Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 35
Текст из файла (страница 35)
При таком подходе сначала вычисляются векторы присоединенных координат Ч„соответствующие узловым точкам траектории, заданным в декартовом пространстве. Затем вычисленные векторы используются в качестве узловых точек в процедуре построения траектории изменения присоединенных переменных, аналогичной процедуре, используемой при построении траектории в декартовых координатах. Движение из точки Ч, в точку Ч~ описывается уравнением г (4.4-58) 1 при ~~реходе от участка между н Ч к уч Ч, движение задается формулой Ч (1') = Ч~ — лтг ЛЧ~ + 4 г ЛЧ>, (4.4-59) (т — р)' (т+1')' т 2 где ЛЧ~ =Ч1 — с)с, ЛЧ>=ЧЗ вЂ” Чь а Ть Ть т и 1' имеют тот же смысл, что и выше. Эти уравнения обеспечивают постоянную скорость движения между узловыми точками в пространстве присоединенных координат и плавный переход с постоянным ускорением от одного участка траектории к другому.
Однако при этом система координат схвата может существенно отклоняться от заданной прямолинейной траектории. Величина отклонения характеризуется разностью между Г, (1), описывающей в п ост анстве Г, 1 п сы аю ей положение вата, соответствующее точке Ч; 1 р присоединенных переменных, и Гк охвата в момент при у . странствс. Отклонения молинейной траект р о ии в декартовом простр е еляются соответственно форму- положения и ориентации определяются соо в лами б, = [р! (1) — ре (1) [, (4 4-69) бя — — [ УгловаЯ часть Ко((п, сР)[ = [Ч>, (4.4-6!) , ые отклонения по положению и '1 !! (1). Задавая максимальные допустимые отклоне "'"' и бя'"', мы потребуем выполнения условий ориентации бр и я , м макс (4.4-62 ( .4-62) бр (бр и бя ~«бя необходимо вы рать б достаточное количество промедв мя посчедовательиымн узловыми 282) ос б пост оен точками. р , „едложенный Тэйлором [2 спосо .
онениями является по существу нательного построения промежуточных тоог аниченными отклонениям й (4 4-62) Этот чгочек, обсспсчиваюших их выполнение услови ритм обладает быстр ой сходимостью, хотя не является минимальпомощью набор промежуточных точек и не я ным. Этот алгоритм р п иведсн ниже. т аекто ий с ограниченными отАлгоритм формирования траекторий с бмакс клонения . р ми. П и заданных . а максимальных отклонениях р ветственно и заданных пространстве этот и и о иентации соответ ч сах Г, т аектории в декартовом узловых точках о ми ет последовательность ., ьность промежуточных узлов п ост анстве поисоединенных переменных такую, что отклонения я системы координат схвата вом пространстве не превышают нейной траектории в дакартовом пр заданных пределов. рисоединенных переменных.
$!. Вычисле ние значений присо иненных кооРдинат Ча и Чь соотОпределить векторы присоединенных к прис ранстве швед>>не~- мГ игь $2, Вычисление средней точки в про т ных переменных. . Вычислить среднюю точку Ч в про р присоединенных переменных Ч,„= Ч~ — ')с ЛЧ~ сис где ЛЧ~=Ч! — Чс, и '"" значениям ЛРисоединенных кооР- нат схва охвата, соответствующее значе динат Ч неи точки в декарчовом пространстве $3. Вычисление сРедней т'ч" н ' д,оч, Г, тРаектоРии в Вычислить соответствующую среднюю точку . т 200 декартовом пространстве: Ра+ р1 р, =, й, = К, Ко1 ] 111, о 2]' где Ко! (и, 0) = Ко К~ 84. Вычисление отклонения. Вычислить отклонение Г от Г, бр — — ] р,„— р,], бя —— [угловая часть Ко1(п, гр) = К, К ] =]чг] ".
85. Проверка условия ограниченности отклонений. Если 6 ( б"" и бя ( бяа", закончить работу алгоритма. В противном слУчае вычислить вектоР йе пРисоеДиненных кооРДинат, соответствующих точке Г, декартовой траектории, и выполнить шаги 82 — 85 последовательно для двух подынтервалов, заменяя Г1 на Г, и Г, на Го. Этот алгоритм обладает достаточно быстрой сходимостью. Как правило, на одной итерации максимальное отклонение уменьшается примерно в 4 раза. Тейлор [282] исследовал скорость сходимости представленного алгоритма для цилиндрического манипулятора (два поступательных и два вращательных сочленения).
Оказалось, что на одной итерации максимальное отклонение уменьшается не более чем в 4 и не менее чем в 2 раза в зависимости от положения манипулятора. Итак, метод построения траекторий с ограниченными откло. пениями состоит в формировании последовательности промежуточных точек в пространстве присоединенных переменных, обеспечивающей движение охвата в декартовом пространстве вдоль траектории, отклонение которой от заданной прямолинейной траектории не превышает заданных пределов.
4.4.3. Описание траектории кубическими полнномами с учетом ограничения моментов " Правильнее писать оя = ! угловая часть йо1 (и, Ч) ! = ! га ], где йо1(а, гр) й |й . — Прим. перев. 210 В предложенных Тэйлором способах планирования прямолинейных траекторий формирование векторов присоединенных координат [г)(1), 9(1), 9(1)» вдоль заданной в декартовом пространстве траектории производится без учета динамики манипулятора. Однако характеристики силовых приводов сочленений имеют участки насыщения, н величина развиваемых приводами сил и моментов ограничена. Ограничения располагаемых сил и моментов необходимо учитывать при планировании прямолинейных траекторий.
Это приводит также к необходимости двух последовательных этапов в осуществлении управления манипуля- тором: выбор оптимальной траектории до начала движения и регулированис движения вдоль выбранной траектории в процессе работы манипулятора. При планировании прямолинейных траекторий в декартовом пространстве условия, которым должна удовлетворять траектория, задаются в декартовых координатах, в то время как ограничения реализуемых приводами сил и моментов задаются в пространстве присоединенных переменных. Таким образом, возникает задача оптимизации с ограничениями, заданными в различных системах координат.
Путем аппроксимации полиномами низкой степени можно сформировать траекторию манипулятора в пространстве присоединенных переменных, соответствующую траектории в декартовом пространстве, и проводить оптимизацию траектории и регулирование движения на уровне присоединенных переменных [59]. Другая возможность состоит в том, чтобы преобразовать ограничения сил и моментов к декартовой системе координат, в которой затем проводить оптимизацию траектории и регулирование движения [)65].
Несмотря на необходимость проведения многочисленных нелинейных преобразований из декартовой системы координат в пространство присоединенных переменных, более простым оказался подход, в котором планирование траектории ведется на уровне присоединенных переменных, Лин [!72] предложил способ интерполяции траектории в пространстве присоединенных координат между узловыми точками, выбранными на заданной прямолинейной траектории. С помощью этого способа прямолинейная траектория в декартовом пространстве преобразуется в Х траекторий присоединенных переменных — по одной для каждого сочленения.
Поскольку аналитический вид такого преобразования неизвестен, используются способы полиномиальной интерполяции, позволяющие аппроксимировать заданную траекторию. Для этого иа заданной траектории выбирается достаточное число узловых точек и каждый из участков между двумя последовательными узловыми точками аппроксимируется А' по. линомами — по одному для каждой присоединенной псременной. Аппроксимирующие полиномы должны проходить через узловые точки.
Для аппроксимации Лин [)72] выбрал кубические поли- номы, позволяющие получить достаточно гладкую траекторию при малых перерегулированиях по угловому положению между соседними узловыми точками. Между каждыми двумя соседними точками из п используемых узловых точек траектория аппроксимируется отрезком кубического полинома. Значения присоединенных координат в п — 2 узловых точках фиксированы. В двух узловых точках значения присоединенных координат априорно не определены.
Это необходимо для того, чтобы обеспечить выполнение условий непрерывности по положен!по, скорости и ускорению вдоль всей траектории. Для определения не- 21! известных коэффициентов полиномов нужно решить систему п — 2 уравнений. Получаемое векторное уравнение имеет удобную для решения структуру. Его решениями являются аппроксимирующие траекторию функции, которые зависят от интерва. лов времени между узловыми точками. Для минимизации времени прохождения всей заданной траектории нужно скорректировать величины этих интервалов с учетом имеющихся ограничений. Тем самым задача сводится к минимизации времени движения путем соответствующего выбора временнйх интервалов.
Пусть однородная матрица Н (!) описывает положение си. стемы координат охвата. Схват должен пройти последовательность узловых точек в декартовом пространстве; Н (1!), Н(12), ..., Н(1„). Векторы присоединенных координат (дгг, 4)2! Чл!) (Чгг Ч22 ° 4)лг),, (Фг, 412», °, г(иг) соответствующие этим узловым точкам, вычисляются с помощью программы решения обратной задачи кинематики.
Здесь дг! обозначает 1-ю присоединенную переменную, соответствующую положению охвата в бй узловой точке Н(1!). Требуется построить кубическую интерполяцию траектории 1чй присоединенной переменной между точками [дг!(1!), 2142(12), ..., 2)4„(1„)), где 1! « < 12 « ... 1„— моменты прохождения узловых точек. В начальный момент 1= 1, и конечный момент 1=1„заданы соответственно начальные д;г, о4г, ап и конечные 414„п4„, а4„(положение, скорость и ускорение). Кроме того, значения присоединенной переменной д4» в моменты времени 12 заданы для =3, 4, ..., и — 2.
Значения 4)2 и д„! не определены: как уже говорилось, это необходимо для обеспечения непрерывности кинематических характеристик вдоль всей траектории. Пусть Ягг(1) — кубический полипом, описывающий поведение 1-й присоединенной переменной между узловыми точками Н, и Н»ы и определенный на интервале [12, гг+г], Задача состоит в ~си!инке» между собой полиномов фг(1) (4=1, 2, ..., и — 1) так, чтобы они проходили через заданные узловые точки и обеспечивалась непрерывность положения, скорости и ускорения на всем интервале [1г, 12). Поскольку гг,г(!) — кубический полинам, его вторая производная 4',г;4(1) является линейной функцией времени 1! А(1= Ь, Я!.2 (12) О!2 (12) %, -г(1 -!) иг ! Зиг+ 2иг+ иг О иг 2 ! Иг —— Иг 2 (и»+ 442) мз 242 2 (из+ м4) О ' иг 2(144+ и„з) О О функцию следующего вида: О4! (12+!) +~ — в )( !)+~ и в Г ч! 24.! Я!444! (4г4!) 1 и!О!! (2,.) 1 я! 4=1, 2, ..., п — 1, (4.4-64) 1=1,2, ..., У.
Таким образом, для ! =1, 2, ..., и — 1 !.144(1) определены, если известны ф;(й) и Ягг(12+!). На основании этого можно записать систему и — 2 линейных уравнений относительно неизвестных 44! (1!), 4 = 2, ..., и — 1: (4.4-65) пг-3 2(и„г+ и„з) О О и„г $13 212 где и! = 1»г! — 1, — время, затрачиваемое на прохождение 1-го участка. Дважды интегрируя 4142(1) и учитывая граничные условия 4)п(г,) = д„и Ягг(12+!) = д,, гг.г, получаем интерполирующую 2 ип-! И ггг-2 "л — ! Зи„и+ 2и„г+ 1=1...„Ж, 1'=1, ..., и — !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
