Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для 1-го звена имеем 1 (5 Π— С 9 — 8 — 02 — 20 02) + 93 1(01 + 82 + С201 + 520~1) + лс12 0 '1сеа1 = Жы ) Х ('1(еа,) + (1КМ Х (('К,ы1) Х ('Кчз1)1+ ЧМ, где 1(~~б~ — С28' — 1/~0', — ~/~02 — 0,02) + д5ы 1(С,6, + Я,в~ + 11,б, + 1,О,) + аС„ — — С 2 — — С, 2 2 — — 5 1 1 — — Я 2 Обратные уравнения, Считая, что охват манипулятора не нагружен, имеем 1, = из — — О. Для расчета сил, действующих на звенья, пользуемся равенством (3.3-56). Для 2-го звена с учетом 0 0 140 141 — (в',+ да 19, +дС, В,Х((2~ — 101+ д51 1В,+дС, 0 — 1В', + дя1 1б,+дС, 0 !,1 того, что 1з = О, имеем тз! (Яг81 — Сзб~ Чзб~ — '/зВз — 81ез) + дтг31з) тз1 (Сз01+ Яз01+ ~/зе~ + ~/зез) + лтзсзз 0 Для 1-го звена С, — зз 0 йа1з — йз( йо1з) + 'йаР, = Зз С, 0 Х 0 0 1 тз1(изб — с б,— /,В',— /,е; '— е,е,) + й „3, Ш21 (С201 + 3~01 + ~/ О + / О ) + йтзс + т!й а~ 0 тз1 ( О~ ~/зсз (О~ + Вз) Сз01ез ~~з5з (01 + Оз))— тзи (С~зЗз — СДз) — ~/зтз10~~ + тздЯ~ шз1 (0~ — ~/з3з (бз + Вз) 3зб~бз + 1/~сз (0~ + Вз)] + + таас, + '/зт,10, + Вт,с, 0 С помощью равенства (3.3-57) вычислим моменты, действующие на звенья.
Для 2-го звена с учетом того, что пз — — О, имеем 'й,п, = ('К,Р', + 'й,з,) Х (зй,Р,) + ай,й1„ где Рз = %з; 'йар' = — Зы Сп 0 131з —— 0 Таким образом, Ш,1 (з,в, — с,е', — /,бз — /,е,' — В,ез)+лт,3„ т,1 (СзО~ + ЗзО~ + '/зО~ + '/зез) + згтзс~з -(- 0 2 йопз= 0 Х 0 0 0 . 0 0 0 '/ т1' 0 0 0 0 /зтз( бз + '/зпзз1 Вз + '/зтз1 (Сзез + Яз01) + '/зтзд1 См Для 1-го звена получаем 'К,п, = 'й.,(зйопз+ ('й,р*,) х', (зйа1,)1+ +(Кар~+ йа ~)~(йо 1)+ йа где — 'йар', = Р~ = 1о. ' Кар~ = Таким образом, 'К,п, = 'й, ('й,пз) + 'й, (('й,р',) Х ('йо(з)1+ +[-, О, О] Х йоР1+ йой(з Наконец, в соответствии с выражением (3.3-58) определим моменты, которые должны быть реализованы силовыми приводами сочленений.
Для 2-го сочленения, полагая Ьа = О, получаем тз = (зйопз)г (зй1хо) = = '/,т,(зб, + '/,т,/зез+ ч/зтз(зсзб, + '/зтзл1С„+ з/~Ш,Ю,Он Для 1-го сочленения при Ь, =0 имеем тз = ('йап,) ('йохо) = /зМ 81+ /злза1 В~ + 'lзтг1 ез + тзСз1 01+ '/ тз1 Оз— — Ш,Яз1'О,Оз — '/~тз3з1 Оз + '/~т,й(с, + '/~тй1см+ т~й(с,. Эти уравнения динамики движения манипулятора совпадают с уравнениями, полученными в разделе 3.2.6 с применением метода Лагранжа — Эйлера. 3.4. ОБОБ(ДЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ Д'АЛАМБЕРА Вычислительная неэффективность уравнений Лагранжа— Эйлера обусловлена использованием матриц преобразования однородных координат.
В то же время удобство использования уравнений Ньютона — Эйлера объясняется их рекуррентностью и векторной формой записи. Для того чтобы получить замкнутую и эффективную с вычислительной точни зрения форму записи уравнений движения, можно, описав кинематику звеньев с помощью векторов относителызого положения и трехмерных матриц поворота, вычислить кинетическую и потенциальную энергии манипулятора, сформировать функцию Лагранжа, а затем воспользоваться уравнениями Лагранжа — Эйлера. В этом 143 разделе мы получим уравнения движения Д'Аламбера в форме Лагранжа, илн, что то же самое, обобщенные уравнения Д' ламбера.
Здесь мы будем рассматривать только манипуляторы с вращательными сочленениями. Считая звенья манипулятора твердыми телами, угловую скорость ео, з-го звена относительно базовой системы координат в. Эбело 1 т 55лалбав сиепелта каордлнат Рне. 8.8. Опрелеленпе векторов, непольвуемых в обобщенных уравненнпх Д'Аламбера, можно представить как сумму относительных угловых скоростей звеньев с меньшими номерами (рис. 3.8): 5 щ,= ~"„й,з,, (3,4-1) где з, 5 — ось вращения )его сочленения, заданная в базовой системе координат. Умножая слева обе части равенства (3.4-1) на 'Ка„ получим угловую скорость з-го звена, выраженную в системе координат этого звена: Кеевт = ~ 85 Коху (3.4 52) / 5 Пусть (см.
рис. 3.8) г, — вектор положеняя центра масс з-го звена в базовой системе координат. Его можно представить в следующем виде: 5 — ! ,= Х [[Х05,,]х51].~.[ьт <,]х . (544) Кинетическая энергия з-го звена (1 ~ з ( а), имеющего массу т„складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг центра масс; Ха = (Ка)пост + (Хт)врсш = '/хлат(ь)5 1)5)+ 'Й ('Касоа) 1,('Кеваа) (3.4-8) где 1,— тензор инерции з-го звена относительно центра масс, представленный в системе координат з-го звена. Для простоты рассуждений динамические эффекты, связанные с поступательным и вращательным движениями и воздействием силы тяжести, рассмотрим по отдельности, Применяя уравнения Лагранжа к составляющей кинетической энергии, обусловленной поступательным движением з-го звена, имеем для 3 ~ )1 И ( д (Кт)пост ) д (Кт)пост дв, ! дв; И =пьч, —.+ дт, дв~ ле,ч, — г — ~ — т,ч, —, (34-6) Где 5 дт дт]дв ] ' дз гдв ...
+р',+с)= зЪ|. дв, =х,, Х(г,— р,,), (3.4-7) С учетом тождеств дта дт (8.4-8) Я. дв, дв~ равенство (3.4-6) принимает вид где с,— вектор относительного положения центра масс з-го звена н начала (з — 1)-й системы координат, выраженный в базовой системе координат. С помощью равенств (3.4-1) — (3.4-3) линейную скорость ч. з-го звена в базовой системе координат можно представить в виде суммы линейных скоростей, обусловленных движением звеньев с меньшими номерами: (3.4-3) (3.4-9) 148 г,= Х р'+с„ '" '] '"" — тч [х К(г — р )] де двп .1 двп "[ 81'., -"' Суммируя по всем звеньям от ! до и, получаем силы, обуслов- ленные поступательным движением всех звеньев: д(К Е)аар, дви ! д(К. Е )ивер ~ д! ( дО; л п — '."'*'1 — дв"""~=~~' псах/5 [ас !СХ(га — рс и)) 3 ! (3.4-10) где с учетом равенств (3,3-8) и (3.3-12) ускорение В/, з-го звена определяется формулой ', - + [К [(Ь в..и, ) Х р)] ~- (/.
В,*,,) Х.в]- [(С В,)Х р'.И-В[(/.В,*,,)х[(/ в,;,)хр,]]]-о 4-[(С. в„,)х-.].~[(/ ои,,)х[(/ в...,) х-.,]]4. +/ [с [(ь В,*,,)хе,*,,]хо,']+ 4. [с [(с. в... , ) х е,*, , ] х ,] . „ )3. 4- ив мулои / 5 в,г Иа!,„= / Иал)'ив)Й,,) =5(З,в,'Йе,,) и,(ДВ,*Й *, ). /- и / и (3.4-12) Кинетическая энергия вращения з-го звена определяется фор- а! ( ахов! !) = ~„~ дв !хов! ! ) д! = ахов!-! Х ~~ О/ !сов/-! а'.
(, дв/ ! / С (3.4-!3) дифференцируя по времени равенство (3.4-И), имеем г еаа — ( и *!"-)-( — 'Й...,) и,(фа,'Й;,)4. .КЙ,*,,)'и,(! о,'Йи,, )4; (Й...)' и, / в, ( —,4, 'ива-,)]- х! != ! 3 ~г =- 'Йа,,х/ а'Й.а ) и,(/ е,'Й.а,)-о / и ! ! +Ге *-)'В(ЬЕ*в.Й )4- / и 4;ГЙ.
)'4,(/ (в/Й... х / о Й...,)].. !=и Й=/-и-! Пользуясь теперь равенством (3.4-14), найдем частную произ- водную величины (К,)„щ по координате О! (з «!): Г 1" Г' — ([/ ВИ'Йа- ]Х ЙИВ,] И.[/ В ЙИИ-]. )3.4.ИВ) /=и / Вычитая (3.4-17) из (3.4-!6) и производя суммирование по всем звеньям от ! до п, получаем силы, обусловленные вращательным движением звеньев; д (К Е)враш 1 д (К Е )врал дОС Поскольку дв! 5=! (3.4-1 4) =(ЙФ-,) И, с,о Й и-), )В )3433) дО! д .!О и !агав!-!) = 14ав/-! Х 1!Вас-и ! ~«!* д (Кв)вращ 1 д (Ке)вращ ~ д! (. даи (/*в,а,)'и,(/ Е, Йа,,))-,— +/'р...) в.[~[в,р...х(1 в.ъ...,)]!.« в 1. о /+» «-[*р.*,, х(/.
в 'р~,)] в,(/. в,'р.*, ). /'=1, 2, ..., л. (3.4-18) Потенциальная энергия манипулятора складывается из потенциальных энергий всех его звеньев Р. Е. =,'р Р„ (3.4-19) р ! Здесь я =(дв, //„, пр)г и [йр[= 98062 м/Рс'. Применяя уравнение Лагранжа — Эйлера, имеем для в/ д(Р) 1 д(Р) д(Р) д(/в/ в+Р/+ ° ° +ов) «// дв .] дв/ дв/ ~ '1 да/ д (г, — р/,) = д ° /пв дз = д и/р [х/, Х (г, — р,,)[, (3.4-21) где р/ / не зависит от О/.
Суммируя по всем звеньям от 1 до а, получаем моменты, обусловленные силой тяжести: д(Р. Е.) и ~д(Р. Е,)~ д /Рв) /г т,[х/,Х(г,— р, 1)!. (3.4-22) в / Суммируя равенства (3.4-10), (3.4-18) и (3.4-22), получаем момент т/, создаваемый силовым приводом /-го сочленения для реализации заданного движения манипулятора: т,= "1 ""1+~ ('"/ 'Г в// [ дв/ .) дв/ 1 [ рц ), дз/ 'вв,""!»- вврв — К( . [[/, (/,в»...) Х р]+ «- [ (/ вр*, , ) х ,] ] э, , х в., — р, ,о) «- 148 где Р,— потенциальная энергия з-го звена, вычисляемая по формуле Р,= — /г т,г,= — я ° т,(р,,+р,".+ ...
+с,). (3.4-20) +/'[в*рр/,)'в,[/ в,'р,*,,)]«- +~[,[~ [[(/. вх,,) х[(~ в...-) х р ] [+ +[/, [[/, вр,,)хвь „]хр)1)] 1*,,х/;-р, )1)«- «. /. [, Я/„в...,) х [(/„в,*,, ) Х,] ! + «- ф [ф ох,, ) х вх,,] х С]) в*,, х /, — р,,ц)»- »-/ [Гр~,,)'в«[/ [в,*р,;,х[ / в,р,...)]!»- «- ['р.*,, х (/. в,*р...,)] в,(/. в,'р,*,,))+ .в-в [, х[/,,в,— р, о]]. /«Аввв ь/-г Полученное равенство можно представить в следую)цей более наглядной форме: О//О (/)+///'"(О, О)+67' (О, О)+а/ т~(/), (3.4-24) / в где для / = 1, 2, ..., и 1) 1)7' + 1)7* = ~ [(Ъ,Ф,,)~1.(м,х,,)[+ в / »-ь[,[*,,х(Р р'.+*.)) )...хА-в З))- Е [( мох/-/) 1в( Йох/-/))+ в / и + Хт„(т, [х/ в Х(г, — р/ 1)1 ° [х/ в Х(Г~ — р/ 1Щ, /~(/1 в / (3.4-25) 149 зг-(зз)=П[-,[П([(ПРР,,)[(ЕРР,)ХК]] .
.~-[Ь [(Ь З,,)ХРЛ,]ХР!])] )*,,Х(,— Р,,)!].(- ч Е [,([(ь Р...,)х[(ь а,*, )х .]]ь ч-[ь [(о з,*,-)хз,,-]хь]) (*- х(.— р ))]; (3.4-26) ° Г Гяг / з з, -(з,з)=Г [(вл,,)'([ь [знал;,( ь з,ял.,)]] е ["- ( ""-)]'( """-)] , = — я . [*, †, х ь ( — Р )]. (3 4 22) /=! Динамические коэффициенты хз,/, гл являются функциями присоединенных переменных и параметров манипулятора, в то время как и,""' и /!";~ ' — функции присоединенных переменных, скоростей и параметров манипулятора. Эти коэффициенты имеют следую!ций физический смысл: ° Коэффициенты с/и связаны с инерционностью звеньев манипулятора.
Равенство (3.4-25) отражает влияние ускоренного движения в /-и сочленении на реализующийся в !'-м сочленении вращающий момент то Первое слагаемое в выражении (3.4-25) учитывает влияние вращательного движения /-го звена на возникающий в (чм сочленении момент. Если /=/, то суп характеризует момент сил инерции, возникающий в !'-м сочленении в ответ на ускоренное вращение (-го звена. Если / Ф /, это слагаемое характеризует момент сил инерции, возникающий в /-м сочленении в ответ на ускоренное вращение /-го звена. Второе слагаемое в выражении (3.4-25) отражает аналогичные эффекты, обусловленные поступательным ускоренным движением звеньев.
е Слагаемое й',"(9, 9) отражает эффекты, связанные с постоянной скоростью изменения присоединенных переменных. Равенство (3.4-26) описывает суммарный момент центробежной и кориолисовой сил, возникающий в /-м сочленении как следствие движения в р-м и с/-м сочленениях и обусловленный поступательным движением р-го и (/-го звеньев. Первое и третье слагаемые в выра>кении (3.4-26) представляют собой центробежную и кориолисову силы инерции, обусловленные соответственно 150 поступательным движением звеньев с номерами, меньшими з, и поступательным движением з-го звена. Если р = с/, это центробежная сила, действующая в !'-м сочленении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
