Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Такая геометрическая интерпретация однородной матрицы преобразования будет часто использоваться в данной книге. 46 2.2.8. Однородная матрица композиции преобразований Однородная матрица композиции преобразований (обозначим ее как матрицу Т) может быть получена путем перемножения однородных матриц элементарных поворотов и сдвигов. Однако, поскольку операция умножения матриц некоммутативна, особое внимание следует обратить на порядок перемножения этих матриц. При определении однородной матрицы композиции преобразований будут полезны следующие правила: 1. Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, однородная матрица преобразования представляет собой единичную матрицу 14 размерностью 4 Х 4.
2. Если подвижная система координат ОО)т!!т совершает поворот/сдвиг относительно осей системы отсчета ОХИ, однородную матрицу предыдущего результирующего преобразования надо умножить слева на соответствующую однородную матрицу элементарного поворота/сдвига. 3. Если подвижная система координат ОУ)т)ут совершает поворот/сдвиг относительно одной из собственных основных осей, однородную матрицу поедыдущего результиру|ощего преобразования надо умножить справа на соответствующую однородную матрицу элементарного поворота/сдвига.
Пример. Две точки а„, =(4, 3, 2)' и Ь., =(6, 2, 4)' требуется сместить на +5 единиц вдоль оси ОХ и на — 3 единицы вдоль осн ОУ. Используя соответствующую однородную матрицу преобразования, определить координаты точек а„„„ Ь,, е „полученных в результате этих смещений. Решение, 4(1) + 1(5) 3 (1) + ! (0) 2(1) + 1( — 3) 1 (1) 1 0 О 5 0 1 0 0 0 0 1 — 3 атдг = 0 0 0 1 11 2 6 2 1 1 0 0 5 0 1 0 0 0 0 1 — 3 0 0 0 1 Ь„„,= 0 0 1 0 0 0 0 ! 0 Ьсоза 0 0 1 Ьз!па 0 0 0 1 0 сова — зша 0 . Т=Т„Т,,= сова 0 0 вша О, 1 0 0 1 0 0 0 сова — ебп а Ьсоза 0 з!па сова Ьвша 0 0 О Смещенные точки имеют следующие координаты: а,„,=(9, 3, — 1)т и Ь,„,=(11, 2, 1)т. Пример. Требуется определить матрицу Т, задающую преобраванне, состоящее из поворота на угол а вокруг оси ОХ, затем смещения на Ь единиц вдоль повернутой оси 0)т. Решение.
Эта задача, может быть, до некоторой степени искусственна, однако она иллюстрирует смысл основных компонент матрицы Т. Мы воспользуемся двумя подходами к ее решению. Первый из ннх противоречит принятому в этой книге стилю изложения, однако является весьма иллюстративным, второй соответствует общим принципам изложения и является более простым. После поворота Т,, направление повернутой оси О)т определяется (через векторы ьи ),, к, абсолютной системы отсчета) вектором 1. = соз а1„+ 61п а(с„т. е. вторым столбцом равенства (2.2-21). Таким образом, сдвиг вдоль повернутой оси О)т на Ь единиц равен Ь), = Ь соз а)„+ Ь ебп ак, и матрица Т имеет следующий вид: Второй подход состоит в том, чтобы, следуя изложенным выше правилам, увидеть, что поскольку матрица Т, „преобразует ось ОУ в ось ОУ, то прежний эффект достигается сдвигом вдоль оси ОУ: 1 0 0 0 0 сояа — я!па 0 0 я!па сояа 0 1 0 0 0 0 ! 0 Ь 0 0 1 0 Т = Т„„Т, 0 ! 0 0 0 1 0 0 1 0 О 0 сова — я!па Ьсояа 0 я!па сояа Ья!па 0 0 О ! соя8 — 5!и 0 0 0 я!п0 соя 0 0 0 0 0 1 0 Т=Т, Т, „Т„,Т„„= 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 а 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 сояа — арпа 0 0 1 0 0 0 0 1 <( 0 О 0 1 0 я!па сояа 0 0 0 0 1 соз 0 — сова я! п 0 я!п а яп 0 а соя 0 я!п 0 соя а соя 0 — ягп а соя 8 а я!п 0 0 яша сова С( 0 0 0 1 Мы определили две системы координат — неподвижную абсолютную систему координат ОХИ и подвижную систему, совершающую вращательное и поступательное движение,— систему координат ООУ(Р'.
Для описания взаимного пространственного положения этих систем координат была использована однородная матрица преобразования размерностью 4к',4. Матрица однородного преобразования обладает тем свойством, что, воздействуя на вектор положения, выраженный в однородных коорди- Пример, Определить однородную матрицу преобразования Т, задающую следующую последовательность преобразований; поворот на угол а вокруг оси ОХ, сдвиг на а единиц вдоль оси ОХ, сдвиг на а единиц вдоль осн ОХ и затем поворот на угол 0 во. круг оси ОХ.
Решение. натах, производит одновременно преобразования поворота, сдвига перспективы и глобальное изменение масштаба. Если эти две системы координат связать со звеньями манипулятора, например с 1-и и (! — 1)-м звеньями соответственно, то система координат (!†1)-го звена будет абсолютной системой координат, а система координат Ого звена, если последнее дви. жется, — подвижной системой координат. Используя матрицу Т, мы по известным координатам р; неподвижной относительно 1-го звена точки р в системе ООУ)р' Ого звена можем получить координаты этой точки в системе координат ОХИ, связанной с (! — 1)-м звеном в соответствии со следующей формулой: р,,=тр,, (2.2-28) где Т вЂ” однородная матрица преобразования, устанавливающая связь между системами координат; р; — расширенный вектор положения (хьуьгь!)', определяющий однородные координаты точки в системе координат Ого звена; р~ 1 — расширенный вектор положения (х; ь у; ь г,, 1)', определяющий однородные координаты этой же точки р; относительно системы координат (! — 1) -го звена.
2.2,0. Звенья, сочленения и их параметры Механический манипулятор состоит из звеньев, соедкненных вращательными или поступательными сочленениями (рис, 2.8), Каждая пара, состоящая из звена и сочленения, обеспечивает одну степень свободы. Следовательно, манипулятор с Л' степенями свободы содержит Н пар звено — шарнир, причем звено 0 соединено с основанием, где обычно размещается инерциальная система координат данной динамической системы, а последнее звено снабжено рабочим инструментом.
Звенья и сочленения нумеруются по возрастанию от стойки к схвату манипулятора; так, сочленением 1 считается точка соединения звена 1 и опорной стойки. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими так, чтобы не образовывалось замкнутых цепей. В общем случае два звена соединяются элементарным сочленением, имеющим две соприкасаюптиеся поверхности, скользящие друг относительно друга. Известно всего шесть различных элементарных сочленений: вращательное, поступательное (призматическое), цилиндрическое, сферическое, виатовое и плоское (рис. 2.9). Из перечисленных типов сочленений в манипуляторах обычно используются только вращательное и поступательное.
В месте соединения двух звеньев определяется ось 1-го сочленения (рис. 2.10). Эта ось имеет две пересекающие ее нормали, каждая из которых соответствует одному из звеньев. Относительное положение двух соединенных звеньев (звена ! — 1 и звена !) определяется величиной А — расстоянием между этими Х1таиРтптельнов тсооское йооптупапт еловое йипинори косное с лпе Х Юикпто лое сутери косное ко о Рнс, а.9. Элементарные сочлененим со иеке- кие о .. д' ьокпекекие а+у оковке ° ' кое Ю неко с+! 50 нормалями, отсчитываемым вдоль оси сочленения.
Присоединен. ный угол О, между нормалями измеряется в плоскости, перпендикулярной оси сочленения. Таким образом, А и 6; можно назвать расстоянием и углом между смежными звеньями. Они определяют относительное положение соседних звеньев. Звено 1 (~ = 1, 2, 3, ..., 6) соединено не более чем с двумя звеньями (1 — 1-м и 1 + 1-м звеньями); таким образом, в точках соединения рго звена с двумя соседними определены две Рне,.й.а. Звенья и сочленения манипулятора Пума. оси сочленений.
Важное свойство звеньев с точки зрения кинематики состоит в том, что они сохраняют неизменной конфигурацию относительного расположения соседних сочленений, характеризуемую параметрами а, н аь В качестве параметра а~ выбрано кратчайшее расстояние между осями х; 1 и х; 1-го и 1+ 1-го сочленений соответственно, измеряемое вдоль их обшей нормали. а~ — угол между осями сочленений, измеряемый в плоскости, перпендикулярной их обшей нормали. Таким образом, а, и сс; можно рассматривать соответственно как длину и угол скрутки рго звена. Эти параметры характеризуют конструктивные особенности схго звена. Итак, с каждым звеном манипулятора связаны четыре параметра: аь аь А, Оь Если для этих параметров установить пра- Рне.
2.10. Система координат авена н ее параметры, вило выбора знаков, то они составят набор, достаточный для описания кинематической схемы каждого звена манипулятора. Заметим, что эти параметры можно разделить на две пары: параметры звсна (ао а;), которые характеризуют конструкцию звена, и параметры сочленения (с(ь О,), характеризующие относительное положение соседних звеньев. 2.2 !О. Представление Денавита — Хартенберга Для описания вращательных и поступательных связей между соседними звеньями Денавит и Хартенберг !57) предложили матричный метод последовательного построения систем координат, связанных с каждым звеном кинематической цепи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
