Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 36
Текст из файла (страница 36)
44 Чз~ 44 — ЧМ1 1=1, ..., А(, 1=1,..., и — 1. 6~ 4з 1 1!] а (' И! ~ ЧМ 114 6~ И4 И! ч1!+и!пи+ 3 а1!~ — и,аги Ограничение по скорости: ]911(1)]~~)'1> Ограничение по ускорению: 'и! (1)](~ А! 6 ил-! и ] !71Л П1иил-! + 3 а!и~в 1 си„ ил,]] ач,„ачл з Структура матрицы А позволяет легко определить О, под становкой которого в выражение (4.4-63) получается окончательный вид О1;(1). В окончательном виде полиномы О11(1) зависят от интервалов времени и; и заданных значений присоединенных координат, скоростей и ускорений. Матрица А в уравнении (4.4-64) всегда неособенная, если интервалы и! положительны.
Поэтому задача интерполяции траектории кубическими полиномами всегда имеет единственное решение. Поскольку характеристики силовых приводов сочленений имеют участки насыщения и Развиваемые приводами моменты н силы ограничены, минимальное общее время движения вдоль траектории, описываемой кубическими полиномами, определяется максимальными значениями присоединенных скоростей, ускорений н допустимой скоростью изменения ускорения. Для увели. чепия скорости работы манипулятора нужно минимизировать время движения вдоль заданной траектории. Этого можно достичь соответствующим выбором величин интервалов и! с учетом ограничений присоединенных скоростей, ускорений, моментов и скоростей изменения ускорений.
Задачу можно сформулировать следующим образом: минимизировать целевую функцию Т н-! Т=~из (4.4-66) 4=1 при следуюших ограничениях: аз Ограничение но скорости изменения ускорения: ~ 11, 911 (1) ~ (71, 1=1, ..., А!, ! = 1, ..., п — !. Ограничение моментов: ]т1(1) ](~Г1, 1= 1, Здесь Т вЂ” общее время движения вдоль заданной траектории; )1, А, У и Г соответственно максимальные значения скорости, ! 1 1 1 ускорения, скорости изменения ускорения, момента в 1-м со- членении.
Строгое представление этих ограничений приведено ниже. Ограничение по скорости. Дифференцируя равенство (4.4-64) и заменяя Я4!(6) н 4114(1!+!) соответственно на ып и из1,,+!, по- лучаем ач(1)= —,' (, — )'+ —.('-') + ! ! 1",1и (1) = ' "' (1 — 1,) — —" (1 — «. ). и. И! (4.4-67) (4.4-68) !пах ~ О1! ]= и!ах (] О1! (1,) ~, ~ фз (1„!) ], ~ О1, (1!) !] ~ Р1, 1и, и+и 1=1, 2, .„а — 1, 1=1,2,...,Ф, (4.4-69) 215 где; — УскоРение в Узловой точке Н1. Оно Равно 4114(1!), если 1'„1,!(1) проходит через узловую точку Н, в момент 1и Скорость ос и ает своего максимального по абсолютной величине значен ния в одной из точек 14, 1,+, или 14, при этом 1;ев (14, 44.!] н О1,(1,) =О.
Ограничение по скорости, таким образом, принимает вид г де ]О (7)] аи + чь1+~ — чи (аи — в; ~„~)и~ 1~ ~ — — и~ я~ 6 (г )]= ' и+ ь'+ "-1-(1' ''+') 2 я. 6 ! ив1 ~+~~~ (ви аь ~м) и~ чи+~ чи 2(ви — вг „,) + 6 + и 911(1 )]= если аи Ф ау 1,1 и ]8 Е= к, 1„,], О, если аг,=в, „, или 1, в[1, 1,„,] Ограничения по ускорению. Между двумя узловыми точками ускорение линейно зависит от времени. Поэтому максимальная абсолютная величина ускорения достигается в точке й или в точке й„ч и равна максимальнон из величин (] аи], ~ аь в~]). С учетом этого ограничение по ускорению принимает следующий вид: шах(]а1,], ]ам]...
]аг„]) «~А1, 7' = 1, 2, ..., й(. (4.4-70) Ограничения по скорости изменения ускорения. и ь Е Ограничения моментов. Момент, который должен быть создан силовым приводом для реализации заданного движения, можно рассчитать с помощью уравнений динамики движения манипулятора (равенство (3.2-25)): тг(1) = Х Яи(О~(1))йг Я+ Ф-! л я + Х ХЬ Мк(1))Фы(1)0 (1)+61(Ю1(7)), (4.4-72) где гх. (1) (() (1) дгн (1) г) (1))г 1=1,2,...,У, 1=1,2,...,п — 1, Если условия ограничения моментов ие выполняются, должно быть произведено динамическое времсннбе масштабирование траектории, обеспечивающее выполнение этих условий [8, 122]. Для решения сформулированной задачи оптимизации при наличии ограничений надо выбрать подходящий алгоритм опти- 216 мизации.
Существует несколько алгоритмов оптимизации для задач такого типа. Лин и др. [172] воспользовались методом гибкого поиска, предложенным Нелдером и Медом. Результаты применения этого оптимизационного метода изложены в работе [172] . 4.5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Выше были рассмотрены два основных подхода к планированию траекторий; планирование сглаженных траекторий в пространстве присоединенных переменных и планирование траекторий в декартовом пространстве. Планирование траекторий в пространстве присоединенных переменных состоит в описании закона изменения присоединенных координат последовательностями полиномов, что позволяет получать гладкие траектории изменения присоединенных переменных.
Для снижения вычислительных затрат и минимизации бесполезных движений используются последовательности полиномов низкой степени. Траектория изменения присоединенной переменной разбивается на несколько участков, каждый из которых интерполируется полиномом низкой степени. В частности, были рассмотрены способы описания траектории с помощью двух полиномов четвертой и одного — третьей степени (4-3-4-траектории) и с помощью пяти кубических полиномов.
Был рассмотрен ряд методов планирования траекторий в декартовом пространстве, Поскольку управление манипулятором осуществляется в пространстве присоединенных переменных, а траектория движения задается в декартовом пространстве, обычно пользуются полииомиальной аппроксимацией заданного в декартовом пространстве движения траекторией в пространстве присоединенных переменных. Для осуществления прямолинейного движения Пол [228] предложил использовать композицию поступательного перемещения и двух поворотов охвата манипулятора. Предложенный Полом метод был усовершенствован Тэйлором ]282] за счет применения кватсрнионов для описания вращений. Тэйлор разработал также способ построения траекторий с ограниченными отклонениями. Основой этого способа является алгоритм формирования последовательности дополнительных узловых точек на заданной декартовой траектории при аппроксимации ее траекторией в пространстве присоединенных переменных.
Лин и др. [172] предложили подход, состоящий в интерполяции заданной траектории кубическими полиномами по п выбираемым исследователем узловым точкам. При этом проводилась минимизация времени движения вдоль выбранной траектории с учетом ограничений по скорости, ускорению и скорости изменения ускорения присоединенных переменных и ограничений моментов, создаваемых приводами. Рассмотренные 217 методы применяются на этапе планирования траекторий, осуществляемом до начала движения манипулятора.
Тем самым уп. равление манипулятором разбивается на два этапа — этап планирования и этап регулирования движения манипулятора вдоль выбранной траектории, которое производится в процессе работы манипулятора. Второму этапу посвящена гл. 5. Литература Дополнительные сведения о сглаженных траекториях в пространстве присоединенных переменных содержатся в работах [29, 163, 169, 170, 226]. В большинстве из перечисленных работ построение траекторий производится без учета ограничений динамики манипулятора.
Основное внимание в них сосредоточено на обеспечении гладкости н непрерывности траекторий за счет выбора соответствующих ограничений по скорости и ускорению. Холлербах [122] предложил способ временнбго масштабирования, позволяющий выяснить, возможно ли реализовать выбранную траекторию в рамках ограничений кинематических параметров и развиваемых силовыми приводами моментов, зависящих от мгновенных значений присоединенных переменных и скоростей. Формирование траектории манипулятора, обеспечивающей движение охвата вдоль отрезков прямой в декартовом пространстве рассмотрено в работе [228]. Для описания положений, через которые должен пройти схват манипулятора.
Пол воспользовался матрицами однородных преобразований, Движение между двумя последовательными заданными положениями представляет собой композицию поступательного перемещения, поворота, обеспечивающего требуемое положение вектора подхода, и поворота вокруг осн инструмента, обеспечивающего заданную ориентацию охвата. Для обеспечения гладкости траектории применяется квадратическая интерполяция траектории движения между соседними прямолинейными участками.
Воспользовавшись аппаратом кватернионов, Тэйлор [282] усовершенствовал предложенный Полом метод, добившись более равномерного движения. Оба метода в целях обеспечения возможности планирования траекторий в реальном времени не учитывают физических ограничений на величину моментов, созданаемых приводами манипулятора. Ряд других схем планирования траекторий в декартовом пространстве позволяет одновременно обеспечить непрерынность траектории и учесть ограничения моментов.
Для того чтобы учесть ограничения моментов на этапе планирования траектории, обычно предполагают, что максимальное значение момента не зависит от скорости и положеюгя манипулятора. В частности, в работах [172, 184] переменные ограничения моментов были 210 заменены постоянными для каждой присоединенной переменной ограничениями по скорости, ускорению н скорости изменения ускорения. Авторы этих работ выбрали последовательность узловых точек на траектории в декартовом пространстве, определили в этих точках значения присоединенных координат и с помощью интерполяции полиномамн низкой степени построили гладкую траекторию в пространстве присоединенных переменных, отвечающую условиям непрерывности и проходящую через выбранные узловые точки. Затем в предположении о постоянстве динамических ограничений проводился выбор интервалов времени движения между узловыми точками с учетом ограничений.
Поскольку интерполяция траектории производилась в пространстве присоединенных переменных, то на каждом участке между соседними узловыми точками движение схвата манипулятора может отклоняться от заданной в декартовом пространстве траектории. Ли [152] разработал дискретную схему планирования траектории, обеспечивающую выбор узловых точек в точности на заданной прямолинейной траектории в декартовом пространстве, удовлетворяющей условиям гладкости и ограничениям динамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
