Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Внд поливанов для 4-3-4-треекторнн Первый участок траектории: ( о!! ( „ Г 4! 1 , 31(!) = [б, — оо)! — — — а ) !" + а!' + [ — л) !' + (оз/1) ! + Ети 2 й(Ц 45 о о = — — — Зоз — аз)! —— й! ( ц 125! 12ое бст а, — = — — — — 5аз —— 1 1 1 12 1 Второй участок траектории: Ь (!) = бз — о,12 — - ~ !з+ [ ) !з+(о!!2) !+ 8! и Оц зб а!!з ез = — = — — 2е! — —, 12 !з 2 йз (Ц ббз бо, а = —,= — — — — 2а,!з. 2 2 Последний участок траектории ~2)„ бл(!) [Збп 4оз!п 2 5"!!п+ ) ! + + [ — Збл + бо)те — + Воз!к ~ !з + [ — ~ !в+ (Озтл) Г + Вн тде о =//у, и 2!и 2!л 3423 5221 Г !лЧ 2бп!! /=25! [4+ — л+ — л+ —" - — ''3+ — '+ —— !в !! г! .) !з (.
22 з 2л Ечз 4гл Згл Ч Г о !! 2!1 542'1 — оз!! [6 + — + †" + †" ( — о)!1 — азт!тп [ — + — + — + — (+а)Г!гп, 1, ~З !з !п 2! ( те 21„ 312 у — + — + 2+ —. Таблица 4.4. Внд поликанов для 3-5-3-траектория Первый участок траектории„. аог! 3 з Г аог! 3, б!(О = б, — сз!! — — ~ те+ ~ — ~1'+(оз!!) !+Вз, 2 й! (ц зб, аа!! о1 = — = — — Зоа — —, 2 й (Ц 65! 6оз а,, = —, — — — 2аз. З 2 135 Прололженне табл. 4.4 Второй участок траектории; а, 12 аг(1 Ьг(1) = ~ббг — Зсьтг — Зогтг — — + =~ М+ 2 2 З'112 + ~ — 1ббг + Зо~(~ + Ус~те + — — а212 ~ 1'+ '1 Г '1 За,те от,1, Га,т 1 + ~1062 — бо~(г — 4ог(г — =+ (г + га+ 2 2 3 ~ 2 + (о~с~) 1+ О~ ьг(1) зб а11к ог= — = —" — 2о + —, 12 1„1 2 й (1) — бб„б —,, "+ — — 2а, Пос.тедкий участок траектории; ..()ф.—., ++1 +(- .+,.—.,-) -+ а(1„1 2 + ~збк — 2с(1 + — ~ 1+ 82 При использования кубических сплайнов каждый из пяти участков траектории описывается полиномом вида Ь( (1) = ага(а + а(212+ а;,1+ а;о 1=1,2,3,4,п (4.3-51) при и, ~ <т <т; и 1я)0, 1).
Рн обозначает 1-й неизвестный коэффициент, соответствующий 1-му участку траектории; и-й участок траектории — последний. Применение кубических сплайнов подразумевает наличие пяти участков траектории и шести узловых точек, Однако в наших предыдутцих рассуждениях мы пользовались только четырьмя узловыми точками; начальной, точкой ухода, точкой Аналогичные вычисления применяются при расчете 3-5.3-траекторий. В качестве упражнения читателю предлагается самостоятельно построить такую траекторию.
Окончательный ее вид представлен в табл, 4,4. 4.3.2. Описание траекторий кубическими сплайнами Интерполяция заданной функции кубическими полиномами, обеспечивающая непрерывность первых двух производных в узловых точках, называется кубическим сплайном. Такой способ интерполяции обеспечивает достаточную точность аппроксимации и гладкость аппроксимирующей функции.
В общем случае сплайн представляет собой в каждой точке полипом степени й с непрерывными й — 1 производными в узловых точках. В случае кубических сплайнов непрерывность первой производной обеспечивает непрерывность по скорости, а непрерывность второй производной означает непрерывность по ускорению.
Кубические сплайны обладают целым рядом преимушеств. Во-первых, это полиномы минимальной степени, обеспечивающей непрерывность по скорости н ускорению. Во-вторых, низкая степень используемых полиномон сокращает вычислительные затраты и снижает возможность возникновения вычислительной неустойчивости. 188 те г к Время Рис. 4.4, Граничные условия для траектории, описываемой кубическим сплайном. подхода и конечной. Таким образом, требуется задать еше две узловые точки с тем, чтобы обеспечить достаточное число граничных условий для определения неизвестных коэффициентов ар Эти дополнительные узловые точки можно выбрать на отрезке траектории между точкой ухода и точкой подхода.
Нет необходимости точно знать значения присоединенной координаты в этих точках, достаточно задать моменты времени и потребовать непрерывности скорости и ускорения. Таким образом, выбранная система интерполяцнонных многочленов должна удовлетворять следующим граничным условиям: 1) присоединенная координата должна принимать заданные значения в начальной точке, точке ухода, точке подхода и конечной точке; 2) скорость и ускорение должны быть непрерывны во всех узловых точках, Граничные условия для траектории, описываемой кубическим сплайном, представлены на рис. 4.4. Значения тех переменных, которые на рисунке подчеркнуты, известны до начала расчета планируемой траектории. Первая и вторая производные используемых полнномов по отношению к реальному времени соответственно равны ЙЕ (1) Зазз1з + 2а)з1 + аЕ, о1 (Е)— 1Е 1 = 1, 2, 3, 4, а, (4 3-52) ЙЕ (Е) ба;,,1+ 2а)з а (Е) = ! 12 Ез 1 Е )=1,2,3,4,а. (4.3-53) Йе (Е) аЕЗЕ + ам( + ап(+ аео.
(4. 3-54) При Е = 0 в соответствии с начальными условиями имеем Ь,(0)=ам —— Оо (Оо задано), (4.3-55) д Й,(о) а„ оо (4.3-56) Отсюда получаем ап = оо(1. Далее, Й~ (О) 2ам а о 12 (4.3-57) з ао Ее и, следовательно, аео= —. 2 При Е = 1 в соответствии с условием, накладываемым на положение в точке ухода, имеем аозе й, (1) = а 1з + — + оо(1 + Оо = 0 . (4.3-58) Отсюда легко найти аоЕ( аез = Ое — Оозз 2 (4.3-59) 188 где Е; — интервал реального времени, затрачиваемый на прохождение Е'-го участка траектории.
Заданные положение, скорость и ускорение в начальной и конечной точках траектории, а также положения в точках ухода и подхода полностью определяют коэффициенты полиномов Ь,(Е) н Ьа(Е), описывающих начальный н конечный участки траектории, При известных Йе(Е) и Й„(Е) коэффициенты полиномов Йз(Е), Йз(Е), Й4(Е) определяются из условий непрерывности в узловых точках. Первый участок траектории описывается полиномом где бз = Ое — Оа ь Таким образом, первый участок траектории полностью определен 12 оо(1 2 1 Е + ~ 2,$ Е + (со(1) Е+ Оо (4 3-60) В соответствии с выражением (4.3-60) скорость и ускорение в конечной точке первого участка траектории равны й, (1) Д Збе — (аоЕ,)/2 — 2оо11 361 а„Е, — о — 2 по (4 3-61) 1, 2 ЙЕВ) д 661 2ао11 — бооЕЕ 661 2 Ез а,— Е 1 Ез ! й (1) Д ба„,+2а„з з аЕ= (4.3-67) Решая эти уравнения относительно неизвестных козффициен. тов а„з, а„„а„ь получаем Ьа(Е) =~б.— оЕ(а+ 2 ~(з+( — Зба+Зо)(л — аЕ(а)('+ а 1 + ) Зб„— 2о)1„+ Щ Е + О„, (4.3-68) где 5„=0,— 0„.
Второй участок траектории описывается полиномом Ьз(1) = азз(з+ амр+ азеЕ+ ака (4.3-69) Из условий непрерывности по положению, скорости и ускорению в точке ухода находим "з (О) = аао = 01 (О, — известно), Йз (О) ам Йз (1) (4.3-71) Ез Ез Ее 188 Эти скорость и ускорение должны совпадать соответственно со скоростью и ускорением в начальной точке следующего участка траектории.
Последний участок траектории описывается полиномом Ь„(Е) =а„з(з+ а„з(з+ а„,Е+ а„о. (4.3-63) Пользуясь граничными условиями для (=О и (=1, получаем Ь„(0) =а„о= 0„(0„— задан), (4,3-64) Ь„(1) = а + а„, + азн + О„= Ое, (4.3-65) й„(1) Д За„, + 2а„, + а„з (4.3-66) Еа Еа Отсюда следует а,э — — 01(2, 6, (О) 2а,э 61(1) (4.3-72у (4,3-81) 2 2 1 (4.3-82) (4.3-74) (4.3-?5) (4.3-76) 6 (О) а4 6з (1) 0 (4.3-87) 14 (э что дает ам = 03(4. Далее, 114 (О) 2242 Йз(1) а— (4.3-8чэ 3, э 2 2 12 (4 3-78) 4."3 6 (0) а„ 02 1, 1, 62(!) (4.3-79) 62 (1) (4.3-80) аэ(з Отсюда получим а„=— 2 190 2 аэ(2 и, следовательно, азз=— 22 2 С учетом найденных коэффициентов можно записать аА", 2 "2() ='23" + ~ — 2~1'+ (0А)1+ 00 (4373) аэ(э бб, боэ где 01= — 20о — —, а! = — ' — — ' — 2а,, 2 Остается найти коэффициент а,з.
С помощью равенства (4.3-73) найдем скорость и ускорение при 1'=1, которые должны совпадать соответственно со скоростью и ускорением в начальной точке следующего участка траектории: 'А 6,(1)=02= „+ —,+0А+Оь " (В за23+ 2112+ 2112 за23 02 =0,+а!1 + —" ~2 2 12 64 (1) база + а!62 баз =а,=, =а, + —, 22 Заметим, что каждая из величин Ом 02 и аз зависит от значения азз. Третий участок траектории ощгсывается полиномом 63(() = азз(3+ азз( + аз!1+ азо (4.3-77) В точке 1=0 в соответствии с условиями непрерывности по положению скорости и ускорению имеем аэ(, "з (О) = азо = О = азз + = + 0 А + О„ Таким образом, ам — -- 02(3. Далее, 6э (О) 2азэ 132 (з Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (4.3-77), получаем Г 24',1 2 113 (4) азз~ + ~ 2 ) 4 + 02(зэ + 02. Найдем в точке 1=1 значения скорости и ускорения, которые должны совпадать с соовтетствующими характеристиками в начальной точке следующего участка: а э(3 Ь, (1) = О, = О, + 0А+ 2 + азз, зазз 14 (э !э Йз (1) баэз+ аа(з баэз — =а,=, =а,+ —, !3 (3 !3 Заметим, что каждаЯ из величин Оз, 01 и аз зависит от азз и неявно зависит от азз Четвертый уэасток траектории описывается полиномом 64 (() а43( + а42( + а41( + аэо (4.3-85) Используя условия, накладываемые на положение в точке подхода, а также условия непрерывности в этой точке скорости и ускорения получаем аз(32 Л,(0) = ам — — 03 = 02+ 0243+ — '+ а„, (4,3-86) 3 4 Отсюда получаем ам= 2 Подставляя найденные выражения для коэффициентов в равенство (4.3-85), получаем Ь, (Е) = азз(з + ~ 2 ) 1'+ (0314) 1+ Оз, (4.3-89) где Оз, 03 и а, определяются соответственно равенствами (4 3-82), (4.3-83) и (4.3-84), а коэффициенты азз, азз и аэа по- прежнему неизвестны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
