р„ СОСФ р, 0 1 -1ООр„- О!Ор„ ОО! р, 0 0 0 ! 0 ой, 0 0 0 0 0 1 ОТ = (2.2-46) — х Са — Яа 0 Яа Са 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 с( 0 Т„„,=Т, „Т, „Т„,= 0 0 0 1 0 0 0 0 56 0 1 0 0 0 Сй 0 0 0 1 Сй 0 — 58 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Са — Яа Яа Са 0 0 1 0 0 г 0 1 0 0 0 0 1 0 Са — Яа 0 гСа Яа Са 0 гЯа 0 0 1 Т, Т,,Т„ „Т,, = (2.2-47) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 гСаЯ]! гЯа56 гСй 1 СаС8 — Яа Са58 ЯаС8 Са ЯаЯ]! — 58 0 С[! 0 0 0 1 0 0 0 0 ! 0 0 0 0 1 г 0 0 0 1 (2.$-49) гСа 1 0 0 0 1 0 0 0 ! 0 0 0 0 "!(, О 0 'Т,= (2.2-48) 1 0 0 0 1 б7 например ХУŠ— манипулятор, цилиндрический, сферический, манипулятор смешанного типа).
В связи с этим положение (р„рго р,)т охвата манипулятора может быть описано, например, в сферических или цилиндрических координатах. Результирующую матрицу манипулятора можно получить из следуюшего равенства: где %к — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера или через векторы [п, з,а]. Подматрица положения в цилиндрических координатах. В цилиндрической системе координат положение схвата определяется следующими преобразованиями поворота и сдвига (рис.
2 !5): 1. Сдвиг на г единиц вдоль оси ОХ(Т„,,). 2. Поворот на угол а вокруг оси 02(Т,, ), 3. Сдвиг на с( единиц вдоль оси ОХ(Т,, а). Однородную матрицу, определяющую результат перечисленных преобразований, можно представить в следующем виде: Поскольку нас интересует только вектор положения (т. е, чет- вертый столбец матрицы Т„„„), матрицу манипулятора 'Тч можно представить в виде причем )к икк гСа, р„гЯ„р, = с1, Подматрица положения в сферических координатах. Для определения положения охвата можно также воспользоваться сферической системой координат. В этом случае положение схвата определяется следуюшими преобразованиями (рис.
2.16): 1. Сдвиг на г единиц вдоль оси 02(Т,,). 2. Поворот на угол 8 вокруг оси ОУ(Тк б). 3. Поворот на угол а вокруг оси 02(Т,, ). Рис о,!б. ПРедстквленне в Килиид-, Рис. 2.!б Предстквлеиие в сфврииврических координатах. ских координатах. Матрица, описывающая результат перечисленных преобразовттх ний, равна Как и выше, нас интересует вектор положения охвата относительно базовой системы координат, поэтому матрица манипулятора оТ,, в которой вектор положения представлен в сферических координатах, а подматрица поворота записана через углы Эйлера илн векторы [и, з, а], дается следующим выражением: 1 О 0 гСа5)1 0 1 0 г5а58 0 0 1 РС5 0 0 0 1 0 о)вт О 0 0 0 0 1 (2.2-50) Та Ориеятяии» Положение В декартовых координатах (п, б, а) Углы Эйлера (тр, О, тР) Крен, тангаж, рысканье В декартовых координатах (Р Ря Р ) В нилиндрических координатах (тСа, т5а, б) т В сферических координатах (тСи55, т5и5(), гСВ) т О О О р,— О Р„ О ) Р, О О 1 или )(е а тр О О О О ) [п,а,а) тположеиия = Тповоротя = от — т б положеияятооворотя 2.2.13, Классификация манипуляторов Манипулятор состоит из последовательности твердых тел (или звеньев), первое из которых соединено с опорной стойкой, а последнее снабжено рабочим инструментом.
Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы нс образовывалось замкнутых цепей. Считается, что соединение двух звеньев — сочленение — имеет только одну степень свободы. С учетом этого ограничения интерес представляют два типа сочленений: вращательное и поступательное. Вращательное сочленение допускает только вращение вокруг некоторой оси; поступа- где р, = — гСа5р, р„— = г5а5[), ря = =гС5. В заключение отметим, что положение и ориентация схвата манипулятора могут быть описаны несколькими способами (в различных системах координат). Вектор положения может быть представлен в декартовой (р„р„, ря) г, цилиндрической (гСа, г5а, б() т или сферической (РСа5[), г5а5]1, гС)))" системе координат.
Для описания ориентации схвата относительно базовой системы координат можно использовать декартовы координаты [и, а, а], углы Эйлера (ср, 6, т]т) или углы крена, тангажа и рысканья. Сказанное иллюстрирует табл, 2,2. Таблица 2.2. Различные способы описания положения и ориентации тельное сочленение обеспечивает поступательное движение вдоль некоторой оси при отсутствии вращения (поступательное движение с вращением имеет место в винтовых сочленениях), Звенья манипулятора участвуют в относительном движении, в результате которого достигается определенное положение и ориентация схвата или инструмента. Следовательно, рассматривая манипуляторы как некоторые последовательности сочленений и звеньев, их можно классифицировать по типу используемых сочленений и последовательности их расположения в направлении от опорной стойки к схвату.
При таком подходе манипулятор Пума следует отнести к классу 6В, а манипулятор Станфордского университета — к классу 2В-П-ЗВ. Здесь В обозначает вращательное, а П вЂ” поступательное сочленение. 2,3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ В этом разделе рассматривается обратная задача кинематики шестизвенного манипулятора. Команды управления манипуляторами роботов, оснащенных ЭВМ, формируются обычно в пространстве присоединенных переменных, координаты обьектов манипулирования задаются в некоторой абсолютной системе координат. Для управления положением и ориентацией схвата робота таким образом, чтобы производить необходимые операции с обьектом манипулирования, необходимо уметь решать обратную задачу кинематики. Другими словами, надо уметь по заданным матрице 'Т, положения н ориентации схвата шестизвенного манипулятора и известным параметрам его звеньев и сочленений определить присоединенные параметры г(= (дь ...
..., б)б) т манипулятора, обеспечивающие заданное положение схвата. Существуют различные методы решения обратной задачи кинематики, к числу которых относятся методы обратных преобразований [231], винтовой алгебры [149), двойственных матриц [56), двойственных кватернионов [319), итераций [294] и геометрический подход [168).
Пайпер [235] получил решение обратной задачи кинематики для произвольного манипулятора с шестью степенями свободы, первые три сочленения которого вращательные или поступательные, а оси последних трех пересекаются в одной точке. Решение получено в форме уравнения 4-й степени относительно одной из неизвестных и в явном виде относительно остальных. Пол и др. [231] для того же класса манипуляторов, что и Пайпер, предложили воспользоваться методом обратных преобразований с применением однородных матриц размерностью 4 к',4. Недостатком этого подхода является то, что из него не следует, каким образом выбрать из нескольких существующих решений одно, соответствующее данной 69 их Зх а„ р„ и„ 3 ае рк их Зх ах Р 0 0 0 ! ='А,'А,еА,еА,'А,„'А .
Те (2.3-1) Из равенства (2.3-1) видио, что матрица Т является функцией синусов и косинусов углов еь ем ..., О,. Приравнивая элементы матриц в левой и правой частях матричного уравнения (2.3-1), получаем, например, для манипулятора Пума двенадцать уравнений (2.2-40) — (2.2-43) отиосительно шести неизвестных (присоединенных углов). !1оскольку число уравнений превышает число переменныл, можно сразу сделать вывод о том, что решение обратной задачи кинематики для манипулятора Пума не единственно. Мы рассмотрим два метода решения обратной задачи кинематики; метод обратных преобразований в эйлеровых координатах, которым можно также воспользоваться для решения этой задачи в координатах присоединенных углов, и геометрический подход, выгодно отличающийся наглядностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
