Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Во втором случае результирующая матрица поворота имеет вид 1 О О СΠ— 50 О Й=Й,„Й,э Йуу= О Са — 5а 50 СО О О 5а Са О О 1 Сф О 5р СОСф — 50 С05 р )( О 1 О = Са50Сф + 5а5ф СаСО Са505ф — 5аСф — 5ф О Сф 5а50Сф — Са5ф 5аСО 5а505ф — СаСф з (2.2-!5) Наряду с вращением относительно осей абсолютной системы координат ОХУХ подвижная система отсчета ОСУ)у" может совершать повороты вокруг собственных осей.
В этом случае результирующая матрица поворота может быть получена с использованием следующих простых правил. !. Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, матрица поворота представляет собой единичную матрицу размерностью 3 Х 3. 2. Если подвижная система координат 0(у"у')Р' совершает поворот вокруг одной нз основных осей системы ОХУХ, матрицу 34 предыдущего результирующего поворота, надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота.
3. Если подвижная система координат ОСУ(Р' совершает поворот вокруг одной из своих основных осей, матрицу предыдущего результирующего поворота надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота. Пример. Требуется найти матрицу поворота, являющегося результатом последовательного выполнения поворотов сначала на угол ф вокруг оси ОУ, затем на угол О вокруг оси Ойу и на угол а вокруг оси ОК Решение: Й=Йу, р' !3' Й»у' Йи» Йуч' Й»,у' Й»»= О 1 О 50 СО О О Са — 5а СфСО 5ф5а — Сф50Са Сф505а + 5фСа 59 СОСа — С05а — 5фСО 5ф50Са + Сф5а СфСа — 5ф5 У5а Этот пример построен так, что матрица результирующего поворота такая же, как в выражении (2.2-!4), однако последовательность поворотов отличается от последовательности, результатом которой является выражение (2.2-14).
2.2.3. Матрица поворота вокруг произвольной оси В ряде случаев подвижная система координат ОЬ'У(У» может совершать поворот на угол ф относительно произвольной осн г, представляющей собой единичный вектор с компонентами г„г„ н г., выходящий из начала координат О. Преимущество такого поворота состоит в том, что для некоторых угловых движений последовательность поворотов относительно основных осей систем координат ОХУЯ и/или ОСУ!Р можно заменить одним поворотом системы 0(у'У(Р' вокруг оси г. Чтобы получить матрицу поворота Й... можно сначала произвести ряд поворотов относительно осей системы ОХИ, чтобы совместить ось г с осью 02.
Затем произведем требуемый поворот вокруг оси г на угол ф и опять ряд поворотов относительно осей системы ОХИ, возвращающих ось 02 в исходное положение. Из рис. 2.4 видно, что совмещение осей 02 и г может быть реализовано с помощью поворота на угол а относительно оси ОХ (ось г в результате окажется в плоскости ХЛ), а затем на угол — 3 вокруг оси ОУ (в результате оси ОЯ и г совпадут). После поворота на угол ф относительно 02 илу г гя гя ди йи дя 1/з)Уф + = 5ф з/з 1/ЗРф — — '5р 1/З)Уф — = 5ф 1 з/з 1/ЗР р+ ср 1/3 'г'ф + = 5ф 1 з/з 1 1/ЗР р — — 5ф з/з !/Зрф+ сф ! /ЗР р+ = 5ф 1 з/з !/Зр р+ сф На «р вокруг оси Ог На 0 вокруг оси ОУ На ф вокруг оси Ойг На «р вокруг оси ОХ На 0 вокруг оси 01' На ф вокруг оси 07 Последовательность поворо- тов На «р вокруг оси Ос На 0 вокруг оси Ог' На «р вокруг оси ои гл1 ф+ Сф К.. в = гагр)гф + г,5!р — гаге~ ф — га5ф г,гв Иф — г,5«р г„-'р ф+ Сф гига)гф + га5ф г„г )лф+ г„5ф гаге! ф — ! «5ф !'е)'ф + С!р (2.2-16) 36 07 произведем указанн ю выш в о ратном по ядке и из б у ыше последовательность поворото, Р меним при этом знаки углов поворота Рис, дл тк Врашеиис вокруг произвольной оси.
на противоположные, Результирующая матр!ваап йре!йу!йютй'рнийй :,:.1[,:,1Р ':,1 ., 56 О Сб О 5а Са Из рис. 2.4 легко определить, что гу з!п а= —, ! в, сова = ге з!п 6 =к, созб= 'ч/га+ г . ее выражение д(йзг 3~, Подстановка этих равенств в предыдущ е «Ф где )Уф = оегз ф = 1 — сов ф. Это очень полезная матрица поворота. Пример. Найти матрицу поворота К,, „, задающую поворот на угол ф вокруг вектора г =(1, 1, 1)'. Решение. Поскольку вектор г не является единичным, нужно нормировать его и определить после этого его координаты в системе отсчета ОХУ2.
Тем самым 1 1 1 1 ~.з ..-'+,-' у'з ' " з/з ' ' з/з Подставляя эти значения в равенство (2.2-!6), получим матрицу К,, „; 2.2.4. Представление матриц поворота через углы Эйлера Матричное описание вращения твердого тела упрощает многие операции; однако, для того чтобы полностью описать ориентацию врашаюшегося твердого тела, необходимо использовать все девять элементов матрицы поворота. Непосредственно эти элементы не составляют полной системы обобщенных координат, с помощью которых можно описать ориентацию вращаюшегося твердого тела относительно абсолютной системы координат. В качестве обобшенных координат можно использовать углы Эйлера ф, О и ф. Сушествует много различных систем углов Эйлера и все они описывают ориентацию твердого тела относительно некоторой заданной системы координат.
Три наиболее часто используемые системы углов Эйлера представлены в табл. 2.1. Табл««ца гла Три системы углов Эйлера Кр е и=К, е ° Кее ' Кои= г,и х, Рис, 2.5, Первая система углов Эйлера, Рис 2.6. Вторая свитена углов Эйлера. 39 Первая из рассматриваемых систем углов Эйлера обычно используется при описании движения гироскопов и соответствует следующей последовательности поворотов (рис. 2.5): 1. Поворот на угол ае вокруг оси ОХ, 2. Поворот на угол 0 вокруг повернутой оси ОУ(К„,в), 3. Наконец, поворот на угол тр вокруг повернутой оси О))у(К,ч). Результирующая матрица поворота имеет следующий вид: Ке,е и = К, рКя,еКм,и Орс р — 5рс05 р — С р5 р 5,рСОС,р 5РСеР+ СйеС05тР— 5<Р5тР+ С~РСОСеР— Сф50, (2.2-17) 505ер 59Сф С0 Поворот, описываемый матрицей К, и, „„может быть также получен в результате выполнения последовательности следующих поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол ер вокруг оси 02, затем на угол 0 вокруг оси ОХ и, наконец, на угол у вокруг оси ОЛ.
На рис. 2.6 изображена вторая система углов Эйлера, определяемая следующей последовательностью поворотов: 1. Поворот на угол р вокруг оси ОХ(К,, е). 2. Поворот на угол 0 вокруг повернутой оси О)г(К,, и), 3. Наконец, поворот на угол ~р вокруг повернутой оси ОЧу(К „). Результирующая матрица поворота имеет следующий вид: С~рСОСтР— С~р5тР— С~рС05еР— 5~рС~Р Сот50 5(рСОСтР + Сие5еР— 5~рС05тР + С~рСтР 5 р50 . (2.2-18) — 50СеР 505тР С9 Поворот, описываемый матрицей К, и и для этой системы углов Эйлера, может быть получен также в результате выполне- ния следующей последовательности поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: на угол ер вокруг оси 02, затем на угол 0 вокруг оси ОУ и, наконец, на угол у вокруг оси ОХ, Еще одну систему углов Эйлера составляют так называемые углы крена, тангажа и рысканья.
Эти углы обычно применяются в авиационной технике при описании движения аппаратов. Они соответствуют следующей последовательности поворотов: 1. Поворот на угол ер вокруг оси ОХ(К,,е) (рысканье). 2. Поворот на угол 0 вокруг оси ОУ(К„,в) (тангаж). 3, Поворот на угол о. вокруг оси ОЛ(К,,о) (крен).
Результирующая мзтрица поворота имеет следующий вид. Йр,в,я= Йг,ойя,вйх,я= 5ф Сф 0 0 1 О 0 Сф — 5$ СфСО Сф595ф — 5фСф Сф5ОСф + 5ф5ф = 5фСО 5ф595ф+Сфсф 5ф59сф — Сф5ф —,% С95хр СОС~р (2.2-19) Поворот, описываемый матрицей Йч я в переменных крен, тангаж, рысканье, может быть также получен в результате выл полнения следующей последовательности поворотов вокруг осей абсолютной и подвижной систем коордпиат: на угол ф вокруг оси ОХ, затем на угол 9 вокруг повернутой оси О(У и, у наконец, на угол ф вокруг повернутой оси О(У (рис. 2.7).') Рйулл о 2.2.5.
Геометрический смысл матриц поворота х Рис. 2.7. Крен, гвнгаяг, рмсквнье ') В принятой явгорвмн системе координат продольная ось аппарата нли сочлснения совпвдвет с осью Я. — Прим. ряд, (третья система углов Эйлера), Выясним теперь геометрический смысл матриц поворота. Пусть точка р в системе отсчета О(У(УФ' имеет координаты (1, О, 0), т. е. р„. = 1,. Тогда первый столбец матрицы поворота представляет собой координаты этой точки относительно системы отсчета ОХИ. Аналогично, выбирая в качестве р векторы (О, 1, 0) ' и (О, О, 1)', легко видеть, что второй и третий столбцы матрицы поворота представляют собой координаты единичных векторов в направлении соответственно осей О)г и ОРУ системы О(у')г)гх относительно системы отсчета ОХУЛ. Таким образом, если заданы абсолютная система отсчета ОХИ и матрица поворота, то векторы-столбцы этой матрицы задают в системе ОХУХ координаты единичных векторов в направлении основных осей системы О(УУ)1о.
Это позволяет определить положение осей системы координат О(У)У)Р' относительно абсолютной системы координат. Итак, матрица поворота определяет положение основных осей повернутой системы координат относительно абсолютной системы координат. Поскольку операция обращения матрицы поворота совпадает с операцией транспонирования, то векторы-строки матрицы поворота задают направление основных осей абсолютной системы координат ОХИ в повернутой системе координат О(У(гйх. Такая геометрическая интерпретация матрицы поворота дает ключ к решению многих задач кинематики манипулятора. Ниже приводится ряд полезных свойств матриц поворота.
!. Каждый столбец матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси повернутой системы отсчета, заданный своими координатами относительно абсолютной системы координат. Каждая строка матрицы поворота представляет собой единичный вектор в направлении соответствующей оси абсолютной системы координат, заданный своими координатами относительно повернутой системы отсчета О (У)У )4х. 2, Поскольку каждый столбец и строка представляют собой координаты одиничного вектора, длина векторов, определяемых строками и столбцамп матрицы поворота, равна 1.
Это свойство непосредственно следует из определения ортонормированной системы координат Далее детерминант матрицы поворота вавен + 1 для правостооонней системы отсчетд и — 1 — для левосторонней 3. Поскольку столбцы (строкн) матрицы поворота являются векторами, составляющими ортонормированный базис, скалярное произведение векторов, определяемых двумя различными столбцами (строками), равно нулю. 4.
Операция обращения матрицы поворота совпадает с операцией транспонирования: Й = Й и ЙЙ = 1в, где 1в — единичная матрица размерностью 3 к', 3. Свойства 3 и 4 особенно полезны для проверки результатов умножения двух матриц поворота и при поиске строки или столбца матрицы поворота, в котором сделана ошибка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
